Matemática numérica I

3 Métodos para sistemas lineares 3.2 Norma e número de condicionamento 3.4 Método do gradiente

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3.3 Métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel

Nesta seção, estudamos os métodos iterativos de Jacobi⁷⁷7Carl Gustav Jakob Jacobi, 1804 - 1851, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Carl Gustav Jakob Jacobi. e de Gauss⁸⁸8Johann Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Carl Friedrich Gauss.-Seidel⁹⁹9Philipp Ludwig von Seidel, 1821 - 1896, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Philipp Ludwig von Seidel. para a aproximação da solução de sistemas lineares

A\bm{x}=\bm{b},

(3.232)

onde $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}$ , $n\geq 1$ , é uma dada matriz dos coeficientes, $\bm{x}=(x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n})$ é o vetor das incógnitas e $\bm{b}=(b_{1},b_{2},\dotsc,b_{n})$ é um dado vetor dos termos constantes.

Métodos iterativos para sistemas lineares têm a forma

	$\displaystyle\bm{x}^{(0)}=\text{aprox. inicial},$		(3.233)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \bm{x}^{(k+1)}=T\bm{x}^{(k)}+\bm{c},$		(3.234)

onde $T=[t_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}$ é a matriz de iteração e $\bm{c}=(c_{1},c_{2},\dotsc,c_{n})$ é o vetor de iteração.

3.3.1 Método de Jacobi

Consideramos a seguinte decomposição da matriz $A=L+D+U$ :

	$\displaystyle A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&a_{nn}\\ \end{bmatrix}$
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{\begin{bmatrix}0&0&0&\ldots&0\\ a_{21}&0&0&\ldots&0\\ a_{31}&a_{32}&0&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&0\\ \end{bmatrix}}_{L}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\underbrace{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&\ldots&0\\ 0&a_{22}&0&\ldots&0\\ 0&0&a_{33}&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\ 0&0&0&\ldots&a_{nn}\\ \end{bmatrix}}_{D}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\underbrace{\begin{bmatrix}0&a_{12}&a_{13}&\ldots&a% _{1n}\\ 0&0&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\ 0&0&a_{33}&\ldots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\ 0&0&0&\ldots&a_{nn}\\ \end{bmatrix}}_{U}.$		(3.235)

Isto é, a matriz $A$ decomposta como a soma de sua parte triangular inferior $L$ , de sua diagonal $D$ e de sua parte triangular superior $U$ .

Desta forma, podemos reescrever o sistema como segue:

	$\displaystyle A\bm{x}=\bm{b}$		(3.236)
	$\displaystyle(L+D+U)\bm{x}=\bm{b}$		(3.237)
	$\displaystyle(L+U)\bm{x}+D\bm{x}=\bm{b}$		(3.238)
	$\displaystyle D\bm{x}=-(L+U)\bm{x}+\bm{b}$		(3.239)
	$\displaystyle\bm{x}=-D^{-1}(L+U)\bm{x}+D^{-1}\bm{b}.$		(3.240)

Ou seja, resolver o sistema $A\bm{x}=\bm{b}$ é equivalente a resolver o problema de ponto fixo

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\bm{x}=T_{J}% \bm{x}+\bm{c}_{J},

(3.241)

onde $T_{J}=-D^{-1}(L+U)$ é chamada de matriz de Jacobi e $\bm{c}_{J}=D^{-1}\bm{b}$ é chamado de vetor de Jacobi.

Exemplo 3.3.1.

Consideramos o sistema linear $A\bm{x}=\bm{b}$ com

	$\displaystyle A=\begin{bmatrix}-4&2&-1\\ -2&5&2\\ 1&-1&-3\end{bmatrix},$		(3.242)
	$\displaystyle\bm{b}=\begin{bmatrix}-11\\ -7\\ 0\end{bmatrix}.$		(3.243)

Este sistema tem solução $\bm{x}=(2,-1,1)$ . Neste caso, temos a decomposição $A=L+D+U$ com

	$\displaystyle L=\begin{bmatrix}0&0&0\\ -2&0&0\\ 1&-1&0\end{bmatrix},$		(3.244)
	$\displaystyle D=\begin{bmatrix}-4&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&-3\end{bmatrix},$		(3.245)
	$\displaystyle U=\begin{bmatrix}0&2&-1\\ 0&0&2\\ 0&0&0\end{bmatrix}.$		(3.246)

Ainda, observamos que

	$\displaystyle T_{J}\bm{x}+\bm{c}_{J}=-D^{-1}(L+U)\bm{x}+D^{-1}\bm{b}$		(3.247)
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{\begin{bmatrix}0&1/2&1/4\\ 2/5&0&-2/5\\ 1/3&-1/3&0\end{bmatrix}}_{T_{J}}\underbrace{\begin{bmatrix}2\\ -1\\ 1\end{bmatrix}}_{\bm{x}}+\underbrace{\begin{bmatrix}11/4\\ -7/5\\ 0\end{bmatrix}}_{\bm{c}_{J}}$		(3.248)
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{\begin{bmatrix}2\\ -1\\ 1\end{bmatrix}}_{\bm{x}}.$		(3.249)

conforme esperado.

