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2 Derivadas 2 Derivadas 2.2 Função derivada

2.1 Derivada no ponto

Nesta seção, vamos estudar a noção de derivada de uma função em um ponto. Começamos pelas noções de reta secante e de reta tangente ao gráfico de uma função. Em seguida, estudamos as noções de taxa de variação média e taxa de variação instantânea. Por fim, definimos a derivada de uma função em um ponto.

2.1.1 Reta secante e reta tangente

Definimos a reta secante ao gráfico de uma dada função $f$ pelos pontos $x_{0}$ e $x_{1}$ , $x_{0}\neq x_{1}$ , como sendo a reta determinada pela equação

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y=\frac{f(x_{1% })-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}(x-x_{0})+f(x_{0})}.

(2.1)

Isto é, é a reta que passa pelos pontos $(x_{0},f(x_{0}))$ e $(x_{1},f(x_{1}))$ . Veja a Figura 2.1. Observemos que o coeficiente angular da reta secante é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}m_{\text{sec}}% =\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.

(2.2)

Refer to caption — Figura 2.1: Esboços de uma reta secante (verde) e da reta tangente (vermelho) ao gráfico de uma função.

A reta tangente ao gráfico de uma função $f$ em $x=x_{0}$ é a reta que passa pelo ponto $(x_{0},f(x_{0}))$ e tem coeficiente angular

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}m_{\text{tg}}=% \lim_{x_{1}\to x_{0}}\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.

(2.3)

Isto é, a reta de equação

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y=m_{\text{tg}% }(x-x_{0})+f(x_{0})}.

(2.4)

Menos formal, é a reta limite das retas secantes ao gráfico da função pelos pontos $x_{0}$ e $x_{1}$ , quando $x_{1}\to x_{0}$ . Veja a Figura 2.1.

Observação 2.1.1.

Fazendo a mudança de variável $h=x_{1}-x_{0}$ , temos que (2.3) é equivalente a

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}m_{\text{tg}}=% \lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.

(2.5)

De fato, da mudança de variável, temos que $x_{1}=x_{0}+h$ e quando $x_{1}\to x_{0}$ , temos que $h=x_{1}-x_{0}\to 0$ . Ou seja,

	$\displaystyle m_{\text{tg}}$	$\displaystyle=\lim_{x_{1}\to x_{0}}\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$		(2.6)
		$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.$		(2.7)

Exemplo 2.1.1.

Seja $f(x)=x^{2}$ e $x_{0}=1$ . O coeficiente angular da reta secante ao gráfico de $f$ pelos pontos $x_{0}=1$ e $x_{1}=2$ é

$\displaystyle m_{\text{sec}}$	$\displaystyle=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$	(2.8)
	$\displaystyle=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$	(2.9)
	$\displaystyle=\frac{4-1}{1}=3.$	(2.10)

Logo, a reta secante ao gráfico de $f$ pelos pontos $x_{0}=1$ e $x_{1}=2$ tem equação

	$\displaystyle y=m_{\text{sec}}(x-x_{0})+f(x_{0})$		(2.11)
	$\displaystyle y=3(x-1)+f(1)$		(2.12)
	$\displaystyle y=3x-2.$		(2.13)

Na Figura 2.2, temos os esboços dos gráfico da função e da reta secante (verde).

Agora, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $x_{0}$ é

$\displaystyle m_{\text{tg}}$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$	(2.14)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{2}-1}{h}$	(2.15)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1+2h+h^{2}-1}{h}$	(2.16)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{2+h}{1}=2.$	(2.17)

Assim sendo, a reta tangente ao gráfico de $f(x)=x^{2}$ no ponto $x_{0}=1$ tem coeficiente angular $m_{\text{tg}}=2$ e equação

y=2(x-1)+1=2x-1.

(2.18)

Na Figura 2.2, temos os esboços dos gráfico da função e da reta tangente (vermelho).

Com o Python+SymPy, podemos obter a expressão da reta secante com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: x,y = symbols('x,y')

3 ...: x0 = 1

4 ...: x1 = 2

5 ...: f = lambda x: x**2

6 ...: msec = (f(x1)-f(x0))/(x1-x0)

7 ...: Eq(y, msec*(x-x0)+f(x0))

8 Out: Eq(y, 3.0*x - 2.0)

A expressão da reta tangente pode ser obtida com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: x,y = symbols('x,y')

3 ...: h = Symbol('h')

4 ...: x0 = 1

5 ...: f = lambda x: x**2

6 ...: mtg = limit((f(x0+h)-f(x0))/h, h, 0)

7 ...: Eq(y, mtg*(x-x0)+f(x0))

8 ...:

9 Out: Eq(y, 2*x - 1)

2.1.2 Taxa de variação

A taxa de variação média de uma função $f$ quando $x$ varia de $x_{0}$ a $x_{1}$ é definida como

\frac{\Delta y}{\Delta x}:=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.

