Geometria analítica

3 Outros sistemas de coordenadas 3 Outros sistemas de coordenadas 3.2 Coordenadas cilíndricas e esféricas

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3.1 Coordenadas polares

No plano, o sistema de coordenadas polares é definido por um ponto de origem (chamado de polo) e um eixo orientado $O x$ (chamado de eixo polar). Consultemos a Figura 3.1.

Refer to caption — Figura 3.1: Sistema de coordenadas polares.

Neste sistema, um ponto $P$ de coordenadas polares $P=(r,\theta)$ é tal que $|OP|=r$ (i.e. a distância do polo ao ponto é $r$ ) e $\theta$ é o ângulo de $O x$ com $O P$ , medido positivamente no sentido anti-horário.

Observação 3.1.1.

Por convenção, as coordenadas polares $(r,\pi+\theta)=(-r,\theta)$ , $r>0$ .

Exemplo 3.1.1.

Na Figura 3.2, temos a representação dos pontos ${\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}P(2\sqrt{2},\frac{\pi}{4})}$ , ${\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0.4921875,0}A(1,\frac{2\pi}{3})}$ , ${\color[rgb]{0,0.640625,0.10546875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0.640625,0.10546875}B(\frac{3}{2},\frac{7\pi}{6})}$ e ${\color[rgb]{0.89453125,0.1015625,0.109375}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0.89453125,0.1015625,0.109375}C(-\frac{3}{2},\frac{7\pi}{6})}$ no sistema de coordenadas polares.

3.1.1 Coordenadas cartesianas x polares

Aqui, vamos estudar como podemos converter as coordenadas de um ponto $P(x_{P},y_{P})$ de coordenadas cartesianas para coordenadas polares $P(r,\theta)$ e vice-versa.

Cartesianas para polares

Seja um ponto $P$ de coordenadas cartesianas $P(x_{P},y_{P})$ . Consultemos a Figura 3.3. Em coordenadas polares, temos que $r=|OP|$ e $\theta$ é o ângulo de $O x$ com $O P$ , medido positivamente no sentido anti-horário. Com isso, temos que as coordenadas polares de $P$ podem ser escritas em função das coordenadas cartesianas de $P$ como

	$\displaystyle r=\sqrt{x_{P}^{2}+y_{P}^{2}}$		(3.1)
	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{y_{P}}{x_{P% }}\right).$		(3.2)

Exemplo 3.1.2.

O ponto $P=(2,2)$ em coordenadas cartesianas tem coordenadas polares $P=(r,\theta)$ com

	$\displaystyle r=\sqrt{x_{P}^{2}+y_{P}^{2}}$		(3.3)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{2^{2}+2^{2}}$		(3.4)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{8}$		(3.5)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}$		(3.6)
	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{y_{P}}{x_{P% }}\right)$		(3.7)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{2}{2}\right)$		(3.8)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{tg}(1)$		(3.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{4}.$		(3.10)

Logo, $P(2\sqrt{2}),\frac{\pi}{4})$ em coordenadas polares.

Já, o ponto $B=(-\sqrt{3},1)$ em coordenadas cartesianas tem coordenadas polares $B=(r,\theta)$ com

	$\displaystyle r=\sqrt{x_{P}^{2}+y_{P}^{2}}$		(3.11)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+1^{2}}$		(3.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{4}$		(3.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=2$		(3.14)
	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{y_{P}}{x_{P% }}\right)$		(3.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{1}{-% \sqrt{3}}\right)$		(3.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(-\frac{% \sqrt{3}}{3}\right)$		(3.17)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{5\pi}{6}.$		(3.18)

Logo, $B=(2,\frac{5\pi}{6})$ em coordenadas polares.

Verifique os resultados na Figura 3.4.