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4# sistema

5A = np.array([[-4., 2., -1.],

6 [-2., 5., 2.],

7 [1., -1., -3.]])

8b = np.array([-11., -7., 0.])

10# A = L + D + U

11L = np.tril(A, -1)

12D = np.diag(np.diag(A))

13U = np.triu(A, 1)

15# matriz de Jacobi

16T = -npla.inv(D) @ (L + U)

17# vetor de Jacobi

18c = npla.inv(D) @ b

A forma matricial das iterações de Jacobi consiste em

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \bm{x}^{(0)}=\text{aprox. inicial},$		(3.250)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \bm{x}^{(k+1)}=T_{J}\bm{x}^{(k)}+\bm{c}_{J},$		(3.251)

onde $\bm{x}^{(k)}=(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},\dotsc,x_{n}^{(k)})$ é a $k$ -ésima aproximação da solução do sistema, $k=0,1,2,\ldots$ .

Equivalentemente, tem-se a forma algébrica das iterações de Jacobi

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{i}^{(k+1)}% =\frac{{b_{i}-\sum_{\overset{j=1}{j\neq i}}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}}}{a_{ii}},

(3.252)

com $i=1,2,\dotsc,n$ . Por não requerer as computações da matriz $T_{J}$ e vetor $\bm{c}_{J}$ , esta é a forma mais usada em implementações computacionais.

Exemplo 3.3.2.

Consideramos o sistema $A\bm{x}=\bm{b}$ com

	$\displaystyle A=\begin{bmatrix}-4&2&-1\\ -2&5&2\\ 1&-1&-3\end{bmatrix},$		(3.253)
	$\displaystyle\bm{b}=\begin{bmatrix}-11\\ -7\\ 0\end{bmatrix}.$		(3.254)

Aplicando o método de Jacobi com aproximação inicial $\bm{x}^{(1)}=(0,0,0)$ obtemos os resultados da Tabela 3.1.

k	$\bm{x}^{(k)}$	$\\|A\bm{x}^{(k)}-\bm{b}\\|$
$0$	$(0,0,0)$	$2.4\mathrm{e}\!+\!1$
$1$	$(2.75,-1.4,0)$	$7.4\mathrm{e}\!+\!0$
$2$	$(2.05,-0.3,1.38)$	$4.6\mathrm{e}\!+\!0$
$3$	$(2.25,-1.13,0.78)$	$2.2\mathrm{e}\!+\!0$
$4$	$(1.99,-0.81,1.13)$	$1.4\mathrm{e}\!+\!0$
$5$	$(2.06,-1.06,0.93)$	$6.9\mathrm{e}\!-\!1$
$\leavevmode\nobreak\ \vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$29$	$(2,-1,1)$	$5.7\mathrm{e}\!-\!7$

Tabela 3.1: Resultados referentes ao Exemplo 3.3.2.

Código 8: jacobi.py

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4def jacobi(A, b, x0, maxiter = 100,

5 tol=4.9e-8, atol=4.9e-8):

7 n = b.size

8 info = -1

10 x = np.empty_like(x0)

11 nres = npla.norm(A@x - b)

12 print(f'\n{0}: {x0}, {nres:.1e}')

14 # iterações

15 for k in range(maxiter):

16 for i in range(n):

17 x[i] = b[i]

18 # x[i] -= np.dot(A[i,:i], x0[:i])

19 for j in range(i):

20 x[i] -= A[i,j]*x0[j]

21 # x[i] -= np.dot(A[i,i+1:], x0[i+1:])

22 for j in range(i+1,n):

23 x[i] -= A[i,j]*x0[j]

24 x[i] /= A[i,i]

25 # critério de parada

26 nres = npla.norm(A@x - b)

27 print(f'{k+1}: {x}, {nres:.1e}')

28 if (nres <= max(tol*npla.norm(b), atol)):

29 info = 0

30 break

31 x0 = x.copy()

33 return x, info

A aplicação de Jacobi pode, então, ser feita como segue:

⬇

1# sistema

2A = np.array([[-4., 2., -1.],

3 [-2., 5., 2.],

4 [1., -1., -3.]])

