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2 Equações de ordem 1 2.2 Estudo assintótico de equações lineares 3 Equações de ordem 2 ou mais alta

2.3 Alguns aspectos sobre equações não lineares

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O estudo de equações a diferenças não lineares é bastante amplo, podendo chegar ao estado da arte. Nesta seção, vamos abordar alguns conceitos fundamentais para a análise de equações de primeira ordem e não lineares, i.e. equações da forma

f\left(y(n+1),y(n);n\right)=0,\quad n\geq n_{0}\geq 0,

(2.140)

onde $f$ é uma função não linear nas incógnitas $y(n+1)$ ou $y(n)$ .

2.3.1 Solução

A variedade de formas que uma equação a diferenças não linear pode ter é enorme e não existem formas fechadas para a solução da grande maioria delas. No entanto, sempre pode-se buscar calcular a solução por iteração direta, i.e.

	$\displaystyle y(n_{0})=\text{valor inicial},$		(2.141)
	$\displaystyle f\left(y(n+1),y(n);n\right)=0,\leavevmode\nobreak\ n=n_{0},n_{0}% +1,n_{0}+2,\ldots$		(2.142)

Exemplo 2.3.1.

Vamos calcular a solução da seguinte equação a diferenças não linear

y(n+1)=y^{2}(n),\quad n\geq 0.

(2.143)

A partir do valor inicial $y(0)$ e por iterações diretas, temos

$\displaystyle y(1)$	$\displaystyle=y^{2}(0),$	(2.144)
$\displaystyle y(2)$	$\displaystyle=[y(1)]^{2}$	(2.145)
	$\displaystyle=\left[y^{2}(0)\right]^{2}$	(2.146)
	$\displaystyle=y^{2^{2}}(0),$	(2.147)
$\displaystyle y(3)$	$\displaystyle=[y(2)]^{2}$	(2.148)
	$\displaystyle=\left[y^{2^{2}}(0)\right]^{2}$	(2.149)
	$\displaystyle=y^{2^{3}}(0)$	(2.150)
	$\displaystyle\vdots$	(2.151)

Disso, podemos inferir que a solução de 2.143 é

y(n)=y^{2^{n}}(0).

(2.152)

2.3.2 Pontos de equilíbrio

Introduzimos pontos de equilíbrio na Seção 2.2 e, aqui, vamos estudá-los no contexto de equação a diferenças de primeira ordem e não lineares. Um dos primeiros aspectos a serem notados é que equação não lineares podem ter vários pontos de equilíbrio, ter somente um ou não ter.

Exemplo 2.3.2.

(Ponto de equilíbrio) Vejamos os seguintes casos:

a)

$y(n+1)=y(n)^{2}+1,\leavevmode\nobreak\ n\geq 0$

Se $y^{*}$ é ponto de equilíbrio, então

$\displaystyle y^{*}=\left(y^{*}\right)^{2}+1$ (2.153)

$\displaystyle\left(y^{*}\right)^{2}-y^{*}+1=0,$ (2.154)

a qual não admite solução real. Ou seja, a equação a diferenças deste item não tem ponto de equilíbrio.
b)

$y(n+1)=y(n)^{2},\leavevmode\nobreak\ n\geq 0$

$\displaystyle y^{*}=\left(y^{*}\right)^{2}$ (2.155)

$\displaystyle\left(y^{*}\right)^{2}-y^{*}=0$ (2.156)

$\displaystyle y^{*}\left(y^{*}-1\right)=0,$ (2.157)

Neste caso, a equação a diferenças tem dois pontos de equilíbrio, a saber, $y_{1}^{*}=0$ e $y_{2}^{*}=1$ .
c)

$\left[y(n+1)-1\right]\cdot\left[y(n)-1\right]=0,\leavevmode\nobreak\ n\geq 0$

$\displaystyle\left(y^{*}-1\right)\cdot\left(y^{*}-1\right)=0$ (2.158)

$\displaystyle\left(y^{*}-1\right)^{2}=0$ (2.159)

$\displaystyle y^{*}=1$ (2.160)

Concluímos que esta equação tem $y^{*}=1$ como seu único ponto de equilíbrio.
d)

$y(n+1)=y(n)\cos\left(y(n)\right),\leavevmode\nobreak\ n\geq 0$

$\displaystyle y^{*}=y^{*}\cos\left(y^{*}\right)$ (2.161)

$\displaystyle\left[\cos\left(y^{*}\right)-1\right]y^{*}=0$ (2.162)

$\displaystyle\cos\left(y^{*}\right)=1$ (2.163)

Disso, temos que $y^{*}=2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ , são pontos de equilíbrio da equação a diferenças dada.

