Equações diferenciais ordinárias

3 EDO linear de ordem 2 ou mais alta 3 EDO linear de ordem 2 ou mais alta 3.2 EDO de ordem 2: raízes complexas ou repetidas

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3.1 EDO de ordem 2: fundamentos

Nesta seção, vamos nos restringir a EDOs lineares de segunda ordem, homogêneas e com coeficientes constantes, i.e. EDOs da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}ay^{\prime% \prime}+by^{\prime}+cy=0},

(3.2)

onde $y=y(t)$ e $a, b, c$ são parâmetros constantes (números reais).

Vamos buscar por soluções da forma ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(t)=e^{rt}}$ , onde $r$ é constante. Substituindo na equação (3.2), obtemos

	$\displaystyle a\left(e^{rt}\right)^{\prime\prime}+b\left(e^{rt}\right)^{\prime% }+ce^{rt}=0$		(3.3)
	$\displaystyle\Rightarrow ar^{2}e^{rt}+bre^{rt}+ce^{rt}=0$		(3.4)
	$\displaystyle\Rightarrow{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}(ar^{2}+br+c)e^{rt}=0}.$		(3.5)

Ou seja, $y(t)=e^{rt}$ é solução de (3.2) quando

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}ar^{2}+br+c=% 0}.

(3.6)

Esta é chamada de equação característica de (3.2).

Exemplo 3.1.1.

Vamos buscar por soluções de

y^{\prime\prime}-4y=0.

(3.7)

Buscamos por $r$ tal que $y(t)=e^{rt}$ seja solução desta equação. Substituindo na equação, obtemos

\displaystyle\left(e^{rt}\right)^{\prime\prime}-4e^{rt}=0\Rightarrow(r^{2}-4)e% ^{rt}=0

(3.8)

o que nos fornece a equação característica

r^{2}-4=0.

(3.9)

As soluções desta equação são $r_{1}=-2$ e $r_{2}=2$ . Ou seja, obtemos as seguintes soluções particulares da EDO

y_{1}(t)=e^{-2t}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=e^{2t}.

(3.10)

Observamos, ainda, que para quaisquer constantes $c_{1}$ e $c_{2}$ ,

y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{2t}

(3.11)

também é solução da EDO (3.7). De fato, temos

	$\displaystyle y^{\prime\prime}-4y=\left(c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{2t}\right)^{% \prime\prime}-4\left(c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{2t}\right)$		(3.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=4c_{1}e^{-2t}+4c_{2}e^{2t}-4c_{1}e^{-2t}-4c_{2}e^{2t}$		(3.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(3.14)

Como veremos logo mais,

y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{2t}

(3.15)

é a solução geral de (3.7).

3.1.1 Conjunto fundamental de soluções

Sejam $y_{1}=y_{1}(t)$ e $y_{2}=y_{2}(t)$ soluções de

ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0.

(3.16)

Então,

y(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)

(3.17)

também é solução de (3.16).

De fato, basta verificar que

	$\displaystyle ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=a(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})^{% \prime\prime}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+b(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})^{\prime}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+c(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})$		(3.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=c_{1}(ay_{1}^{\prime\prime}+by_{1}^{\prime}+cy_{1})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+c_{2}(ay_{2}^{\prime\prime}+by_{2}^{\prime}+cy_{2})$		(3.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(3.20)

Suponhamos, ainda, que as soluções $y_{1}=y_{1}(t)$ e $y_{2}=y_{2}(t)$ são tais que o chamado wronskiano

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}W(y_{1},y_{2% };t):=\left|\begin{array}[]{cc}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{array}\right|\neq 0},

(3.21)

para todo $t$ .

Neste caso, sempre é possível escolher as constantes $c_{1}$ e $c_{2}$ tais que

y(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)

(3.22)

satisfaça o problema de valor inicial

	$\displaystyle ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0,$		(3.23)
	$\displaystyle y(t_{0})=y_{0},\quad y^{\prime}(t_{0})=y_{0}^{\prime},$		(3.24)

para quaisquer dados valores $y_{0}$ e $y^{\prime}_{0}$ .