6b = np.array([-11., -7., 0.])

8x0 = np.zeros_like(b)

9x, info = jacobi(A, b, x0)

3.3.2 Método de Gauss-Seidel

Como acima, começamos considerando um sistema linear $A\bm{x}=\bm{b}$ e a decomposição $A=L+D+U$ , onde $L$ é a parte triangular inferior de $A$ , $D$ é sua parte diagonal e $U$ sua parte triangular superior. Então, observamos que

	$\displaystyle A\bm{x}=\bm{b}$		(3.255)
	$\displaystyle(L+D+U)\bm{x}=\bm{b}$		(3.256)
	$\displaystyle(L+D)\bm{x}=-U\bm{x}+\bm{b}$		(3.257)
	$\displaystyle\bm{x}=-(L+D)^{-1}U\bm{x}+(L+D)^{-1}\bm{b}.$		(3.258)

Isto nos leva a forma matricial iteração de Gauss-Seidel

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \bm{x}^{(1)}=\text{aprox. inicial},$		(3.259)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \bm{x}^{(k+1)}=T_{G}\bm{x}^{(k)}+\bm{c}_{G},$		(3.260)

onde

	$\displaystyle T_{G}=-(L+D)^{-1}U,$		(3.261)
	$\displaystyle\bm{c}_{G}=(L+D)^{-1}\bm{b},$		(3.262)

são a matriz e o vetor de Gauss-Seidel.

Equivalentemente e mais adequada para implementação computacional, temos a forma algébrica da iteração de Gauss-Seidel

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{i}^{(k+1)}% =\frac{{b_{i}-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_{j}^% {(k)}}}{a_{ii}},

(3.263)

para $i=1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 3.3.3.

Consideramos o sistema $A\bm{x}=\bm{b}$ com

	$\displaystyle A=\begin{bmatrix}-4&2&-1\\ -2&5&2\\ 1&-1&-3\end{bmatrix},$		(3.264)
	$\displaystyle\bm{b}=\begin{bmatrix}-11\\ -7\\ 0\end{bmatrix}.$		(3.265)

Aplicando o método de Gauss-Seidel com aproximação inicial $\bm{x}^{(1)}=(0,0,0)$ obtemos os resultados da Tabela 3.2.

Tabela 3.2: Resultados referentes ao Exemplo 3.3.3.

k	$\bm{x}^{(k)}$	$\\|A\bm{x}^{(k)}-\bm{b}\\|$
$0$	$(0,0,0)$	$2.4\mathrm{e}\!+\!1$
$1$	$(2.75,-0.3,1.02)$	$2.6\mathrm{e}\!+\!0$
$2$	$(2.35,-0.87,1.07)$	$1.2\mathrm{e}\!+\!0$
$3$	$(2.05,-1.01,1.02)$	$2.5\mathrm{e}\!-\!1$
$4$	$(1.99,-1.01,1)$	$4.0\mathrm{e}\!-\!2$
$5$	$(1.99,-1,1)$	$2.0\mathrm{e}\!-\!2$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$13$	$(2,-1,1)$	$2.3\mathrm{e}\!-\!7$

Código 9: gs.py

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4def gs(A, b, x0, maxiter = 100,

5 tol=4.9e-8, atol=4.9e-8):

7 n = b.size

8 info = -1

10 x = np.empty_like(x0)

11 nres = npla.norm(A@x - b)

12 print(f'\n{0}: {x0}, {nres:.1e}')

14 # iterações

15 for k in range(maxiter):

16 for i in range(n):

17 x[i] = b[i]

18 # x[i] -= np.dot(A[i,:i], x[:i])

19 for j in range(i):

20 x[i] -= A[i,j]*x[j]

21 # x[i] -= np.dot(A[i,i+1:], x0[i+1:])

22 for j in range(i+1,n):

23 x[i] -= A[i,j]*x0[j]

24 x[i] /= A[i,i]

25 # critério de parada

26 nres = npla.norm(A@x - b)

27 print(f'{k+1}: {x}, {nres:.1e}')

28 if (nres <= max(tol*npla.norm(b), atol)):

29 info = 0

30 break

31 x0 = x.copy()

33 return x, info

3.3.3 Análise numérica

Observamos que ambos os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel consistem de iterações da forma

\bm{x}^{(k+1)}=T\bm{x}^{(k)}+\bm{c},

(3.266)

para $k=1,2,\ldots$ , com $x^{(0)}$ uma aproximação inicial dada, $T$ e $c$ a matriz e o vetor de iteração, respectivamente. O seguinte teorema nos fornece uma condição suficiente e necessária para a convergência de tais métodos.

