Equações diferenciais ordinárias

3 EDO linear de ordem 2 ou mais alta 3.1 EDO de ordem 2: fundamentos 3.3 EDO de ordem 2 não homogênea

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3.2 EDO de ordem 2: raízes complexas ou repetidas

Na Seção 3.1 introduzimos as propriedades fundamentais de EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Em particular, tratamos o caso em que a equação característica tem raízes reais distintas. Nesta seção, estudamos os casos em que a equação característica tem raízes complexas ou raízes duplas.

3.2.1 Raízes complexas

Consideramos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}ay^{\prime% \prime}+by^{\prime}+cy=0},

(3.70)

cuja equação característica

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}ar^{2}+br+c=0}

(3.71)

tem raízes complexas

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}r_{1}=% \lambda+i\mu,\quad r_{2}=\lambda-i\mu}.

(3.72)

As soluções particulares associadas são

	$\displaystyle y_{1}(t)=e^{r_{1}t}=e^{(\lambda+i\mu)t}$		(3.73)
	$\displaystyle y_{2}(t)=e^{r_{2}t}=e^{(\lambda-i\mu)t}.$		(3.74)

Da fórmula de Euler³³3Leonhard Paul Euler, 1707-1783, matemático e físico suíço. Fonte: Wikipédia: Leonhard Euler., temos

	$\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}e^{bi}$		(3.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{a}(\cos b+i\operatorname{sen}b).$		(3.76)

Ou seja, as soluções particulares podem ser reescritas da forma⁴⁴4Lembremos que seno é uma função ímpar, i.e. $\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}(x)$ .

	$\displaystyle y_{1}(t)=e^{\lambda t}\left[\cos(\mu t)+i\operatorname{sen}(\mu t% )\right],$		(3.77)
	$\displaystyle y_{2}(t)=e^{\lambda t}\left[\cos(\mu t)-i\operatorname{sen}(\mu t% )\right]$		(3.78)

Agora, se denotarmos

u(t)=e^{\lambda t}\cos(\mu t)\quad\text{e}\quad v(t)=e^{\lambda t}% \operatorname{sen}(\mu t),

(3.79)

temos

y_{1}(t)=u(t)+iv(t),\quad y_{2}(t)=u(t)-iv(t).

(3.80)

Para concentrar a escrita, vamos denotar

y(t)=u(t)\pm iv(t).

(3.81)

Substituindo $y=y(t)$ na EDO, obtemos

	$\displaystyle 0=ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy$		(3.82)
	$\displaystyle\text{}\quad=a(u^{\prime\prime}\pm iv^{\prime\prime})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+b(u^{\prime}\pm iv^{\prime})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+c(u+\pm iv)$		(3.83)
	$\displaystyle\text{}\quad=(au^{\prime\prime}+bu^{\prime}+cu)\pm i(av^{\prime% \prime}+bv^{\prime}+cv).$		(3.84)

Ou seja,

	$\displaystyle au^{\prime\prime}+bu^{\prime}+cu=0$		(3.85)
	$\displaystyle av^{\prime\prime}+bv^{\prime}+cv=0.$		(3.86)

Desta forma, concluímos que $u(t)=e^{\lambda t}\cos(\mu t)$ e $v(t)=e^{\lambda t}\operatorname{sen}(\mu t)$ são soluções particulares da EDO (3.70). Ainda mais, pode-se mostrar que o wronskiano $W(u,v;t)\neq 0$ , i.e. $u$ e $v$ formam um conjunto fundamental de soluções. Do que vimos na Seção 3.1, concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(t)=e^{% \lambda t}\left[c_{1}\cos(\mu t)+c_{2}\operatorname{sen}(\mu t)\right]}

(3.87)

é solução geral de (3.70).

Exemplo 3.2.1.

Vamos resolver

y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+5y=0.

(3.88)

Começamos identificando a equação característica associada

r^{2}+2r+5=0.

