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2 Equações de ordem 1 2 Equações de ordem 1 2.2 Estudo assintótico de equações lineares

2.1 Equações lineares

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Nesta seção, discutimos sobre equações a diferenças de ordem 1 e lineares. Tais equações podem ser escritas na seguinte forma

y(n+1)=a(n)y(n)+g(n),

(2.2)

onde $n=n_{0},n_{0}+1,\ldots$ , sendo $n_{0}$ um número inteiro, $a:n\mapsto a(n)$ e $g:n\mapsto g(n)$ é o termo fonte. A equação é dita ser homogênea quando $g\equiv 0$ e, caso contrário, é dita ser não homogênea.

2.1.1 Equação homogênea

A solução de uma equação a diferenças de ordem 1, linear e homogênea

y(n+1)=a(n)y(n),\quad n\geq n_{0},

(2.3)

pode ser obtida por iterações diretas. Para $n\geq n_{0}$ , temos

	$\displaystyle y(n+1)=a(n)y(n)$		(2.4)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1)y(n-1)$		(2.5)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1)a(n-2)y(n-2)$		(2.6)
	$\displaystyle\vdots$		(2.7)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1)\cdots a(n_{0})y(n_{0}).$		(2.8)

Ou seja, dado o valor inicial $y(n_{0})$ , temos a solução²²endnote: ²A demonstração por ser feita por indução matemática.

y(n)=a(n_{0})a(n_{0}+1)\cdots a(n-1)y(n_{0}).

(2.9)

A fim de termos uma notação mais prática, vamos usar a notação de produtório³³endnote: ³Veja mais em Wiki: Produtório.

\prod_{i=n_{0}}^{n-1}a(n)=a(n_{0})a(n_{0}+1)\cdots a(n-1).

(2.10)

Com esta notação, a solução de (2.3) pode ser escrita como segue

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(n)=\left[% \prod_{i=n_{0}}^{n-1}a(i)\right]y(n_{0})},

(2.11)

assumindo a notação de que $\prod_{i=n+1}^{n}a(i)=1$ .

Exemplo 2.1.1.

Vamos calcular a solução de

y(n+1)=2y(n),\quad n\geq 0.

(2.12)

a)

Por iterações diretas.

Comparando com (2.3), temos $a(n)=2$ para todo $n$ . Calculando a solução por iterações diretas, temos

$\displaystyle y(n+1)=2y(n)$ (2.13)

$\displaystyle=2\cdot 2y(n-1)$ (2.14)

$\displaystyle=2^{2}y(n-1)$ (2.15)

$\displaystyle=2^{2}\cdot 2y(n-2)$ (2.16)

$\displaystyle=2^{3}y(n-2)$ (2.17)

$\displaystyle\vdots$

$\displaystyle=2^{n+1}y(0)$ (2.18)

ou, equivalentemente, temos a solução

$y(n)=2^{n}y(0).$ (2.19)
b)

Por (2.11).

$\displaystyle y(n)=\left[\prod_{i=0}^{n-1}2\right]y(0)$ (2.20)

$\displaystyle=(\underbrace{2\cdot 2\cdot\cdots\cdot 2}_{\text{n vezes}})y(0)$ (2.21)

$\displaystyle=2^{n}y(0).$ (2.22)

A solução vale para qualquer valor inicial $y(0)$ .

No Python, podemos computar a solução da equação a diferenças (2.12) com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : n = symbols('n', integer=true)

3 In : y = symbols('y', cls=Function)

4 In : ead = Eq(y(n+1),2*y(n))

5 In : rsolve(ead, y(n))

6 Out: 2**n*C0

2.1.2 Equação não homogênea

A solução de uma equação a diferenças de ordem 1, linear e não homogênea

y(n+1)=a(n)y(n)+g(n),\quad n\geq n_{0},

(2.23)

pode ser obtida por iterações diretas.

