Geometria analítica

3 Outros sistemas de coordenadas 3.1 Coordenadas polares 4 Cônicas e quádricas

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3.2 Coordenadas cilíndricas e esféricas

Nesta seção, vamos introduzir os sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas no espaço tridimensional.

3.2.1 Coordenadas cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas é definido por um ponto de origem $O$ , um eixo longitudinal $O z$ , um eixo radial $O x$ perpendicular ao eixo longitudinal. Um ponto $P$ de coordenadas cilíndricas $P(r,\theta,z)$ é tal que $dist(P,Oz)=r$ (i.e. a distância do ponto $P$ ao eixo longitudinal é $r$ , $r\geq 0$ ), $0\leq\theta\leq 2\pi$ é o ângulo de $O x$ com a projeção de $O P$ no plano $z=0$ , medido positivamente no sentido anti-horário, e $z$ é a coordenada do ponto $P$ no eixo longitudinal. Consultemos a Figura 3.11.

Refer to caption — Figura 3.11: Sistema de coordenadas cilíndricas.

A conversão de coordenadas de um ponto $P(x_{P},y_{P},z_{P})$ de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas $P(r,\theta,z)$ e vice-versa é dada por

	$\displaystyle r=\sqrt{x_{P}^{2}+y_{P}^{2}}$		(3.62)
	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{y_{P}}{x_{P% }}\right)$		(3.63)
	$\displaystyle z=z_{P}$		(3.64)

	$\displaystyle x_{P}=r\cos\theta$		(3.65)
	$\displaystyle y_{P}=r\operatorname{sen}\theta$		(3.66)
	$\displaystyle z_{P}=z.$		(3.67)

Exemplo 3.2.1.

Seja um ponto $P$ de coordenadas cartesianas $P(1,1,2)$ . As coordenadas cilíndricas de $P$ são

	$\displaystyle r=\sqrt{x_{P}^{2}+y_{P}^{2}}$		(3.68)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{1^{2}+1^{2}}$		(3.69)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{2}$		(3.70)
	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{y_{P}}{x_{P% }}\right)$		(3.71)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{1}{1}\right)$		(3.72)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{tg}(1)$		(3.73)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{4}$		(3.74)
	$\displaystyle z=z_{P}$		(3.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=2.$		(3.76)

Logo, $P(\sqrt{2},\frac{\pi}{4},2)$ em coordenadas cilíndricas.

Agora, o ponto $Q$ de coordenadas cilíndricas $Q(2,\frac{\pi}{3},1)$ tem coordenadas cartesianas

	$\displaystyle x_{Q}=r\cos\theta$		(3.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cos\frac{\pi}{3}$		(3.78)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot\frac{1}{2}$		(3.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=1$		(3.80)
	$\displaystyle y_{Q}=r\operatorname{sen}\theta$		(3.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}$		(3.82)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$		(3.83)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{3}$		(3.84)
	$\displaystyle z_{Q}=z$		(3.85)
	$\displaystyle\text{}\quad=1.$		(3.86)

Logo, $Q(1,\sqrt{3},1)$ em coordenadas cartesianas.

Em coordenadas cilíndricas, temos as seguintes superfícies constantes:

•

$r=r_{0}$ é um cilindro circular de raio $r_{0}$ e eixo $O z$ .
•

$\theta=\theta_{0}$ é um semiplano que contém o eixo $O z$ e forma um ângulo $\theta_{0}$ com o eixo $O x$ .
•

$z=z_{0}$ é um plano paralelo ao plano $x y$ , i.e. ao plano formado pelos eixos radiais.

Superfícies de revolução em torno do eixo longitudinal $O z$ podem ser representadas em coordenadas cilíndricas pela equação $z=f(r)$ . Por exemplo:

•

A folha superior do cone de equação $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ em coordenadas cartesianas pode ser representada em coordenadas cilíndricas pela equação

$\displaystyle z=r.$ (3.87)
•

A esfera de equação $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ em coordenadas cartesianas pode ser representada em coordenadas cilíndricas pela equação

$\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-r^{2}}.$ (3.88)
•

A paraboloide de equação $z=x^{2}+y^{2}$ em coordenadas cartesianas pode ser representada em coordenadas cilíndricas pela equação

$\displaystyle z=r^{2}.$ (3.89)
•

O hiperboloide de equação $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ em coordenadas cartesianas pode ser representado em coordenadas cilíndricas pela equação

$\displaystyle z^{2}=r^{2}-1.$ (3.90)

3.2.2 Coordenadas esféricas

O sistema de coordenadas esféricas é definido por um ponto de origem $O$ , um eixo polar $O z$ e um eixo equatorial $O x$ . Um ponto $P$ de coordenadas esféricas $P(\rho,\theta,\varphi)$ é tal que $\rho=|OP|$ (i.e. a distância do ponto $P$ à origem é $\rho\geq 0$ ), $0\leq\theta\leq 2\pi$ é o ângulo de $O x$ com a projeção de $O P$ no plano $z=0$ , medido positivamente no sentido anti-horário, e $0\leq\varphi\leq\pi$ é o ângulo entre o eixo polar e o segmento $O P$ . Consultemos a Figura 3.12.

A conversão de coordenadas de um ponto $P(x_{P},y_{P},z_{P})$ de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas $P(\rho,\theta,\varphi)$ e vice-versa é dada por

	$\displaystyle\rho=\sqrt{x_{P}^{2}+y_{P}^{2}+z_{P}^{2}}$		(3.91)
	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{y_{P}}{x_{P% }}\right)$		(3.92)
	$\displaystyle\varphi=\operatorname{arc}\cos\left(\frac{z_{P}}{\rho}\right)$		(3.93)

	$\displaystyle x_{P}=\rho\operatorname{sen}\varphi\cos\theta$		(3.94)
	$\displaystyle y_{P}=\rho\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta$		(3.95)
	$\displaystyle z_{P}=\rho\cos\varphi.$		(3.96)

Exemplo 3.2.2.