(3.89)

Suas raízes são

	$\displaystyle r=\frac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot 1\cdot 5}}{2}$		(3.90)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1\pm 2i.$		(3.91)

Logo, a solução geral é

y(t)=e^{-t}\left[c_{1}\cos(2t)+c_{2}\operatorname{sen}(2t)\right].

(3.92)

Modelagem: sistema massa-mola não amortecido

Consideremos um sistema massa-mola não amortecido e sem ação de força externa. Denotamos por $m>0$ a massa, $k>0$ a constante da mola. Desta forma, a lei de Newton do movimento nos fornece o seguinte modelo matemático

ms^{\prime\prime}(t)=-ks(t),

(3.93)

onde $s=s(t)$ é a posição da massa ( $s=0$ é a posição de repouso, $s>0$ a mola está esticada e $s<0$ a mola está contraída). Ou seja, trata-se de uma EDO de segunda ordem homogênea e com coeficientes constantes.

Supondo que, no tempo inicial $t=0$ , a massa está na posição inicial $s_{0}$ e velocidade $v_{0}$ , temos que a situação física é modelada pelo seguinte PVI

	$\displaystyle s^{\prime\prime}+\frac{k}{m}s=0,\quad t>0,$		(3.94)
	$\displaystyle s(0)=s_{0},\quad s^{\prime}(0)=v_{0}.$		(3.95)

Como $k/m>0$ , temos que a equação característica associada têm raízes imaginárias

r=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}i.

(3.96)

Logo, a solução geral é

s(t)=c_{1}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+c_{2}\operatorname{sen}\left(% \sqrt{\frac{k}{m}}t\right).

(3.97)

Agora, aplicando as condições iniciais, obtemos

s(t)=s_{0}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+v_{0}\sqrt{\frac{m}{k}}% \operatorname{sen}\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right).

(3.98)

3.2.2 Raízes repetidas

Seja a equação

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}ay^{\prime% \prime}+by^{\prime}+cy=0},

(3.99)

cuja equação característica

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}ar^{2}+br+c=0}

(3.100)

tem raiz dupla⁵⁵5 $b^{2}-4ac=0$

r=\frac{-b}{2a}.

(3.101)

Neste caso, podemos verificar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y_{1}(t)=e^{% -\frac{b}{2a}t}}

(3.102)

é solução particular de (3.99).

Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução particular $y_{2}=y_{2}(t)$ de (3.99), lembrando que o wronskiano $W(y_{1},y_{2};t)$ deve ser não nulo. O método consiste em buscar por uma solução da forma

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }y_{2}(t)=u(t)y_{1}(t)}$		(3.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=u(t)e^{-\frac{b}{2a}t}.$		(3.104)

Substituindo $y_{2}$ na EDO (3.99), obtemos

	$\displaystyle 0=ay_{2}^{\prime\prime}+by_{2}^{\prime}+cy_{2}$		(3.105)
	$\displaystyle\text{}\quad=a(u^{\prime\prime}y_{1}+2u^{\prime}y_{1}^{\prime}+uy% _{1}^{\prime\prime})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+b(u^{\prime}y_{1}+uy_{1}^{\prime})+cuy_{1}$		(3.106)
	$\displaystyle\text{}\quad=au^{\prime\prime}y_{1}+(2ay_{1}^{\prime}+by_{1})u^{\prime}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+(ay_{1}^{\prime\prime}+by_{1}^{\prime}+cy_{1})u$		(3.107)
	$\displaystyle\text{}\quad=au^{\prime\prime}y_{1}+\left(-\frac{2ab}{2a}e^{-% \frac{b}{2a}}+be^{-\frac{b}{2a}}\right)u^{\prime}$		(3.108)
	$\displaystyle\text{}\quad=au^{\prime\prime}y_{1}.$		(3.109)

Segue que

	$\displaystyle u^{\prime\prime}=0$		(3.110)
	$\displaystyle u^{\prime}=c_{1}$		(3.111)
	$\displaystyle u=c_{1}+c_{2}t.$		(3.112)

Podemos escolher $c_{1}$ e $c_{2}$ arbitrariamente, desde que o wronskiano

W(y_{1},y_{2};t)\neq 0.