Equações a diferenças não lineares podem ter pontos de equilíbrio eventuais. Mais especificamente, uma equação a diferenças

f(y(n+1),y(n);n)=0,\quad n\geq n_{0},

(2.164)

tem $y^{*}$ como ponto de equilíbrio eventual quando existe $n_{1}>n_{0}$ tal que

y(n)=y^{*},\quad n\geq n_{1}.

(2.165)

Exemplo 2.3.3.

(Ponto de equilíbrio eventual) A equação a diferenças

	$\displaystyle y(n+1)=\|2y(n)-2\|,\quad n\geq 0,$		(2.166)
	$\displaystyle y(0)=1,$		(2.167)

tem $y^{*}=2$ como ponto de equilíbrio eventual. De fato, por iterações diretas temos

$\displaystyle y(1)$	$\displaystyle=\|2y(0)-2\|$	(2.168)
	$\displaystyle=\|2\cdot 1-2\|=0$	(2.169)
$\displaystyle y(2)$	$\displaystyle=\|2y(1)-2\|$	(2.170)
	$\displaystyle=\|2\cdot 0-2\|=2$	(2.171)
$\displaystyle y(3)$	$\displaystyle=\|2y(2)-2\|$	(2.172)
	$\displaystyle=\|2\cdot 2-2\|=2$	(2.173)
	$\displaystyle\vdots$	(2.174)
$\displaystyle y(n)$	$\displaystyle=2,\quad n\geq 2.$	(2.175)

Um ponto de equilíbrio $y^{*}$ de (2.164) é dito ser estável quando, para cada $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que

|y(0)-y^{*}|<\delta\Rightarrow|y(n)-y^{*}|<\epsilon,

(2.176)

para todo $n>0$ . Em outras palavras, para todo $n$ , a solução $y(n)$ está arbitráriamente próxima de $y^{*}$ para toda escolha de valor inicial $y(0)\neq y^{*}$ suficientemente próximo de $y^{*}$ . Quando este não é o caso, $y^{*}$ é dito ser ponto de equilíbrio instável.

Exemplo 2.3.4.

Vamos estudar os pontos de equilíbrio de

y(n+1)=\left(y^{2}(n)-1\right)^{2}+1,\quad n\geq 0.

(2.177)

Vamos calcular os pontos de equilíbrio.

	$\displaystyle y^{}=\left[\left(y^{}\right)^{2}-1\right]^{2}+1$		(2.178)
	$\displaystyle y^{}=\left(y^{}\right)^{2}-2y^{*}+2$		(2.179)
	$\displaystyle\left(y^{}\right)^{2}-3y^{}+2=0$		(2.180)
	$\displaystyle y_{1}^{}=1,\quad y_{2}^{}=2$		(2.181)

Tomamos o ponto de equilíbrio $y^{*}=1$ . Seja $\epsilon>0$ e escolhemos $0<\delta<1$ tal que $\delta<\epsilon$ . Então, para qualquer valor inicial

y(0)=1\pm\delta

(2.182)

temos

	$\displaystyle y(1)$	$\displaystyle=\left(y(0)-1\right)^{2}+1$		(2.183)
		$\displaystyle=\delta^{2}+1<1+\epsilon$		(2.184)

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	$\displaystyle y^{}=\left(y^{}\right)^{2}+1$		(2.153)
	$\displaystyle\left(y^{}\right)^{2}-y^{}+1=0,$		(2.154)

	$\displaystyle y^{}=\left(y^{}\right)^{2}$		(2.155)
	$\displaystyle\left(y^{}\right)^{2}-y^{}=0$		(2.156)
	$\displaystyle y^{}\left(y^{}-1\right)=0,$		(2.157)

	$\displaystyle\left(y^{}-1\right)\cdot\left(y^{}-1\right)=0$		(2.158)
	$\displaystyle\left(y^{*}-1\right)^{2}=0$		(2.159)
	$\displaystyle y^{*}=1$		(2.160)

	$\displaystyle y^{}=y^{}\cos\left(y^{*}\right)$		(2.161)
	$\displaystyle\left[\cos\left(y^{}\right)-1\right]y^{}=0$		(2.162)
	$\displaystyle\cos\left(y^{*}\right)=1$		(2.163)