(2.19)

Desta deriva-se a taxa de variação instantânea de $f$ no ponto $x_{0}$ , a qual é definida como

	$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right\|_{x=x_{0}}$	$\displaystyle:=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$		(2.20)
		$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.$		(2.21)

Em muitas áreas do conhecimento, estas taxa recebem nomes específicos.

Exemplo 2.1.2.

Seja $s=s(t)$ a função distância percorrida por um objeto no tempo. A velocidade média (taxa de variação média da distância) do tempo $t_{0}$ ao tempo $t_{1}$ é

\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}.

(2.22)

Por exemplo, se $s(t)=15t^{2}+t$ (km), então a velocidade média do objeto entre $t_{0}=1$ h e $t_{1}=3$ h é

$\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}$	$\displaystyle=\frac{(15t_{1}^{2}+t_{1})-(15t_{0}^{2}+t_{0})}{t_{1}-t_{0}}$	(2.23)
	$\displaystyle=\frac{15\cdot 3^{2}+3-(15\cdot 1^{2}+1)}{3-1}$	(2.24)
	$\displaystyle=\frac{135+3-15-1}{2}$	(2.25)
	$\displaystyle=61\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{km}}{\text{h}}.$	(2.26)

A velocidade (taxa de variação instantânea da distância) no tempo $t_{0}=1$ é

$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right\|_{t=t_{0}}$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{s(t_{0}+h)-s(t_{0})}{h}$	(2.27)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{15(t_{0}+h)^{2}+(t_{0}+h)-\left(15t_{0}^{2}+t% _{0}\right)}{h}$	(2.28)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{15t_{0}^{2}+30t_{0}h+15h^{2}+t_{0}+h-15t_{0}^% {2}-t_{0}}{h}$	(2.29)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{30t_{0}h+15h^{2}+h}{h}$	(2.30)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}30t_{0}+15h+1$	(2.31)
	$\displaystyle=30t_{0}+1=31\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{km}}{\text{h}}.$	(2.32)

Exemplo 2.1.3.

Seja $c(x)=\sqrt{x}$ (milhões de reais) o custo da produção em uma empresa em função do número de unidades produzidas (milhares). O custo médio da produção de $x_{0}=4$ a $x_{1}=9$ é

$\displaystyle\frac{\Delta c}{\Delta x}$	$\displaystyle=\frac{c(x_{1})-c(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$	(2.33)
	$\displaystyle=\frac{\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{0}}}{x_{1}-x_{0}}$	(2.34)
	$\displaystyle=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{4}}{9-4}$	(2.35)
	$\displaystyle=\frac{3-2}{5}$	(2.36)
	$\displaystyle=0,2\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un}}.$	(2.37)

O custo marginal (taxa de variação instantânea do custo) quando a empresa está produzindo $x_{0}=4$ milhões de unidades é

$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}\right\|_{x=x_{0}=4}$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}$	(2.38)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}\cdot\frac{% \sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}}}{\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}}}$	(2.39)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h(\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}})}$	(2.40)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x_{0}+\cancelto{0}{h}}+\sqrt{x_{0}}}$	(2.41)
	$\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}=\frac{\sqrt{x_{0}}}{2x_{0}}$	(2.42)
	$\displaystyle=\frac{\sqrt{4}}{2\cdot 4}=0,25\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R% \$}}{\text{un}}.$	(2.43)

Observação 2.1.2.

Analogamente a custo marginal, temos as noções de rendimento marginal e lucro marginal.

2.1.3 Derivada em um ponto

A derivada de uma função $f$ em um ponto $x=x_{0}$ é denotada por $f^{\prime}(x_{0})$ ou $\displaystyle\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_{0})$ e é definida por

f^{\prime}(x_{0})=\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_{0}}:=\lim% _{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.

(2.44)

Exemplo 2.1.4.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$f(x)=k$ , $k$ constante.

$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})$ $\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ (2.45)

$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{k-k}{h}=0.$ (2.46)
b)

$f(x)=x$ .

$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})$ $\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ (2.47)

$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h}=1.$ (2.48)
c)

$f(x)=\sqrt{x}$ , $x_{0}=1$ .

$\displaystyle f^{\prime}(1)$ $\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}$ (2.49)

$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}\cdot\frac{\sqrt{1+h}+% \sqrt{1}}{\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}$ (2.50)

$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\frac{1}{2}.$ (2.51)

Exemplo 2.1.5.

Assuma que o rendimento de uma empresa é modelado por $r(x)=x^{2}$ (milhões de reais), onde $x$ é o número em milhões de unidades vendidas. O rendimento marginal quando $x=x_{0}=1$ é

$\displaystyle r^{\prime}(x_{0})$	$\displaystyle=\lim_{x\to x_{0}}\frac{(x_{0}+h)^{2}-x_{0}^{2}}{h}$	(2.52)
	$\displaystyle=\lim_{x\to x_{0}}\frac{x_{0}^{2}+2x_{0}h+h^{2}-x_{0}^{2}}{h}$	(2.53)
	$\displaystyle=\lim_{x\to x_{0}}2x_{0}h+h=2x_{0}=2\leavevmode\nobreak\ \frac{% \text{R\$}}{\text{un}}$	(2.54)

2.1.4 Exercícios resolvidos

ER 2.1.1.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\sqrt{x}$ no ponto $x_{0}=4$ . Faça, então, os esboços dos gráficos de $f$ e da reta tangente em um mesmo plano cartesiano.