(3.113)

A escolha mais simples é $c_{1}=0$ e $c_{2}=1$ , donde segue que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y_{2}(t)=te^% {-\frac{b}{2a}t}}.

(3.114)

Concluímos que a solução geral de (3.99) é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(t)=(c_{1}+% c_{2}t)e^{-\frac{b}{2a}t}}.

(3.115)

Exemplo 3.2.2.

Vamos resolver

y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0.

(3.116)

Da equação característica

r^{2}-2r+1=0

(3.117)

obtemos a raiz dupla

r=1.

(3.118)

Logo, a solução geral da EDO é

y(t)=(c_{1}+c_{2}t)e^{t}.

(3.119)

3.2.3 Exercícios resolvidos

ER 3.2.1.

Resolva

	$\displaystyle y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+5y=0,$		(3.120)
	$\displaystyle y(0)=2,\quad y^{\prime}(0)=0.$		(3.121)

Resolução.

Resolvendo a equação característica

r^{2}-4r+5=0,

(3.122)

obtemos as raízes

	$\displaystyle r=\frac{4\pm\sqrt{16-4\cdot 1\cdot 5}}{2}$		(3.123)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\pm i.$		(3.124)

Logo, a solução geral é

y(t)=e^{2t}\left[c_{1}\cos(t)+c_{2}\operatorname{sen}(t)\right].

(3.125)

Por fim, aplicamos as condições iniciais

	$\displaystyle y(0)=2$		(3.126)
	$\displaystyle e^{2\cdot 0}\left[c_{1}\cos(0)+c_{2}\operatorname{sen}(0)\right]=2$		(3.127)
	$\displaystyle c_{1}=2.$		(3.128)

e, observando que

y^{\prime}(t)=e^{2t}\left[(2c_{1}+c_{2})\cos(t)+(2c_{2}-c_{1})\operatorname{% sen}(t)\right]

(3.129)

temos

$\displaystyle y^{\prime}(0)=0$	$\displaystyle\Rightarrow e^{2\cdot 0}(2\cdot 2+c_{2})=0$	(3.130)
	$\displaystyle\Rightarrow 4+c_{2}=0$	(3.131)
	$\displaystyle\Rightarrow c_{2}=-4.$	(3.132)

Concluímos que a solução do PVI é

y(t)=e^{2t}\left[2\cos(t)-4\operatorname{sen}(t)\right].

(3.133)

ER 3.2.2.

Resolva

	$\displaystyle y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=0,$		(3.134)
	$\displaystyle y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=1.$		(3.135)

Resolução.

Resolvemos a equação característica

r^{2}+4r+4=0,

(3.136)

de modo que obtemos uma raiz dupla

r=-2.

(3.137)

Logo, a solução geral da EDO é

y(t)=(c_{1}+c_{2}t)e^{-2t}.

(3.138)

Agora, aplicamos as condições iniciais

y(0)=0\Rightarrow c_{1}=0

(3.139)

e, observando que

y^{\prime}(t)=(c_{2}-2c_{1}-2c_{2}t)e^{-2t}

(3.140)

	$\displaystyle y^{\prime}(0)=1$	$\displaystyle\Rightarrow(c_{2}-2\cdot 0-2c_{2}\cdot 0)e^{-2\cdot 0}=1$		(3.141)
		$\displaystyle\Rightarrow c_{2}=1.$		(3.142)

Concluímos que a solução do PVI é

y(t)=te^{-2t}.

(3.143)

ER 3.2.3.

(Sistema massa-mola amortecido) Um sistema massa-mola amortecido sem força externa pode ser modelado pelo seguinte PVI

	$\displaystyle ms^{\prime\prime}+\gamma s^{\prime}+ks=0,\quad t>0,$		(3.144)
	$\displaystyle s(0)=s_{0},\quad s^{\prime}(0)=v_{0},$		(3.145)

onde $s=s(t)$ é a posição da massa ( $s=0$ posição de repouso, $s>0$ mola estendida, $m<0$ mola contraída), $m>0$ massa, $\gamma>0$ coeficiente de resistência do meio, $k>0$ constante da mola, $s_{0}$ posição inicial e $v_{0}$ velocidade inicial da massa.

