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1 Limites 1.1 Noção de limites 1.3 Limites laterais

1.2 Regras para o cálculo de limites

1.2.1 Regras de cálculo

Sejam dados os seguintes limites

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L_{1}$		(1.10)
	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=L_{2}$		(1.11)

com $x_{0},L_{1},L_{2}$ números reais. Então, valem as seguintes regras:

•

Regra da multiplicação por um escalar:

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}k\cdot f(x)$ $\displaystyle=k\cdot\lim_{x\to x_{0}}f(x)$ (1.12)

$\displaystyle=k\cdot L_{1},$ (1.13)

para qualquer número real $k$ .
•

Regra da soma/subtração:

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\pm g(x)$ $\displaystyle=\lim_{x\to x_{0}}f(x)\pm\lim_{x\to x_{0}}g(x)$ (1.14)

$\displaystyle=L_{1}\pm L_{2}$ (1.15)
•

Regra do produto:

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\cdot g(x)$ $\displaystyle=\lim_{x\to x_{0}}f(x)\cdot\lim_{x\to x_{0}}g(x)$ (1.16)

$\displaystyle=L_{1}\cdot L_{2}$ (1.17)
•

Regra do quociente:

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}$ $\displaystyle=\frac{\lim_{x\to x_{0}}f(x)}{\lim_{x\to x_{0}}g(x)}$ (1.18)

$\displaystyle=\frac{L_{1}}{L_{2}},\qquad L_{2}\neq 0$ (1.19)
•

Regra da potenciação:

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}(f(x))^{s}$ $\displaystyle=\left(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\right)^{s}$ (1.20)

$\displaystyle=L_{1}^{s},\qquad L_{1}^{s}\in\mathbb{R}$ (1.21)

Podemos usar essas regras para calcularmos limites.

Exemplo 1.2.1.

Consideremos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}2x$

$\displaystyle\lim_{x\to-1}2x$ $\displaystyle=2\lim_{x\to-1}x$ (1.22)

$\displaystyle=2\cdot(-1)=-2$ (1.23)

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com

⬇

1    >>> from sympy import *

2    >>> x = Symbol("x")

3    >>> limit(2*x, x, -1)

4    -2
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}x^{2}-1$

$\displaystyle\lim_{x\to 2}x^{2}-1$ $\displaystyle=\lim_{x\to 2}x^{2}-\lim_{x\to 2}1$ (1.24)

$\displaystyle=\left(\lim_{x\to 2}x\right)^{2}-1$ (1.25)

$\displaystyle=2^{2}-1=3.$ (1.26)

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com os seguintes comandos.

⬇

1    >>> from sympy import *

2    >>> x = Symbol("x")

3    >>> limit(x**2-1, x, 2)

4    3
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}$ .

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}$ $\displaystyle=\sqrt{\lim_{x\to 0}1-x^{2}}$ (1.27)

$\displaystyle=\sqrt{\lim_{x\to 0}1-\left(\lim_{x\to 0}x\right)^{2}}$ (1.28)

$\displaystyle=\sqrt{1-(0)^{2}}$ (1.29)

$\displaystyle=1.$ (1.30)

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com

⬇

1    >>> from sympy import *

2    >>> x = Symbol("x")

3    >>> limit(sqrt(1-x**2), x, 0)

4    1

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}$	$\displaystyle=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}\left[(x^{2}-1)\cdot(x-2)\right]% }{\displaystyle\lim_{x\to 0}\left[(x-1)\cdot(x-2)\right]}$	(1.31)
	$\displaystyle=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}(x^{2}-1)\cdot\lim_{x\to 0}(x-2)% }{\displaystyle\lim_{x\to 0}(x-1)\cdot\lim_{x\to 0}(x-2)}$	(1.32)
	$\displaystyle=\frac{2}{2}=1.$	(1.33)

Proposição 1.2.1.

(Limites de polinômios) Se

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0},

(1.34)

então

	$\displaystyle\lim_{x\to b}p(x)$	$\displaystyle=p(b)$		(1.35)
		$\displaystyle=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_{0},$		(1.36)

para qualquer dado número real $b$ .

Demonstração.

Segue das regras da soma, da multiplicação por escalar e da potenciação.

