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3.1 Regra de L’Hôpital

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A regra de L’Hôpital é uma técnica para o cálculo de limites de indeterminações. Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto contendo x=a, exceto possivelmente em x=a, e

limx→af⁢(x)=0elimx→ag⁢(x)=0. (3.1)

Se, ainda, limx→af⁢(x)/g⁢(x) existe ou for ±∞, então

limx→af⁢(x)g⁢(x)=limx→af′⁢(x)g′⁢(x). (3.2)

Esta é a versão da regra de L’Hôpital para indeterminações do tipo 0/0. Sem grandes modificações, é diretamente estendida para os casos x→a−, x→a+, x→∞ e x→−∞.

Exemplo 3.1.1.

Vamos calcular o limite

limx→1x−1x2−1. (3.3)
  1. a)

    Pela regra de L’Hôpital.

    limx→1x−1x2−1 =limx→1(x+1)′(x2−1)′ (3.4)
    =limx→112⁢x (3.5)
    =12. (3.6)
  2. b)

    Por eliminação do fator comum.

    limx→1x−1x2−1 =limx→1x−1(x−1)⁢(x+1) (3.7)
    =limx→11x+1 (3.8)
    =12. (3.9)

No SymPy2121endnote: 21Veja a Observação 3.0.1., temos

>>> limit((x-1)/(x**2-1),x,1)
1/2
Exemplo 3.1.2.

O limite

limx→2x2−4⁢x+4x3−3⁢x2+4 (3.10)

é uma indeterminação 0/0. Aplicando a regra de L’Hôpital, obtemos

limx→2x2−4⁢x+4x3−3⁢x2+4=limx→22⁢x−403⁢x2−6⁢x0, (3.11)

que também é uma indeterminação do tipo 0/0. Agora, aplicando a regra de L’Hôpital novamente, obtemos

limx→22⁢x−43⁢x2−6⁢x=limx→226⁢x−6=13. (3.12)

Portanto, concluímos que

limx→2x2−4⁢x+4x3−3⁢x2+4=13. (3.13)

No SymPy2222endnote: 22Veja a Observação 3.0.1., temos

>>> limit((x**2-4*x+4)/(x**3-3*x**2+3),x,2)
1/3
Observação 3.1.1.

A regra de L’Hôpital também pode ser usada para indeterminações do tipo ∞/∞.

Exemplo 3.1.3.

Vamos calcular

limx→∞exx, (3.14)

que é uma indeterminação do tipo ∞/∞. Então, aplicando a regra de L’Hôpital, temos

limx→∞exx=limx→∞ex1=∞. (3.15)

3.1.1 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Calcule

limx→0−ex−1x2. (3.16)
Solução.

Observamos tratar-se de uma indeterminação do tipo 0/0, i.e.

limx→0−ex−10x20. (3.17)

Então, aplicando a regra de L’Hôpital, temos

limx→0−ex−1x2=limx→0−ex12⁢x0−=−∞. (3.18)
ER 3.1.2.

(Indeterminação do tipo 0⋅∞)

Calcule

limx→∞x51⁢e−x. (3.19)
Solução.

Observamos que

limx→∞x51∞⁢e−x0=limx→∞x51∞ex∞. (3.20)

Então, aplicando a regra de L’Hôpital sucessivamente, obtemos

limx→∞x51⁢e−x =limx→∞x51ex (3.21)
=limx→∞51⋅x50ex (3.22)
=limx→∞51⋅50⋅x49ex (3.23)
⋮ (3.24)
=limx→∞51!ex∞=0. (3.25)
ER 3.1.3.

(Indeterminação do tipo ∞−∞)

Calcule

limx→0+(1x−1ex−1). (3.26)
Solução.

Trata-se de uma indeterminação do tipo ∞−∞, pois

limx→0+(1x∞−1ex−1∞). (3.27)

Neste caso, calculando a subtração, obtemos

limx→0+(1x−1ex−1) =limx→0+ex−1+xx⁢ex−x, (3.28)

a qual é uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de L’Hôpital, obtemos

limx→0+ex−1−xx⁢ex−x =limx→0+ex−10(x+1)⁢ex−10 (3.29)
=limx→0+ex(x+2)⁢ex (3.30)
=limx→0+1x+2=12. (3.31)
ER 3.1.4.

(Indeterminação do tipo 1∞)

Calcule

limx→0+(1+x)1/x. (3.32)
Solução.

Trata-se de uma indeterminação do tipo 1∞. Em tais casos, a seguinte estratégia pode ser útil. Nos pontos de continuidade da função logaritmo natural, temos

ln⁡(limx→0+(1+x)1/x) =limx→0+ln⁡((1+x)1/x) (3.33)
=limx→0+ln⁡(1+x)0x0 (3.34)
=limx→0+1x+11=1. (3.35)

Ou seja,

ln⁡(limx→0+(1+x)1/x)=1⇒limx→0+(1+x)1/x=e. (3.36)

3.1.2 Exercícios

E. 3.1.1.

Calcule

limx→−1x+1x2+3⁢x+2. (3.37)
Resposta.

1

E. 3.1.2.

Calcule

limx→∞x−51⁢ex. (3.38)
Resposta.

∞

E. 3.1.3.

Calcule

limx→0+(1x+ln⁡x). (3.39)
Resposta.

∞

E. 3.1.4.

Calcule

limx→0+(ex+x)12⁢x. (3.40)
Resposta.

e

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