Vejamos, para $n\geq n_{0}$ temos

	$\displaystyle y(n+1)=a(n){\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y% (n)}+g(n)$		(2.24)
	$\displaystyle=a(n)\left[{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}a(% n-1)y(n-1)+g(n-1)}\right]+g(n)$		(2.25)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1){\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(% n-1)}+a(n)g(n-1)+g(n)$		(2.26)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1)\left[{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}a(n-2)y(n-2)+g(n-2)}\right]$
	$\displaystyle+a(n)g(n-1)+g(n)$		(2.27)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1)a(n-2)y(n-2)$
	$\displaystyle+a(n)a(n-1)g(n-2)+a(n)g(n-1)+g(n)$		(2.28)
	$\displaystyle\vdots$
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}a(n)a(n-% 1)\cdots a(n_{0})}y(n_{0})$
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}a(n_{0}+% 1)a(n_{0}+2)\cdots a(n)}g(n_{0})$
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}a(n_{0}+% 2)a(n_{0}+3)\cdots a(n)}g(n_{0}+1)$
	$\displaystyle+\cdots+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}a(n% )}g(n-1)+g(n)$		(2.29)

Logo, podemos inferir que a solução é dada por⁴⁴endnote: ⁴A demonstração por ser feita por indução matemática.

	$\displaystyle y(n)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}a(n_{0}% )a(n_{0}+1)\cdots a(n-1)}y(n_{0})$
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}a(n_{0}+% 1)a(n_{0}+2)\cdots a(n-1)}g(n_{0})$
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}a(n_{0}+% 2)a(n_{0}+3)\cdots a(n-1)}g(n_{0}+1)$
	$\displaystyle+\cdots+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}a(n% -1)}g(n-2)+g(n-1)$		(2.30)

Aqui, por maior praticidade, vamos empregar a notação de somatório⁵⁵endnote: ⁵Veja mais em Wiki: Somatório

\sum_{i=n_{0}}^{n}a(i)=a(n_{0})+a(n_{0}+1)+\cdots+a(n).

(2.31)

Com isso, a solução de (2.23) pode ser escrita como segue

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(n)=\left[% \prod_{i=n_{0}}^{n-1}a(i)\right]y(n_{0})}$
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}+\sum_{i=n_{0% }}^{n-1}\left[\prod_{j=i+1}^{n-1}a(j)\right]g(i)}.$		(2.32)

No último termo, consideramos a notação $\sum_{j=i+1}^{i}a(i)=0$ .

Exemplo 2.1.2.

Vamos calcular a solução de

y(n+1)=2y(n)-1,\quad n\geq 0.

(2.33)

Comparando com (2.23), temos $a(n)=2$ e $g(n)=-1$ para todo $n$ .

Cálculo por iterações diretas.

Calculando a solução por iterações diretas, temos

	$\displaystyle y(n+1)=2y(n)-1$		(2.34)
	$\displaystyle=2\cdot\left[2y(n-1)-1\right]-1$		(2.35)
	$\displaystyle=2^{2}y(n-1)-2-1$		(2.36)
	$\displaystyle=2^{2}\cdot\left[2y(n-2)-1\right]-2-1$		(2.37)
	$\displaystyle=2^{3}y(n-2)-2^{2}-2-1$		(2.38)
	$\displaystyle\cdots$
	$\displaystyle=2^{n+1}y(0)-\sum_{i=0}^{n}2^{i}$		(2.39)

Logo, temos

y(n)=2^{n}y(0)-{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\sum_{i=% 0}^{n-1}2^{i}}.

(2.40)

Este último termo, é a soma dos termos da progressão geométrica⁶⁶endnote: ⁶Veja mais em Wiki:Progressão geométrica. de razão $q=2$ e termo inicial $1$ (veja Subseção 2.1.3), i.e.

\sum_{i=0}^{n-1}q^{i}=\frac{1-q^{n}}{1-q}.

(2.41)

Portanto, a solução (2.23) é

	$\displaystyle y(n)=2^{n}y(0)-{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1-2^{n}}{1-2}}$		(2.42)
	$\displaystyle=2^{n}y(0)-2^{n}+1.$		(2.43)

Cálculo por (2.32).