$\displaystyle\lim_{x\to b}p(x)$	$\displaystyle=\lim_{x\to b}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$	(1.37)
	$\displaystyle=\lim_{x\to b}a_{n}x^{n}+\lim_{x\to b}a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\lim_% {x\to b}a_{0}$	(1.38)
	$\displaystyle=a_{n}\left(\lim_{x\to b}x\right)^{n}+a_{n-1}\left(\lim_{x\to b}x% \right)^{n-1}+\cdots+a_{0}$	(1.39)
	$\displaystyle=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_{0}=p(b).$	(1.40)

∎

Exemplo 1.2.2.

	$\displaystyle\lim_{x\to\sqrt{2}}2x^{4}-2x^{2}+x$	$\displaystyle=2(\sqrt{2})^{4}-2(\sqrt{2})^{2}+\sqrt{2}$		(1.41)
		$\displaystyle=4+\sqrt{2}.$		(1.42)

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com os seguintes comandos.

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit(2*x**4-2*x**2+x, x, sqrt(2))

4 4 + sqrt(2)

Proposição 1.2.2.

(Limite de funções racionais) Sejam $r(x)=p(x)/q(x)$ uma função racional e $b$ um número real tal que $q(b)\neq 0$ . Então,

\lim_{x\to b}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(b)}{q(b)}.

(1.43)

Demonstração.

Segue da regra do limite do quociente e da Proposição 1.2.1.

	$\displaystyle\lim_{x\to b}\frac{p(x)}{q(x)}$	$\displaystyle=\frac{\displaystyle\lim_{x\to b}p(x)}{\displaystyle\lim_{x\to b}% q(x)}$		(1.44)
		$\displaystyle=\frac{p(b)}{q(b)}.$		(1.45)

∎

Exemplo 1.2.3.

	$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}$	$\displaystyle=\frac{(0^{2}-1)(0-2)}{(0-1)(0-2)}$		(1.46)
		$\displaystyle=\frac{2}{2}=1.$		(1.47)

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com os comandos.

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)), x, 0)

4 1

1.2.2 Indeterminação $0/0$

Quando $\displaystyle\lim_{x\to a}f(a)=0$ e $\displaystyle\lim_{x\to a}g(a)=0$ , dizemos que

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}

(1.48)

é uma indeterminação do tipo $0/0$ . Em vários destes casos, podemos calcular o limite eliminando o fator em comum $(x-a)$ .

Exemplo 1.2.4.

	$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x^{2}-1)\cancel{(x-2)}}{(x-1)\cancel{(x-2)}}$	$\displaystyle=\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-1}{x-1}$		(1.49)
		$\displaystyle=\frac{2^{2}-1}{2-1}=3.$		(1.50)

Com o Python+SymPy, podemos computar o limite acima com os seguintes comandos.

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)), x, 2)

4 3

Quando o fator em comum não aparece explicitamente, podemos tentar trabalhar algebricamente de forma a explicitá-lo.

Exemplo 1.2.5.

No caso do limite

\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x^{2}+x-2}

(1.51)

temos que o denominador $p(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3$ se anula em $x=1$ , assim como o denominador $q(x)=x^{2}+x-2$ . Assim sendo, $(x-1)$ é um fator comum entre $p(x)$ e $q(x)$ . Para explicitá-lo, calculamos

	$\displaystyle\frac{p(x)}{x-1}$	$\displaystyle=\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x-1}$		(1.52)
		$\displaystyle=x^{2}-2x-3$		(1.53)

	$\displaystyle\frac{q(x)}{x-1}$	$\displaystyle=\frac{x^{2}+x-2}{x-1}$		(1.54)
		$\displaystyle=x+2.$		(1.55)

Com o Python+SymPy, podemos computar essas divisões com os seguintes comandos.

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> simplify((x**3-3*x**2-x+3)/(x-1))

4 x**2 - 2*x - 3

5 >>> simplify((x**2+x-2)/(x-1))

6 x + 2

Realizadas as divisões, temos

p(x)=(x-1)(x^{2}-2x-3)

(1.56)

q(x)=(x-1)(x+2).

(1.57)

Com isso, segue que

	$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x^{2}+x-2}$	$\displaystyle=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^{2}-2x-3)}{(x-1)(x+2)}$		(1.58)
		$\displaystyle=\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-2x-3}{x+2}=-\frac{4}{3}.$		(1.59)

Use Python+SymPy para computar este limite!

Exemplo 1.2.6.

