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1 Limites 1 Limites 1.2 Regras para o cálculo de limites

1.1 Noção de limites

Seja $f$ uma função definida em um intervalo aberto em torno de um dado ponto $x_{0}$ , exceto talvez em $x_{0}$ . Quando o valor de $f(x)$ é arbitrariamente próximo de um número $L$ para $x$ suficientemente próximo de $x_{0}$ , escrevemos

\lim_{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x\to x_{0}}f(x% )={\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}L}

(1.1)

e dizemos que o limite da função $f$ é $L$ quando $x$ tende a $x_{0}$ . Veja a Figura 1.1.

Refer to caption — Figura 1.1: Ilustração da noção de limite de uma função.

Exemplo 1.1.1.

Consideremos a função

f(x)=\frac{(x^{2}-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}.

(1.2)

Na Figura 1.2, temos um esboço do gráfico desta função.

Vejamos os seguintes casos:

•

$\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=1=f(0)$ .

$x$ $-0,01$ $-0,001$ $-0,0001$ $\rightarrow 0\leftarrow$ $0,0001$ $0,001$ $0,01$

$f(x)$ $0,99$ $0,999$ $0,9999$ $\rightarrow 1\leftarrow$ $1,0001$ $1,001$ $1,01$

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com o comando

⬇

1      >>> from sympy import *

2      >>> x = Symbol('x')

3      >>> limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2))), x, 0)

4      >>> 1
•

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=2$ , embora $f(1)$ não esteja definido.

$x$ $0,9$ $0,99$ $0,999$ $\rightarrow 1\leftarrow$ $1,0001$ $1,001$ $1,01$

$f(x)$ $1,9$ $1,99$ $1,999$ $\rightarrow 2\leftarrow$ $2,0001$ $2,001$ $2,01$
•

$\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=3$ , embora $f(2)$ também não esteja definido. Verifique!

$x$	$-0,01$	$-0,001$	$-0,0001$	$\rightarrow 0\leftarrow$	$0,0001$	$0,001$	$0,01$
$f(x)$	$0,99$	$0,999$	$0,9999$	$\rightarrow 1\leftarrow$	$1,0001$	$1,001$	$1,01$

1.1.1 Limites da função constante e da função identidade

Da noção de limite, podemos inferir que

\lim_{x\to x_{0}}k=k,

(1.3)

seja qual for a constante $k$ . Veja a Figura 1.3.

Exemplo 1.1.2.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}1=1$ No Python, podemos computar este limite com os seguintes comandos.

⬇

1      >>> from sympy import *

2      >>> x = Symbol("x")

3      >>> limit(1, x, -1)

4      >>> 1
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}-3=-3$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\pi}\left(\sqrt{2}-e\right)=\sqrt{2}-e$

Também da noção de limites, podemos inferir que

\lim_{x\to x_{0}}x=x_{0},

(1.4)

seja qual for o ponto $x_{0}$ . Vejamos a Figura 1.4.

Exemplo 1.1.3.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}x=-1$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}x=2$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\pi}x=\pi$

Com o Python+SymPy, podemos computar o limite do item a) com os seguintes comandos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit(x, x, -1)

4 -1

Compute os outros itens e verifique os resultados!

1.1.2 Exercícios resolvidos

ER 1.1.1.

Estime o valor do limite

\lim_{x\to 1}e^{x}.

(1.5)

Solução.

Da noção de limite, podemos buscar inferir o limite de uma função em um ponto $x_{0}$ , computando seus valores próximos deste ponto. Por exemplo, construímos a seguinte tabela:

$x$	$0,9$	$0,99$	$0,999$	$\rightarrow 1\leftarrow$	$1,0001$	$1,001$	$1,01$
$f(x)$	$2,460$	$2,691$	$2,716$	$\rightarrow 2,72\leftarrow$	$2,719$	$2,721$	$2,746$

Com isso, inferimos que

\lim_{x\to 1}e^{x}\approx 2,72.

(1.6)

Mais adiante, veremos que $\lim_{x\to 1}e^{x}=e\approx 2,718281828459045...$ .

Verifique usando Python+SymPy!

ER 1.1.2.

Considere que uma dada função $f$ tenha o seguinte esboço de gráfico:

Então, infira o valores de

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}f(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}f(x)$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$

Solução.

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}f(x)$

Para valores suficientemente próximos de $-2$ e a direita de $-2$ (i.e. $x>-2$ ), podemos observar que $f(x)=1$ . Para tais valores de $x$ a esquerda de $-2$ (i.e. $x<-2$ ), vemos que os valores de $f(x)$ tornam-se próximos de $1$ . Isto é, temos que os valores de $f(x)$ podemos ser tomados arbitrariamente próximos de $L=1$ , se tomarmos $x$ suficientemente próximo de $-2$ . Concluímos que

$\lim_{x\to-2}=1.$ (1.7)
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}f(x)$

Mesmo sendo $f(-1)=2$ , observamos que os valores de $f(x)$ podem ser tomados arbitrariamente próximos de $1$ , se escolhemos valores de $x$ suficientemente próximos de $-1$ . Logo,

$\lim_{x\to-1}f(x)=1.$ (1.8)
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$

Aqui, para valores de $x$ suficientemente próximos de $x_{0}=1$ e a esquerda ( $x<1$ ), vemos que os valores de $f(x)$ são próximos de $L=2$ . Entretanto, para valores de $x$ suficientemente próximos de $x_{0}=1$ e a direita ( $x>1$ ), temos que os valores de $f(x)$ são próximos de $L=1$ . Ou seja, não é possível escolher um valor $L$ tal que $f(x)$ esteja arbitrariamente próxima ao tomarmos $x$ suficientemente próximo de $x_{0}=1$ , pois $L$ dependerá de $x$ estar a esquerda ou a direita de do ponto $x_{0}=1$ . Concluímos que este limite não existe, e escrevemos

$\not\exists\lim_{x\to 1}f(x).$ (1.9)

1.1.3 Exercícios

E. 1.1.1.

Considere que uma dada função $f$ tenha o seguinte esboço de gráfico: [Uncaptioned image]

Forneça o valor dos seguintes limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}f(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)$

Resposta.

a) $-1$ ; b) $-1$ ; c) $2$ ; d) $\nexists$

E. 1.1.2.

Considerando a mesma função do exercício anterior (Exercício 1.1.1), forneça

1.

$\displaystyle\lim_{x\to-\frac{3}{2}}f(x)$
2.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)$
3.

$\displaystyle\lim_{x\to\frac{3}{4}}f(x)$

Resposta.

a) $-\frac{3}{2}$ ; b) $-1$ ; c) $-1$

E. 1.1.3.

Forneça o valor dos seguintes limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}2$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}2$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}-3$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to e}\pi$

Resposta.

a) 2; b) 2; c) -3; d) $\pi$

E. 1.1.4.

Forneça o valor dos seguintes limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}x$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}x$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-3}x$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to e}x$

Resposta.

a) 2; b) -2; c) -3; d) $e$

E. 1.1.5.

Com base na noção de limites, calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}|x|$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}|x|$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 10^{-10}}|x|$

Resposta.

a) $1$ ; b) $1$ ; c) $10^{-10}$

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