Seja um ponto $P$ de coordenadas cartesianas $P(-\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{2})$ . As coordenadas esféricas de $P$ são

$\displaystyle\rho=$	$\displaystyle\sqrt{x_{P}^{2}+y_{P}^{2}+z_{P}^{2}}$	(3.97)
$\displaystyle\text{}\quad=$	$\displaystyle\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^{2}+\left(\frac{3}{4}% \right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$	(3.98)
$\displaystyle\text{}\quad=$	$\displaystyle\sqrt{\frac{3}{16}+\frac{9}{16}+\frac{4}{16}}$	(3.99)
$\displaystyle\text{}\quad=$	$\displaystyle\sqrt{\frac{16}{16}}$	(3.100)
$\displaystyle\text{}\quad=$	$\displaystyle 1$	(3.101)
$\displaystyle\theta=$	$\displaystyle\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{y_{P}}{x_{P}}\right)$	(3.102)
$\displaystyle\text{}\quad=$	$\displaystyle\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{\frac{3}{4}}{-% \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)$	(3.103)
$\displaystyle\text{}\quad=$	$\displaystyle\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(-\frac{3}{\sqrt{3}}\right)$	(3.104)
$\displaystyle\text{}\quad=$	$\displaystyle\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(-\sqrt{3}\right)$	(3.105)
$\displaystyle\text{}\quad=$	$\displaystyle\frac{5\pi}{3}$	(3.106)
$\displaystyle\varphi=$	$\displaystyle\operatorname{arc}\cos\left(\frac{z_{P}}{\rho}\right)$	(3.107)
$\displaystyle\text{}\quad=$	$\displaystyle\operatorname{arc}\cos\left(\frac{\frac{1}{2}}{1}\right)$	(3.108)
$\displaystyle\text{}\quad=$	$\displaystyle\operatorname{arc}\cos\left(\frac{1}{2}\right)$	(3.109)
$\displaystyle\text{}\quad=$	$\displaystyle\frac{\pi}{3}.$	(3.110)

Logo, $P(1,2\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3})$ em coordenadas esféricas.

Agora, o ponto $Q$ de coordenadas esféricas $Q(2,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4})$ tem coordenadas cartesianas

	$\displaystyle x_{Q}=r\operatorname{sen}\varphi\cos\theta$		(3.111)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3}$		(3.112)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}$		(3.113)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{2}}{2}$		(3.114)
	$\displaystyle y_{Q}=r\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta$		(3.115)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\operatorname{sen}% \frac{\pi}{3}$		(3.116)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$		(3.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{6}}{2}$		(3.118)
	$\displaystyle z_{Q}=r\cos\varphi$		(3.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cos\frac{\pi}{4}$		(3.120)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$		(3.121)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{2}.$		(3.122)

Logo, $Q(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{2})$ em coordenadas cartesianas.

Em coordenadas esféricas, temos as seguintes superfícies constantes:

•

$\rho=\rho_{0}$ é uma esfera de raio $\rho_{0}$ e centro na origem.
•

$\theta=\theta_{0}$ é um semiplano que contém o eixo polar e forma um ângulo $\theta_{0}$ com o eixo equatorial.
•

$\varphi=\varphi_{0}$ é uma folha de um cone de vértice na origem e eixo polar, com ângulo de abertura $\varphi_{0}$ .

Superfícies de revolução em torno do eixo polar $O z$ podem ser representadas em coordenadas esféricas pela equação $\rho=f(\varphi)$ . Por exemplo:

•

O cilindro de equação $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ em coordenadas cartesianas pode ser representado em coordenadas esféricas pela equação

$\displaystyle\rho=R\operatorname{cossec}(\varphi).$ (3.123)
•

O paraboloide de equação $z=x^{2}+y^{2}$ em coordenadas cartesianas pode ser representado em coordenadas esféricas pela equação

$\displaystyle\rho=\cos(\varphi)\operatorname{cossec}^{2}(\varphi).$ (3.124)
•

O hiperboloide de equação $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ em coordenadas cartesianas pode ser representado em coordenadas esféricas pela equação

$\displaystyle\rho^{2}=-\sec^{2}(2\varphi).$ (3.125)

3.2.3 Exercícios

E. 3.2.1.

Obtenha as coordenadas cilíndricas do ponto $P(-1,\sqrt{3},2)$ dado em coordenadas cartesianas.

$P=(2,\frac{2\pi}{3},2)$ .

E. 3.2.2.

Obtenha as coordenadas cartesianas do ponto $Q(2,\frac{3\pi}{4},-1)$ dado em coordenadas cilíndricas.

$Q=(-\sqrt{2},\sqrt{2},-1)$ .

E. 3.2.3.

Escreva, em coordenadas cartesianas, a equação $z=r^{2}$ da superfície em coordenadas cilíndricas.

$z=x^{2}+y^{2}$ .

E. 3.2.4.

Obtenha as coordenadas esféricas do ponto $P(1,\sqrt{3},2)$ dado em coordenadas cartesianas.

$P=(2\sqrt{2},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4})$ .

E. 3.2.5.

Obtenha as coordenadas cartesianas do ponto $Q(4,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})$ dado em coordenadas esféricas.

$Q=(3,\sqrt{3},2)$ .

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