No caso de

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}

(1.60)

temos uma indeterminação do tipo $0/0$ envolvendo uma raiz. Neste caso, podemos calcular o limite usando de racionalização.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}$	$\displaystyle=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}\frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x% }+1}$	(1.61)
	$\displaystyle=\lim_{x\to 0}\frac{1-x-1}{x(\sqrt{1-x}+1)}$	(1.62)
	$\displaystyle-\lim_{x\to 0}\frac{-x}{x(\sqrt{1-x}+1)}$	(1.63)
	$\displaystyle=\lim_{x\to 0}\frac{-1}{\sqrt{1-x}+1}=-\frac{1}{2}.$	(1.64)

Verifique computando com o Python+SymPy.

1.2.3 Exercícios resolvidos

ER 1.2.1.

Calcule

\lim_{x\to-1}\frac{x-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}}.

(1.65)

Solução.

Usando das propriedades de limites, calculamos

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}}$	$\displaystyle=\frac{\displaystyle\lim_{x\to-1}x-x^{2}}{\displaystyle\lim_{x\to% -1}\sqrt{x^{2}+3}}$	(1.66)
	$\displaystyle=\frac{-1-(-1)^{2}}{\displaystyle\sqrt{\lim_{x\to-1}x^{2}+3}}$	(1.67)
	$\displaystyle=\frac{-2}{\sqrt{4}}$	(1.68)
	$\displaystyle=-1.$	(1.69)

ER 1.2.2.

Assumindo que o $\lim_{x\to 2}f(x)=L$ e que

\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-2}{x+2}=1,

(1.70)

forneça o valor de $L$ .

Solução.

Das propriedades de limites, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-2}{x+2}=1$		(1.71)
	$\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)-2}{\displaystyle\lim_{x\to 2% }x+2}=1$		(1.72)
	$\displaystyle\frac{\lim_{x\to 2}f(x)-\lim_{x\to 2}2}{2+2}=1$		(1.73)
	$\displaystyle\frac{L-2}{4}=1$		(1.74)
	$\displaystyle L-2=4$		(1.75)
	$\displaystyle L=6.$		(1.76)

ER 1.2.3.

Calcule

\lim_{x\to-1}\frac{x+1}{2-\sqrt{x^{2}+3}}.

(1.77)

Solução.

Neste caso, não podemos usar a regra do quociente, pois

\lim_{x\to-1}2-\sqrt{x^{2}+3}=0.

(1.78)

Agora, como também temos

\lim_{x\to-1}x+1=0,

(1.79)

concluímos se tratar de uma indeterminação $0/0$ . Por racionalização, obtemos

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x+1}{2-\sqrt{x^{2}+3}}$	$\displaystyle=\lim_{x\to-1}\frac{x+1}{2-\sqrt{x^{2}+3}}\frac{2+\sqrt{x^{2}+3}}% {2+\sqrt{x^{2}+3}}$	(1.80)
	$\displaystyle=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{4-(x^{2}+3)}$	(1.81)
	$\displaystyle=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{1-x^{2}}$	(1.82)
	$\displaystyle=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{(1+x)(1-x)}$	(1.83)
	$\displaystyle=\lim_{x\to-1}\frac{2+\sqrt{x^{2}+3}}{1-x}$	(1.84)
	$\displaystyle=\frac{4}{2}=2.$	(1.85)

1.2.4 Exercícios

E. 1.2.1.

Sabendo que

\lim_{x\to-2}f(x)=2,

(1.86)

calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}2\cdot f(x)$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}\pi\cdot f(x)$ .
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}-e^{\sqrt{2}}\cdot f(x)$ .

Resposta.

a) $4$ ; b) $2\pi$ ; c) $-2e^{\sqrt{2}}$

E. 1.2.2.

Considerando que

\lim_{x\to 3}f(x)=-2

(1.87)

\lim_{x\to 3}g(x)=\frac{1}{2},

(1.88)

calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)+g(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 3}g(x)-f(x)$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)-2g(x)$

Resposta.

a) $-3/2$ ; b) $5/2$ ; c) $-3$

E. 1.2.3.

Considerando que

\lim_{x\to 0}f(x)=3

(1.89)

\lim_{x\to 0}g(x)=-2,

(1.90)

calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\cdot g(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)\cdot(\frac{1}{2}\cdot f(x))$

Resposta.

a) $-6$ ; b) $-3$ ;

E. 1.2.4.

Considerando que

\lim_{x\to 0}f(x)=-2

(1.91)

\lim_{x\to 0}g(x)=-3,

(1.92)

calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{2f(x)}$

Resposta.

a) $2/3$ ; b) $3/4$ ;

E. 1.2.5.

Considerando que

\lim_{x\to-1}f(x)=-1

(1.93)

\lim_{x\to-1}g(x)=4,

(1.94)

calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\sqrt{g(x)}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\sqrt[3]{f(x)}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}(f(x))^{\frac{4}{3}}$

Resposta.