Polares para cartesianas

Seja um ponto $P$ de coordenadas polares $P(r,\theta)$ , $r\geq 0$ . Consultemos a Figura 3.3. Do triângulo retângulo formado pelos pontos em coordenadas cartesianas $O(0,0)$ , $(x_{P},0)$ e $P(x_{P},y_{P})$ , temos

	$\displaystyle x_{P}=r\cos\theta$		(3.19)
	$\displaystyle y_{P}=r\operatorname{sen}\theta.$		(3.20)

Exemplo 3.1.3.

O ponto $P=(2\sqrt{2},\frac{\pi}{4})$ em coordenadas polares tem coordenadas cartesianas $P(x_{P},y_{P})$ com

	$\displaystyle x_{P}=r\cos\theta$		(3.21)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}$		(3.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}$		(3.23)
	$\displaystyle\text{}\quad=2$		(3.24)

	$\displaystyle y_{P}=r\operatorname{sen}\theta$		(3.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}$		(3.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}$		(3.27)
	$\displaystyle\text{}\quad=2.$		(3.28)

Logo, $P(2,2)$ em coordenadas cartesianas.

Já, o ponto $B(2,\frac{5\pi}{6})$ em coordenadas polares tem coordenadas cartesianas $B(x_{B},y_{B})$ com

	$\displaystyle x_{B}=r\cos\theta$		(3.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cos\frac{5\pi}{6}$		(3.30)
	$\displaystyle\text{}\quad=2(-\frac{\sqrt{3}}{2})$		(3.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\sqrt{3}$		(3.32)

	$\displaystyle y_{B}=r\operatorname{sen}\theta$		(3.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\operatorname{sen}\frac{5\pi}{6}$		(3.34)
	$\displaystyle\text{}\quad=2(\frac{1}{2})$		(3.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=1.$		(3.36)

Logo, $B=(-\sqrt{3},1)$ em coordenadas cartesianas.

Verifique os resultados na Figura 3.4.

3.1.2 Gráficos em coordenadas polares

Retas pela origem

Em coordenadas polares, uma reta que passa pela origem e tem ângulo de declividade $\theta_{0}$ tem equação

\theta=\theta_{0},

(3.37)

com $r\in\mathbb{R}$ .

Exemplo 3.1.4.

Na Figura 3.5, temos a representação das retas $r:\theta=\frac{\pi}{6}$ (linha contínua) e $s:\theta=\frac{5\pi}{6}$ (linha tracejada) em coordenadas polares.

Circunferências com centro na origem

Em coordenadas polares, a circunferência com centro na origem e raio $r_{0}$ tem equação

r=r_{0},

(3.38)

com $\theta\in[0,2\pi)$ .

Exemplo 3.1.5.

Na Figura 3.6, temos as representações da circunferência $C:r=1$ (linha contínua) e da $D:r=5/2$ (linha tracejada) em coordenadas polares.

Espiral de Arquimedes

A espiral de Arquimedes¹¹1Arquimedes de Siracusa, 287 a.C. - 212 a.C., matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego. Fonte: Wikipédia: Arquimedes. é uma curva plana que pode ser representada em coordenadas polares pela equação

\displaystyle r=a+b\theta,

(3.39)

com $a,b\in\mathbb{R}$ e $\theta$ em radianos.

Exemplo 3.1.6.

Na Figura 3.7, temos as representações das espirais $r=\theta$ (linha contínua) e $r=3+2\theta$ (linha tracejada) em coordenadas polares.

Circunferência com centro fora da origem

A equação em coordenadas polares

\displaystyle r=2a\operatorname{sen}(\theta)

(3.41)

é uma circunferência de raio $a$ e centro no ponto $(0,a)$ em coordenadas cartesianas. Consultemos a Figura 3.8. De fato, multiplicando ambos os lados da equação por $r$ , temos

\displaystyle r^{2}=2ar\operatorname{sen}(\theta)

(3.42)

e, substituindo $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ e $r\operatorname{sen}(\theta)=y$ , temos

	$\displaystyle x^{2}+y^{2}=2ay$		(3.43)
	$\displaystyle x^{2}+y^{2}-2ay=0$		(3.44)
	$\displaystyle x^{2}+y^{2}-2ay+a^{2}-a^{2}=0$		(3.45)
	$\displaystyle x^{2}+(y-a)^{2}-a^{2}=0$		(3.46)
	$\displaystyle x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2},$		(3.47)

que é a equação de uma circunferência de raio $a$ e centro no ponto $(0,a)$ em coordenadas cartesianas.