Solução.

A equação da reta tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $x_{0}=4$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(2.55)

A derivada de $f$ no ponto $x_{0}$ é

$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})$	$\displaystyle=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$	(2.56)
	$\displaystyle=\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{4+h}-\sqrt{4}}{h}$	(2.57)
	$\displaystyle=\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}\cdot\frac{\sqrt{4+h}+2}{% \sqrt{4+h}+2}$	(2.58)
	$\displaystyle=\lim_{x\to 4}\frac{4+h-4}{h(\sqrt{4+h}+2)}$	(2.59)
	$\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}.$	(2.60)

Portanto, a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-4)+\sqrt{4}$		(2.61)
	$\displaystyle y=\frac{1}{4}x+1.$		(2.62)

Veja a Figura 2.3 para os esboços dos gráfico de $f$ e da reta tangente.

ER 2.1.2.

Considere que a produção em uma empresa tem custo

c(x)=\sqrt{x}

(2.63)

e rendimento

r(x)=x^{2},

(2.64)

onde $x$ é o número de unidades (em milhões) produzidas. Calcule o lucro marginal da empresa quando $x=1$ mi.

Solução.

O lucro é

l(x)=r(x)-c(x).

(2.65)

Desta forma, o lucro marginal no ponto $x_{0}=1$ é

$\displaystyle l^{\prime}(x_{0})$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{l(x_{0}+h)-l(x_{0})}{h}$	(2.66)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)-c(x_{0}+h)-(r(x_{0})-c(x_{0}))}{h}$	(2.67)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)-r(x_{0})-(c(x_{0}+h)-c(x_{0}))}{h}$	(2.68)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)-r(x_{0})}{h}-\lim_{h\to 0}\frac{c(% x_{0}+h)-c(x_{0})}{h}$	(2.69)
	$\displaystyle=r^{\prime}(x_{0})-c^{\prime}(x_{0})$	(2.70)
	$\displaystyle=2x_{0}-\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$	(2.71)
	$\displaystyle=2-\frac{1}{2}=1,5\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un% }}.$	(2.72)

2.1.5 Exercícios

E. 2.1.1.

Calcule as derivadas conforme indicado:

a)

$f(x)=2$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=10^{6}$ , $g^{\prime}(10^{8})$ ;
c)

$h(x)=\ln 2e$ , $h^{\prime}(-\pi)$ ;

Resposta.

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 2.1.2.

Calcule as derivadas conforme indicado:

a)

$f(x)=2+x$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=10^{6}-2x$ , $g^{\prime}(-3)$ ;
c)

$h(x)=\ln(2e)+ex$ , $h^{\prime}(10^{6})$ ;

Resposta.

a) $-1$ ; b) $-2$ ; c) $e$

E. 2.1.3.

Calcule as derivadas conforme indicado:

a)

$f(x)=x$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=-2x$ , $g^{\prime}(-3)$ ;
c)

$h(x)=ex$ , $h^{\prime}(10^{6})$ ;

Resposta.

a) $-1$ ; b) $-2$ ; c) $e$

E. 2.1.4.

Determine a reta secante ao gráfico de $f(x)=5-x^{2}$ pelos pontos $x_{0}=1$ e $x_{1}=2$ . Então, determine a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $x_{0}=1$ . Por fim, faça os esboços dos gráficos de $f$ , da reta secante e da reta tangente em um mesmo plano cartesiano.

Resposta.

reta secante: $y=-3x+7$ ; reta tangente: $y=-2x+6$ ; dica: verifique seus esboços plotando os gráficos no computador

E. 2.1.5.

Assumindo que, em uma empresa, a produção tenha o custo $c(x)=2\sqrt{x}$ e rendimento $r(x)=\frac{1}{100}x^{3}$ , dados em milhões de reais com $x$ em milhares de unidades. Calcule:

a)

o custo marginal quando $x=1$ ;
b)

o rendimento marginal quando $x=1$ ;
c)

o lucro marginal quando $x=1$ .

Resposta.

a) $1000\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R}\$}{\text{un}}$ ; b) $30\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un}}$ ; c) $-970\leavevmode\nobreak\ \frac{\text{R\$}}{\text{un}}$ .

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	$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$		(2.45)
		$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{k-k}{h}=0.$		(2.46)

	$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$		(2.47)
		$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h}=1.$		(2.48)

$\displaystyle f^{\prime}(1)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}$	(2.49)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}\cdot\frac{\sqrt{1+h}+% \sqrt{1}}{\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}$	(2.50)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\frac{1}{2}.$	(2.51)