	$\displaystyle y(n)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\left[% \prod_{i=n_{0}}^{n-1}a(i)\right]}y(n_{0})$		(2.44)
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}\sum_{i=% n_{0}}^{n-1}\left[\prod_{j=i+1}^{n-1}a(j)\right]}g(i)$		(2.45)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\left[% \prod_{i=0}^{n-1}2\right]}y(0)$		(2.46)
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}\sum_{i=% 0}^{n-1}\left[\prod_{j=i+1}^{n-1}2\right]}(-1)$		(2.47)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}2^{n}}y(% 0)-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}\sum_{i=0}^{n-% 1}2^{n-1-i}}$		(2.48)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}2^{n}}y(% 0)-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}2^{n-1}\sum_{i% =0}^{n-1}2^{-i}}$		(2.49)

Este último somatório é a soma dos termos da progressão geométrica de razão $q=1/2$ e termo inicial $1$ ((veja Subseção 2.1.3), equação (2.60)). Logo,

	$\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}2^{-i}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1-% \frac{1}{2}}$		(2.50)
	$\displaystyle=2\left(1-2^{-n}\right).$		(2.51)

Retornando a (2.49), temos

	$\displaystyle y(n)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}2^{n}}y% (0)-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}2^{n-1}\cdot 2% \cdot\left(1-2^{-n}\right)}$		(2.52)
	$\displaystyle=2^{n}y(0)-2^{n}+1.$		(2.53)

A solução vale para qualquer valor inicial $y(0)$ .

No Python, podemos computar a solução da equação a diferenças (2.12) com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : n = symbols('n', integer=true)

3 In : y = symbols('y', cls=Function)

4 In : ead = Eq(y(n+1),2*y(n)-1)

5 In : rsolve(ead, y(n))

6 Out: 2**n*C0 + 1

Observamos que esta solução é equivalente à (2.53), pois

	$\displaystyle y(n)$	$\displaystyle=2^{n}y(0)-2^{n}+1$		(2.54)
		$\displaystyle=2^{n}\left[y(0)-1\right]+1,$		(2.55)

onde $y(0)$ é um valor inicial arbitrário.

2.1.3 Somas definidas

Seguem algumas somas definidas que podem ser úteis na resolução de equações a diferenças.

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$	$\displaystyle=\frac{n(n+1)}{2}$	(2.56)
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}$	$\displaystyle=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$	(2.57)
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{3}$	$\displaystyle=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}$	(2.58)
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{4}$	$\displaystyle=\frac{n(6n^{4}+15n^{3}+10n^{2}-1)}{30}$	(2.59)
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^{k}$	$\displaystyle=\frac{(1-q^{n})}{1-q},\quad q\neq 1$	(2.60)
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}kq^{k}$	$\displaystyle=\frac{(q-1)(n+1)q^{n+1}-q^{n+2}+q}{(q-1)^{2}}$	(2.61)

Exercícios resolvidos

ER 2.1.1.

Calcule a solução da equação à diferenças

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=\frac{1}{2}y(n),\quad n\geq 0,$		(2.62)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=1.$		(2.63)

Solução.

De (2.11), temos

$\displaystyle y(n)$	$\displaystyle=\left[\prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2}\right]y(0)$	(2.64)
	$\displaystyle=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\cdot 1$	(2.65)
	$\displaystyle=2^{-n}.$	(2.66)

No Python, podemos computar a solução deste exercício com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : n = symbols('n', integer=true)

3 In : y = symbols('y', cls=Function)

4 In : ead = Eq(y(n+1),S(1)/2*y(n))

5 In : rsolve(ead, y(n), {y(0):1})

6 Out: 0.5**n

ER 2.1.2.

Calcule a solução de

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=2y(n)+\left(\frac{1}{2}\right)^{n},\quad n\geq 0,$		(2.67)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=0.$		(2.68)

Solução.

De (2.32), temos

$\displaystyle y(n)$	$\displaystyle=\left[\prod_{i=0}^{n-1}2\right]y(0)$
	$\displaystyle+\sum_{i=0}^{n-1}\left[\prod_{j=i+1}^{n-1}2\right]\cdot\left(% \frac{1}{2}\right)^{i}$	(2.69)
	$\displaystyle=\sum_{i=0}^{n-1}2^{n-1-i}\cdot 2^{-i}$	(2.70)
	$\displaystyle=\sum_{i=0}^{n-1}2^{n-1}\cdot 2^{-2i}$	(2.71)
	$\displaystyle=2^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{i}$	(2.72)
	$\displaystyle=2^{n-1}\cdot\frac{\left[1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right]}{1% -\frac{1}{4}}$	(2.73)
	$\displaystyle=2^{n-1}\cdot\frac{4}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)$	(2.74)
	$\displaystyle=\frac{4}{3}\left(2^{n-1}-\frac{2^{n-1}}{4^{n}}\right)$	(2.75)
	$\displaystyle=\frac{4}{3}\left(2^{n-1}-2^{n-1}2^{-2n}\right)$	(2.76)
	$\displaystyle=\frac{4}{3}\left(2^{n-1}-2^{-n-1}\right)$	(2.77)
	$\displaystyle=\frac{2}{3}\left(2^{n}-2^{-n}\right).$	(2.78)