De forma análoga, a equação em coordenadas polares

\displaystyle r=2a\cos(\theta)

(3.48)

é uma circunferência de raio $a$ e centro no ponto $(a,0)$ em coordenadas cartesianas. Verifique!

Exemplo 3.1.7.

Na Figura 3.8, temos as representações das circunferências $r=2\operatorname{sen}(\theta)$ (linha contínua) e $r=4\cos(\theta)$ (linha tracejada) em coordenadas polares.

Rosáceas

Uma rosácea é uma curva plana que pode ser representada em coordenadas polares pela equação

\displaystyle r=a\cos(n\theta)

(3.49)

\displaystyle r=a\operatorname{sen}(n\theta),

(3.51)

com $a,n\in\mathbb{R}$ e $\theta$ em radianos. O número de pétalas da rosácea depende do valor de $n$ . Se $n$ é par, o número de pétalas é $2n$ . Se $n$ é ímpar, o número de pétalas é $n$ .

Exemplo 3.1.8.

Na Figura 3.9, temos as representações das rosáceas $r=\operatorname{sen}(2\theta)$ (linha contínua) e $r=\cos(3\theta)$ (linha tracejada) em coordenadas polares.

Limaçons e cardioides

Uma limaçon é uma curva plana que pode ser representada em coordenadas polares pela equação

\displaystyle r=a+b\cos(\theta)

(3.52)

\displaystyle r=a+b\operatorname{sen}(\theta),

(3.54)

com $a,b\in\mathbb{R}$ e $\theta$ em radianos. Se $a=b$ , a curva é chamada de cardioide. Se $a/b<1$ , a curva é chamada de limaçon com laço interno. Se $1<a/b<2$ , a curva é chamada de limaçon com covinha e se $a/b>2$ , a curva é chamada de limaçon convexa.

Exemplo 3.1.9.

Na Figura 3.10, temos as representações do limaçon $r=1+2\operatorname{sen}(\theta)$ (linha contínua) e do cardioide $r=1+\cos(\theta)$ (linha tracejada).

3.1.3 Simetrias em coordenadas polares

Em coordenadas polares, uma curva $r=f(\theta)$ é simétrica em relação ao eixo $x$ , quando $f(\theta)=f(-\theta)$ ; é simétrica em relação ao eixo $y$ , quando $f(\theta)=f(\pi-\theta)$ ; e é simétrica em relação à origem, quando $f(\theta)=-f(\theta+\pi)$ ou quando $r=-r$ .

Exemplo 3.1.10.

a)

A cardioide $r=1+\cos(\theta)$ é simétrica em relação ao eixo $x$ .

De fato, substituindo $\theta$ por $-\theta$ , temos

$\displaystyle r=1+\cos(-\theta)$ (3.55)

$\displaystyle\text{}\quad=1+\cos(\theta),$ (3.56)

que é a equação original da cardioide. Logo, a cardioide é simétrica em relação ao eixo $x$ .
b)

A circunferência $r=2\operatorname{sen}(\theta)$ é simétrica em relação ao eixo $y$ .

De fato, substituindo $\theta$ por $\pi-\theta$ , temos

$\displaystyle r=2\operatorname{sen}(\pi-\theta)$ (3.57)

$\displaystyle\text{}\quad=2\operatorname{sen}(\theta),$ (3.58)

que é a equação original da circunferência. Logo, a circunferência é simétrica em relação ao eixo $y$ .
c)

A rosácea $r=\operatorname{sen}(2\theta)$ é simétrica em relação à origem.