De fato, já sabemos que (3.22) satisfaz a EDO. Então, $c_{1}$ e $c_{2}$ deve satisfazer o seguinte sistema linear

	$\displaystyle y(t_{0})=c_{1}y_{1}(t_{0})+c_{2}y_{2}(t_{0})=y_{0}$		(3.25)
	$\displaystyle y^{\prime}(t_{0})=c_{1}y_{1}^{\prime}(t_{0})+c_{2}y_{2}^{\prime}% (t_{0})=y_{0}^{\prime}.$		(3.26)

Do método de Cramer¹¹1Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço. Fonte: Wikipédia: Gabriel Cramer., temos

c_{1}=\frac{\left|\begin{matrix}y_{0}&y_{2}(t_{0})\\ y^{\prime}_{0}&y_{2}^{\prime}(t_{0})\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}y% _{1}(t_{0})&y_{2}(t_{0})\\ y^{\prime}_{1}(t_{0})&y_{2}^{\prime}(t_{0})\end{matrix}\right|}

(3.27)

c_{2}=\frac{\left|\begin{matrix}y_{1}(t_{0})&y_{0}\\ y_{1}^{\prime}(t_{0})&y^{\prime}_{0}\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}y% _{1}(t_{0})&y_{2}(t_{0})\\ y^{\prime}_{1}(t_{0})&y_{2}^{\prime}(t_{0})\end{matrix}\right|}.

(3.28)

O wronskiano não nulo nos garante a existência de $c_{1}$ e $c_{2}$ .

Por fim, afirmamos que todas as soluções de (3.16) podem ser escritas como combinação linear de $y_{1}=y_{1}(t)$ e $y_{2}=y_{2}(t)$ , i.e. têm a forma

y(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t).

(3.29)

De fato, seja $\psi=\psi(t)$ uma solução de (3.16). Então, $\psi$ é solução do seguinte PVI

	$\displaystyle ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0,$		(3.30)
	$\displaystyle y(t_{0})=\psi(t_{0}),\quad y^{\prime}(t_{0})=\psi^{\prime}(t_{0}),$		(3.31)

para quaisquer $t_{0}$ dado. Agora, pelo que vimos acima e lembrando que o wronskiano $W(y_{1},y_{2};t)\neq 0$ , temos que existem constantes $c_{1}$ e $c_{2}$ tais que

y(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t).

(3.32)

também é solução deste PVI. Da unicidade de solução²²2Embora não tenha sido apresentada aqui, a unicidade de solução pode ser demonstrada., segue que

\psi(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t).

(3.33)

Do que vimos aqui, a solução geral de (3.16) é

y(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)

(3.34)

dadas quaisquer soluções $y_{1}=y_{1}(t)$ e $y_{2}=y_{2}(t)$ com wronskiano $W(y_{1},y_{2};t)\neq 0$ para todo $t$ .

Exemplo 3.1.2.

No Exemplo 3.1.1, vimos que

y_{1}(t)=e^{-2t}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=e^{2t}

(3.35)

são soluções particulares de

y^{\prime\prime}-4y=0.

(3.36)

Como

	$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)=\left\|\begin{matrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\\ \end{matrix}\right\|$		(3.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\|\begin{matrix}e^{-2t}&e^{2t}\\ -2e^{-2t}&2e^{2t}\\ \end{matrix}\right\|$		(3.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=4\neq 0,$		(3.39)

temos que

y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{2t}

(3.40)

é solução geral de (3.36).

3.1.2 Raízes reais distintas

Uma EDO da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}ay^{\prime% \prime}+by^{\prime}+cy=0}

(3.41)

tem solução geral

y(t)=c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}

(3.42)

quando sua equação característica

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}ar^{2}+br+c=0}

(3.43)

tem $r_{1}$ e $r_{2}$ como suas raízes reais distintas.

Exemplo 3.1.3.