Teorema 3.3.1.

Para qualquer $\bm{x}^{(0)}\in\mathbb{R}^{n}$ , temos que a sequência $\{\bm{x}^{(k)}\}_{k=0}^{\infty}$ dada por

\bm{x}^{(k+1)}=T\bm{x}^{(k)}+\bm{c},

(3.267)

converge para a solução única de $\bm{x}=T\bm{x}+\bm{c}$ se, e somente se, $\rho(T)<1$ ¹⁰¹⁰10 $\rho(T)$ é o raio espectral da matriz $T$ , i.e. o máximo dos módulos dos autovalores de $T$ ..

Demonstração.

Veja [2, Cap. 7, Sec. 7.3]. ∎

Observação 3.3.1.(Taxa de convergência)

Para uma iteração da forma (3.266), temos a seguinte estimativa

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\|\bm{x}^{(k)% }-\bm{x}\|\approx\rho(T)^{k+1}\|\bm{x}^{(0)}-\bm{x}\|^{\bm{1}},

(3.268)

onde $\bm{x}$ é a solução de $\bm{x}=T\bm{x}+\bm{c}$ .

Exemplo 3.3.4.

Consideramos o sistema $A\bm{x}=\bm{b}$ com

	$\displaystyle A=\begin{bmatrix}-4&2&-1\\ -2&5&2\\ 1&-1&-3\end{bmatrix},$		(3.269)
	$\displaystyle\bm{b}=\begin{bmatrix}-11\\ -7\\ 0\end{bmatrix}.$		(3.270)

Nos Exemplo 3.3.2 e Exemplo 3.3.3 vimos que ambos os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel são convergentes para este sistema. Este convergiu aproximadamente duas vezes mais rápido que esse. Isto é confirmado pelos raios espectrais das respectivas matrizes de iteração

	$\displaystyle\rho(T_{J})$	$\displaystyle\approx 0.56,$		(3.271)
	$\displaystyle\rho(T_{G})$	$\displaystyle\approx 0.26.$		(3.272)

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4# matriz dos coefs

5A = np.array([[-4., 2., -1.],

6 [-2., 5., 2.],

7 [1., -1., -3.]])

9# A = L + D + U

10L = np.tril(A, -1)

11D = np.diag(np.diag(A))

12U = np.triu(A, 1)

14# matriz de Jacobi

15TJ = -npla.inv(D) @ (L + U)

16rho_TJ = max(np.abs(npla.eigvals(TJ)))

17print(f'rho(T_J) = {rho_TJ:.2f}')

19# matriz de Gauss-Seidel

20TG = -npla.inv(L+D) @ U

21rho_TG = max(np.abs(npla.eigvals(TG)))

22print(f'rho(T_G) = {rho_TG:.2f}')

Observação 3.3.2.(Matriz estritamente diagonal dominante)

Pode-se mostrar que se $A$ é uma matriz estritamente diagonal dominante, i.e. se

|a_{ii}|>\sum_{\overset{j=1}{j\neq i}}^{n}|a_{ij}|,

(3.273)

para todo $i=1,2,\ldots,n$ , então ambos os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel são convergentes.

3.3.4 Exercícios

E. 3.3.1.

Considere o seguinte sistema linear

	$\displaystyle-4x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=-1$		(3.274)
	$\displaystyle 5x_{2}-x_{3}+2x_{4}=3$		(3.275)
	$\displaystyle-x_{1}+4x_{3}-2x_{4}=-2$		(3.276)
	$\displaystyle x_{1}-x_{2}-5x_{4}=1$		(3.277)

Compute a aproximação $\bm{x}^{(5)}$ obtida da aplicação do Método de Jacobi com aproximação inicial $\bm{x}^{(0)}=(1,1,-1,-1)$ . Também, compute $\|A\bm{x}^{(5)}-b\|$ .

$\bm{x}^{(5)}=(0.325164,0.593096,-0.546128,-0.253043)$ ; $\|A\bm{x}^{(5)}-b\|=7.2\mathrm{e}\!-\!3$

E. 3.3.2.

Considere o sistema linear do Exercício . Compute a aproximação $\bm{x}^{(5)}$ obtida da aplicação do Método de Gauss-Seidel com aproximação inicial $\bm{x}^{(0)}=(1,1,-1,-1)$ . Também, compute $\|A\bm{x}^{(5)}-b\|$ .