De fato, substituindo $\theta$ por $\theta+\pi$ , temos

$\displaystyle r=\operatorname{sen}(2(\theta+\pi))$ (3.59)

$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}(2\theta+2\pi)$ (3.60)

$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}(2\theta),$ (3.61)

que é a equação original da rosácea. Logo, a rosácea é simétrica em relação à origem.

E. 3.1.1.

Verifique a simetria das curvas abaixo em relação ao eixo $x$ , ao eixo $y$ e à origem:

a)

$r=1+\cos(\theta)$
b)

$r=2\operatorname{sen}(\theta)$
c)

$r=\cos(2\theta)$
d)

$r=1+\operatorname{sen}(\theta)$

a) Simétrica em relação ao eixo $x$ ; não é simétrica em relação ao eixo $y$ nem à origem. b) Simétrica em relação ao eixo $y$ ; não é simétrica em relação ao eixo $x$ nem à origem. c) Simétrica em relação ao eixo $x$ , ao eixo $y$ e à origem. d) Simétrica em relação ao eixo $y$ ; não é simétrica em relação ao eixo $x$ nem à origem.

3.1.4 Exercícios

E. 3.1.2.

Obtenha uma representação em coordenadas polares dos seguintes pontos dados em coordenadas cartesianas:

a)

$A=(-3,3)$
b)

$B=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
c)

$C=(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$

a) $A=(3\sqrt{2},\frac{3\pi}{4})$ ; b) $B=(\sqrt{3},\frac{\pi}{6})$ ; c) $C=(\sqrt{3},\frac{11\pi}{6})$

E. 3.1.3.

Obtenha uma representação em coordenadas cartesianas dos seguintes pontos dados em coordenadas polares:

a)

$A=(2,\frac{\pi}{6})$
b)

$B=(1,\frac{5\pi}{6})$
c)

$C=(-2,\frac{3\pi}{4})$

a) $A=(\sqrt{3},1)$ ; b) $B=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$ ; c) $C=(\sqrt{2},-\sqrt{2})$

E. 3.1.4.

Considere a reta de equação $x=0$ em coordenadas cartesianas. Escreva a equação desta reta em coordenadas polares.

$\theta=\frac{\pi}{2}$

E. 3.1.5.

Considere a reta de equação $\theta=\frac{3\pi}{4}$ em coordenadas polares. Escreva a equação desta reta em coordenadas cartesianas.

$y=-x$

E. 3.1.6.

Considere a circunferência de equação $r=\sqrt{2}$ em coordenadas polares. Escreva a equação desta circunferência em coordenadas cartesianas.

$x^{2}+y^{2}=2$

E. 3.1.7.

Considere a espiral de Arquimedes de equação $r=2\theta$ em coordenadas polares. Determine as coordenadas cartesianas dos pontos correspondentes aos ângulos:

a)

$\theta=0$ .
b)

$\theta=\frac{\pi}{2}$ .
c)

$\theta=\pi$ .

a) $(x,y)=(0,0)$ ; b) $(x,y)=\left(0,\pi\right)$ ; c) $(x,y)=(-2\pi,0)$ .

E. 3.1.8.

Escreva, em coordenadas polares, a equação da circunferência de raio $3$ e centro no ponto $(-3,0)$ em coordenadas cartesianas.

$r=-6\cos(\theta)$

E. 3.1.9.

Faça um esboço do gráfico da lemniscata de Bernoulli²²2Jacob Bernoulli, 1655-1705, matemático suíço. Fonte: Wikipédia: Jakob Bernoulli. de equação $r^{2}=4\cos(2\theta)$ em coordenadas polares. Escreva-a em coordenadas cartesianas.

$(x^{2}+y^{2})^{2}=4(x^{2}-y^{2})$

E. 3.1.10.

Faça o gráfico e classifique a curva de equação $r=3+\cos(\theta)$ em coordenadas polares.

Limaçon convexa.

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