No Python, podemos computar a solução deste exercício com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : n = symbols('n', integer=true)

3 In : y = symbols('y', cls=Function)

4 In : ead = Eq(y(n+1),2*y(n)+(1/2)**n)

5 In : rsolve(ead, y(n), {y(0):0})

6 Out: 2*2**n/3 - 2*2**(-n)/3

Exercícios

E. 2.1.1.

Calcule a solução de

y(n+1)=3y(n),\quad n\geq 0.

(2.79)

Resposta.

$y(n)=3^{n}y(0)$

E. 2.1.2.

Calcule a solução de

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=\frac{1}{3}y(n),\quad n\geq 0,$		(2.80)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=-1.$		(2.81)

Resposta.

$y(n)=-\frac{1}{3^{n}}$

E. 2.1.3.

Considere um empréstimo de $\$100$ a uma taxa mensal de $1\%$ . Considerando $y(0)=100$ , qual o valor de $y(n)$ no $n$ -ésimo mês? Modele o problema como uma equação à diferenças e calcule sua solução. Então, calcule o valor da dívida no 36º mês.

Resposta.

$y(n+1)=1,01\cdot y(n),\leavevmode\nobreak\ y(0)=100$ ; $y(n)=100\cdot 1,01^{n}$ ; $y(36)\approx 143,08$

E. 2.1.4.

Calcule a solução de

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=3y(n)-3,\quad n\geq 0,$		(2.82)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=2.$		(2.83)

Resposta.

$y(n)=\frac{1}{2}(3^{n}+3)$

E. 2.1.5.

Calcule a solução de

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=ny(n)+n!,\quad n\geq 0,$		(2.84)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=1.$		(2.85)

Resposta.

$y(n)=n!$

E. 2.1.6.

Calcule a solução de

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=2y(n)+2^{n},\quad n\geq 0,$		(2.86)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=2.$		(2.87)

Resposta.

$\displaystyle y(n)=2^{n}\left(\frac{n}{2}+2\right)$

E. 2.1.7.

Considere um empréstimo de $\$100$ a uma taxa mensal de $1\%$ e com parcelas mensais fixas de $\$1$ . Considerando $y(0)=100$ , qual o valor de $y(n)$ no $n$ -ésimo mês? Modele o problema como uma equação à diferenças e calcule sua solução.

Resposta.

$y(n+1)=1,01\cdot y(n)-1,\leavevmode\nobreak\ y(0)=100$ ; $y(n)=100$ ;

E. 2.1.8.

Calcule a solução de

y(n+1)=ay(n)+b,\quad n\geq 0,

(2.88)

onde $a$ e $b$ são constantes com $a\neq 1$ .

Resposta.

$\displaystyle y(n)=\left(y(0)-\frac{b}{1-a}\right)a^{n}+\frac{b}{1-a}$

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	$\displaystyle y(n+1)=2y(n)$		(2.13)
	$\displaystyle=2\cdot 2y(n-1)$		(2.14)
	$\displaystyle=2^{2}y(n-1)$		(2.15)
	$\displaystyle=2^{2}\cdot 2y(n-2)$		(2.16)
	$\displaystyle=2^{3}y(n-2)$		(2.17)
	$\displaystyle\vdots$
	$\displaystyle=2^{n+1}y(0)$		(2.18)

	$\displaystyle y(n)=\left[\prod_{i=0}^{n-1}2\right]y(0)$		(2.20)
	$\displaystyle=(\underbrace{2\cdot 2\cdot\cdots\cdot 2}_{\text{n vezes}})y(0)$		(2.21)
	$\displaystyle=2^{n}y(0).$		(2.22)