Vamos resolver o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=0,$		(3.44)
	$\displaystyle y(0)=3,\quad y^{\prime}(0)=5.$		(3.45)

Começamos resolvendo a equação característica associada

r^{2}-3r+2=0.

(3.46)

As soluções são

	$\displaystyle r=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}$		(3.47)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{3\pm 1}{2}.$		(3.48)

Ou seja, $r_{1}=1$ e $r_{2}=2$ . Logo,

y(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{2t}

(3.49)

é solução geral da EDO.

Agora, aplicando as condições iniciais, temos

	$\displaystyle y(0)=3$
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow c_{1}+c_{2}=3,$		(3.50)
	$\displaystyle y^{\prime}(0)=5$
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow c_{1}+2c_{2}=5.$		(3.51)

Resolvendo este sistema linear, obtemos $c_{1}=1$ e $c_{2}=2$ . Concluímos que

y(t)=e^{t}+2e^{2t}

(3.52)

é a solução do PVI.

3.1.3 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Calcule a solução geral de

2y^{\prime\prime}+2y^{\prime}-4y=0.

(3.53)

Resolução.

A equação característica associada é

2r^{2}+2r-4=0.

(3.54)

Suas soluções são

	$\displaystyle r=\frac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot 2\cdot(-4)}}{2}$		(3.55)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-2\pm 6}{4},$		(3.56)

i.e. $r_{1}=-2$ e $r_{2}=1$ . Como a equação característica tem raízes reais distintas, concluímos que

y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{t}

(3.57)

é solução geral da EDO.

ER 3.1.2.

Mostre que se $y_{1}(t)=e^{-2t}$ e $y_{2}(t)=e^{t}$ , então o wronskiano

W(y_{1},y_{2};t)\neq 0.

(3.58)

Resolução.

Calculamos

$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)=\left\|\begin{matrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{matrix}\right\|$	$\displaystyle\text{}\quad=\left\|\begin{matrix}e^{-2t}&e^{t}\\ -2e^{-2t}&e^{t}\end{matrix}\right\|$	(3.59)
$\displaystyle\text{}\quad=e^{-2t}e^{t}+2e^{-2t}e^{t}$		(3.60)
$\displaystyle\text{}\quad=3e^{-t}.$		(3.61)

Como $e^{-t}\neq 0$ para todo $t$ , temos que $W(y_{1},y_{2};t)\neq 0$ para todo $t$ .

3.1.4 Exercícios

E. 3.1.1.

Calcule a solução geral de

-2y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+4y=0.

(3.62)

$y(t)=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{2t}$

E. 3.1.2.

Resolva o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime\prime}=7y^{\prime}-12y,$		(3.63)
	$\displaystyle y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=-1.$		(3.64)

$y(t)=e^{3t}-e^{4t}$

E. 3.1.3.

Resolva o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=0,$		(3.65)
	$\displaystyle y(\ln 2)=-2,\quad y^{\prime}(\ln 2)=-6.$		(3.66)

$y(t)=e^{t}-e^{2t}$

E. 3.1.4.

Calcule o wronskiano de $y_{1}(t)=\cos(t)$ e $y_{2}(t)=\operatorname{sen}(t)$ .

$1$

E. 3.1.5.

Mostre que se $r_{1}$ e $r_{2}$ são raízes reais distintas da equação

ar^{2}+br+c=0,

(3.67)

então

y(t)=c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}

(3.68)

é solução geral de

ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0.

(3.69)

Mostre que $y_{1}(t)=e^{r_{1}t}$ e $y_{2}(t)=e^{r_{2}t}$ são soluções da EDO com $W(y_{1},y_{2};t)\neq 0$ .

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3.1 EDO de ordem 2: fundamentos

Exemplo 3.1.1.

3.1.1 Conjunto fundamental de soluções

Exemplo 3.1.2.

3.1.2 Raízes reais distintas

Exemplo 3.1.3.

3.1.3 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Resolução.

ER 3.1.2.

Resolução.

3.1.4 Exercícios

E. 3.1.1.

E. 3.1.2.

E. 3.1.3.

E. 3.1.4.

E. 3.1.5.

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