El cálculo es la disciplina de las matemáticas que estudia las variaciones de magnitudes, es decir, cómo una cantidad puede cambiar con respecto a otra. Es fundamental para comprender fenómenos naturales y encuentra aplicaciones en las más diversas áreas del conocimiento moderno, como la física, la química, la biología, la economía y las ingenierías.

Mientras que las magnitudes pueden modelarse como variables de un conjunto, el objeto fundamental de estudio del cálculo es la función, que describe la relación entre ellas. Las técnicas de esta disciplina permiten analizar cómo se comporta una función, cómo varía y cuáles son sus propiedades (crecimiento, decrecimiento, concavidades, oscilaciones). Tales informaciones pueden obtenerse a partir del estudio de la tasa de variación de la función, utilizando las técnicas del cálculo diferencial, como la llamada derivada de una función.

Por otro lado, conociendo la tasa de variación (la derivada) de una variable (magnitud) con respecto a otra, podemos recuperar información sobre las funciones que permiten obtener esa tasa de variación. Esto se hace mediante las técnicas del cálculo integral. Más específicamente, por medio del cálculo de la integral de la tasa de variación. Tales técnicas también permiten calcular longitudes de curvas, áreas delimitadas por curvas, volúmenes, medias de datos continuos, entre otras aplicaciones.

El teorema fundamental del cálculo muestra que existe una conexión entre el cálculo diferencial y el cálculo integral, relacionando el concepto de área con el de tasa de variación. Este teorema es uno de los pilares del cálculo y establece la base para muchas aplicaciones prácticas.

El cálculo diferencial e integral se fundamenta en el estudio local de las funciones, utilizando el concepto de límite de una función. El límite es una herramienta matemática que permite analizar la tendencia del valor de una función para valores de entrada próximos a un punto específico. El estudio de límites de una función proporciona información sobre puntos de discontinuidad y comportamientos asintóticos (tendencias hacia valores muy grandes o muy pequeños). Tanto la derivada como la integral se definen a partir del concepto de límite.

Para el estudio del cálculo es necesario tener una buena noción de los conceptos y técnicas de la matemática elemental, usualmente estudiados en la enseñanza básica. Más específicamente, conviene dominar los fundamentos: la aritmética (números y operaciones), el álgebra (variables, ecuaciones e inecuaciones), la geometría (plana, espacial y analítica), la trigonometría (ángulos y relaciones trigonométricas) y las funciones¹¹1Los conceptos y técnicas fundamentales de matemática para el estudio del cálculo se revisan en cursos de Precálculo..

En estas notas de clase de Cálculo I, nos concentraremos en el estudio de funciones reales de una variable real, que son aquellas que asocian un único valor real de salida a cada valor real de entrada. Comenzaremos con el estudio de límites y continuidad de funciones, que son conceptos fundamentales para el desarrollo del cálculo diferencial e integral. A continuación, abordaremos el cálculo diferencial, estudiando la definición y las propiedades de la derivada, las reglas de diferenciación y las aplicaciones de la derivada (como la optimización y el análisis de gráficas). En la última parte de las notas, exploraremos el cálculo integral, incluyendo la definición y las propiedades de la integral, las técnicas de integración y las aplicaciones de la integral (como el cálculo de áreas y volúmenes).