Mostre que $s(t)\to 0$ quando $t\to\infty$ , i.e. a massa tende ao repouso ao passar do tempo.

Resolução.

A equação característica associada é

mr^{2}+\gamma r+k=0,

(3.146)

cujas raízes são

r_{1},r_{2}=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^{2}-4mk}}{2m}.

(3.147)

Vejamos as seguintes possibilidades:

a)

$\gamma^{2}-4mk\geq 0$ .

Como $m,k>0$ , temos que $\gamma^{2}-4mk<\gamma^{2}$ e, portanto, $\sqrt{\gamma^{2}-4mk}<\gamma$ . Segue que $r_{1},r_{2}<0$ . Se $r_{1}\neq r_{2}$ , a solução geral é

$s(t)=c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}.$ (3.148)

Se $r_{1}=r_{2}$ , a solução geral é

$s(t)=(c_{1}+c_{2}t)e^{-\frac{\gamma}{2m}t}.$ (3.149)

Em ambos os casos, $s(t)\to 0$ quando $t\to 0$ , devido aos expoentes negativos.
b)

$\gamma^{2}-4mk<0$ .

Neste caso, a solução geral é

$s(t)=e^{-\frac{\gamma}{2m}t}\left[c_{1}\cos\left(\frac{\gamma^{2}-4mk}{2m}t% \right)+c_{2}\operatorname{sen}\left(\frac{\gamma^{2}-4mk}{2m}t\right)\right].$ (3.150)

Novamente, como seno e cosseno são funções limitadas, temos que o termo exponencial domina para $t\to 0$ . Ou seja, $s(t)\to 0$ quando $t\to 0$ .

3.2.4 Exercícios

E. 3.2.1.

Encontre a solução geral de

2y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0.

(3.151)

$y(t)=[c_{1}\operatorname{sen}(t)+c_{2}\cos(t)]e^{t}$

E. 3.2.2.

Resolva

	$\displaystyle 2y^{\prime\prime}+12y^{\prime}=-26y,$		(3.152)
	$\displaystyle y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=2.$		(3.153)

$y(t)=e^{-3t}\operatorname{sen}(2t)$

E. 3.2.3.

Encontre a solução geral de

3y^{\prime\prime}+27y=18y^{\prime}

(3.154)

$y(t)=(c_{1}+c_{2}t)e^{3t}$

E. 3.2.4.

Resolva

	$\displaystyle-y=2y^{\prime}+y^{\prime\prime},$		(3.155)
	$\displaystyle y(0)=2,\quad y^{\prime}(0)=0.$		(3.156)

$y(t)=(2+2t)e^{-t}$

Exemplo 3.2.3.

Mostre que o wronskiano de $y_{1}(t)=e^{\lambda t}\cos(\mu t)$ e $y_{2}(t)=e^{\lambda t}\operatorname{sen}(\mu t)$ é não nulo para qualquer $\mu\neq 0$ .

$W(y_{1},y_{2};t)=\mu e^{2\lambda t}\neq 0$

Exemplo 3.2.4.

Mostre que o wronskiano de $y_{1}(t)=e^{rt}$ e $y_{2}(t)=te^{rt}$ é não nulo para qualquer $r$ .

$W(y_{1},y_{2};t)=e^{2rt}\neq 0$

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3.2 EDO de ordem 2: raízes complexas ou repetidas

3.2.1 Raízes complexas

Exemplo 3.2.1.

Modelagem: sistema massa-mola não amortecido

3.2.2 Raízes repetidas

Exemplo 3.2.2.

3.2.3 Exercícios resolvidos

ER 3.2.1.

Resolução.

ER 3.2.2.

Resolução.

ER 3.2.3.

Resolução.

3.2.4 Exercícios

E. 3.2.1.

E. 3.2.2.

E. 3.2.3.

E. 3.2.4.

Exemplo 3.2.3.

Exemplo 3.2.4.

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