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $1$

E. 1.2.6.

Calcule os limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}-3x$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}x^{2}-3x$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}x^{2}-3x+\sqrt{x^{2}}$

Resposta.

a) $6$ ; b) $10$ ; c) $12$

E. 1.2.7.

Calcule os limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x}{x-1}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3x+2}$

Resposta.

a) $1/2$ ; b) $-1/3$ ;

E. 1.2.8.

Calcule os limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}-1}{2x+2}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3x+2}$

Resposta.

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $-3$ ;

E. 1.2.9.

Calcule o limite

\lim_{x\to 6}\frac{2-\sqrt{x-2}}{x-6}.

(1.95)

Resposta.

$-1/4$

E. 1.2.10.

Diga se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação. Se existem

	$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=L$		(1.96)
	$\displaystyle\lim_{x\to-1}g(x)=M$		(1.97)

então

\lim_{x\to 1}f(x)+g(x)=L+M.

(1.98)

Justifique sua resposta.

Resposta.

Falso. Construa um contraexemplo para mostrar que a afirmação não é verdadeira.

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	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}k\cdot f(x)$	$\displaystyle=k\cdot\lim_{x\to x_{0}}f(x)$		(1.12)
		$\displaystyle=k\cdot L_{1},$		(1.13)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\pm g(x)$	$\displaystyle=\lim_{x\to x_{0}}f(x)\pm\lim_{x\to x_{0}}g(x)$		(1.14)
		$\displaystyle=L_{1}\pm L_{2}$		(1.15)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\cdot g(x)$	$\displaystyle=\lim_{x\to x_{0}}f(x)\cdot\lim_{x\to x_{0}}g(x)$		(1.16)
		$\displaystyle=L_{1}\cdot L_{2}$		(1.17)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}$	$\displaystyle=\frac{\lim_{x\to x_{0}}f(x)}{\lim_{x\to x_{0}}g(x)}$		(1.18)
		$\displaystyle=\frac{L_{1}}{L_{2}},\qquad L_{2}\neq 0$		(1.19)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}(f(x))^{s}$	$\displaystyle=\left(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\right)^{s}$		(1.20)
		$\displaystyle=L_{1}^{s},\qquad L_{1}^{s}\in\mathbb{R}$		(1.21)

	$\displaystyle\lim_{x\to-1}2x$	$\displaystyle=2\lim_{x\to-1}x$		(1.22)
		$\displaystyle=2\cdot(-1)=-2$		(1.23)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}x^{2}-1$	$\displaystyle=\lim_{x\to 2}x^{2}-\lim_{x\to 2}1$	(1.24)
	$\displaystyle=\left(\lim_{x\to 2}x\right)^{2}-1$	(1.25)
	$\displaystyle=2^{2}-1=3.$	(1.26)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}$	$\displaystyle=\sqrt{\lim_{x\to 0}1-x^{2}}$	(1.27)
	$\displaystyle=\sqrt{\lim_{x\to 0}1-\left(\lim_{x\to 0}x\right)^{2}}$	(1.28)
	$\displaystyle=\sqrt{1-(0)^{2}}$	(1.29)
	$\displaystyle=1.$	(1.30)

1.2 Regras para o cálculo de limites

1.2.1 Regras de cálculo

Exemplo 1.2.1.

Proposição 1.2.1.

Demonstração.

Exemplo 1.2.2.

Proposição 1.2.2.

Demonstração.

Exemplo 1.2.3.

1.2.2 Indeterminação 0/0

Exemplo 1.2.4.

Exemplo 1.2.5.

Exemplo 1.2.6.

1.2.3 Exercícios resolvidos

ER 1.2.1.

Solução.

ER 1.2.2.

Solução.

ER 1.2.3.

Solução.

1.2.4 Exercícios

E. 1.2.1.

Resposta.

E. 1.2.2.

Resposta.

E. 1.2.3.

Resposta.

E. 1.2.4.

Resposta.

E. 1.2.5.

Resposta.

E. 1.2.6.

Resposta.

E. 1.2.7.

Resposta.

E. 1.2.8.

Resposta.

E. 1.2.9.

Resposta.

E. 1.2.10.

Resposta.

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1.2.2 Indeterminação $0/0$