$\bm{x}^{(5)}=(0.325208,0.592417,-0.545397,-0.253442)$ ; $\|A\bm{x}^{(5)}-b\|=7.1\mathrm{e}\!-\!4$

E. 3.3.3.

Verifique que o Método de Jacobi, com $\bm{x}^{(0)}=\bm{0}$ , é divergente para o sistema $A\bm{x}=\bm{b}$ com

	$\displaystyle A=\begin{bmatrix}-3&0&1&-1\\ 1&-1&4&0\\ 0&2&1&0\\ 0&-1&1&-5\\ \end{bmatrix},$		(3.278)
	$\displaystyle b=\begin{bmatrix}-2\\ -11\\ 2\\ -19\end{bmatrix}$		(3.279)

Então, escreva um sistema equivalente para o qual o Método de Jacobi seja convergente para qualquer escolha de aproximação inicial.

	$\displaystyle A=\begin{bmatrix}-3&0&1&-1\\ 0&2&1&0\\ 1&-1&4&0\\ 0&-1&1&-5\\ \end{bmatrix},$		(3.280)
	$\displaystyle b=\begin{bmatrix}-2\\ 2\\ -11\\ -19\end{bmatrix}$		(3.281)

E. 3.3.4.

Considere o sistema linear

	$\displaystyle-x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=6$		(3.282)
	$\displaystyle 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=-11$		(3.283)
	$\displaystyle x_{1}-5x_{2}+3x_{3}=-10.$		(3.284)

Empregando a aproximação inicial $\bm{x}^{(0)}=\bm{0}$ , compute a solução com o:

a)

Método de Jacobi.
b)

Método de Gauss-Seidel.

a) divergente. b) $(-2,1,-1)$

E. 3.3.5.

Considere o sistema linear $A\bm{x}=\bm{b}$ com

	$\displaystyle A=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\ -1&2&-1&0&0\\ 0&-1&2&-1&0\\ 0&0&-1&2&-1\\ 0&0&0&0&1\end{bmatrix},$		(3.285)
	$\displaystyle b=\begin{bmatrix}0\\ 0.5\\ 0.5\\ 0.5\\ 0\end{bmatrix}.$		(3.286)

Compute a solução empregando o:

a)

Método de Jacobi.
b)

Método de Gauss-Seidel.

$\bm{x}=(0,0.75,1,0.75,0)$

E. 3.3.6.

Considere o seguinte sistema de equações

	$\displaystyle 2.1x_{1}-x_{2}+0.9x_{3}=-1.3$		(3.287)
	$\displaystyle 2x_{1}+2x_{2}+2.1x_{3}=2.1$		(3.288)
	$\displaystyle-1.2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-\pi$		(3.289)

Usando a aproximação inicial $\bm{x}^{(0)}=\bm{0}$ , verifique que o método de Jacobi não converge para sua solução, enquanto que o método de Gauss-Seidel converge. Por quê?

$\rho(T_{J})=1.12\mathrm{e}\!+\!0>1$ , $\rho(T_{G})=5.48\mathrm{e}\!-\!1<1$ .

E. 3.3.7.

Considere o seguinte sistema de equações

	$\displaystyle 1.1x_{1}+2x_{2}-1.9x_{3}=-1.3$		(3.290)
	$\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=2.1$		(3.291)
	$\displaystyle 2.1x_{1}+1.9x_{2}+x_{3}=-\pi$		(3.292)

Usando a aproximação inicial $\bm{x}^{(0)}=\bm{0}$ , verifique que o método de Jacobi converge para sua solução, enquanto que o método de Gauss-Seidel não converge. Por quê?

$\rho(T_{J})=8.5\mathrm{e}\!-\!1<1$ , $\rho(T_{G})=1.95\mathrm{e}\!+\!0>1$ .

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Matemática numérica I

3.3 Métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel

3.3.1 Método de Jacobi

Exemplo 3.3.1.

Exemplo 3.3.2.

3.3.2 Método de Gauss-Seidel

Exemplo 3.3.3.

3.3.3 Análise numérica

Teorema 3.3.1.

Demonstração.

Observação 3.3.1.(Taxa de convergência)

Exemplo 3.3.4.

Observação 3.3.2.(Matriz estritamente diagonal dominante)

3.3.4 Exercícios

E. 3.3.1.

E. 3.3.2.

E. 3.3.3.

E. 3.3.4.

E. 3.3.5.

E. 3.3.6.

E. 3.3.7.

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