Equações diferenciais ordinárias

5 EDO linear de ordem mais alta com coeficientes variáveis 5.1 EDO de ordem 2 com coeficientes variáveis: fundamentos 5.3 Equação de Bessel

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5.2 Integrais de Euler

Nesta seção, vamos estudar as integrais de Euler de primeiro tipo (ou, função beta) e a de segundo tipo (ou, função gama).

5.2.1 Função gama

A função gama (ou integral de Euler de segundo tipo) é definida por

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\Gamma(x)=% \int_{0}^{\infty}z^{x-1}e^{-z}\,dz},

(5.100)

para qualquer $x$ número real positivo.

Ela pode ser interpretada como a generalização para números reais da função fatorial de números naturais. Isto se deve ao fato de que

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\Gamma(n+1)=n!}$		(5.101)
	$\displaystyle\text{}\quad=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\,\cdots\,\cdot 1$		(5.102)

para qualquer $n$ número natural³³3Por definição, $0!=1$ ..

De fato, temos ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\Gamma(1)=1}$ , pois da definição (5.100) temos

	$\displaystyle\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}z^{1-1}e^{-z}\,dz$		(5.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\infty}e^{-z}\,dz$		(5.104)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.-e^{-z}\right\|_{0}^{\infty}$		(5.105)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{z\to\infty}\cancelto{0}{\left(-e^{-z}\right)}-% \lim_{z\to 0}\cancelto{-1}{\left(-e^{-z}\right)}$		(5.106)
	$\displaystyle\text{}\quad=1.$		(5.107)

Além disso, vale a propriedade

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\Gamma(x+1)=% x\Gamma(x)}.

(5.108)

De fato, da definição (5.100) e por integração por partes, temos

	$\displaystyle\Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty}z^{x+1-1}e^{-z}\,dz$		(5.109)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\infty}\underbrace{z^{x}}_{u}\cdot% \underbrace{e^{-z}\,dz}_{dv}$		(5.110)
	$\displaystyle\text{}\quad=\cancelto{0}{\left.\underbrace{z^{x}}_{u}\cdot% \underbrace{\left(-e^{-z}\right)}_{v}\right\|_{z=0}^{\infty}}-\int_{0}^{\infty}% \underbrace{-e^{-z}}_{v}\cdot\underbrace{xz^{x-1}\,dz}_{du}$		(5.111)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\int_{0}^{\infty}z^{x-1}e^{-z}\,dz$		(5.112)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\Gamma(x).$		(5.113)

Logo, para $n$ número natural, temos

	$\displaystyle\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$		(5.114)
	$\displaystyle\text{}\quad=n\cdot(n-1)\Gamma(n-1)$		(5.115)
	$\displaystyle\text{}\quad=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\Gamma(n-2)$		(5.116)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$		(5.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\,\cdots\,\cdot 1\Gamma(1)$		(5.118)
	$\displaystyle\text{}\quad=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\,\cdots\,\cdot 1$		(5.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=n!$		(5.120)

Exemplo 5.2.1.

	$\displaystyle\Gamma(5)=4!$		(5.121)
	$\displaystyle\text{}\quad=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$		(5.122)
	$\displaystyle\text{}\quad=24.$		(5.123)

Refer to caption — Figura 5.1: Esboço do gráfico da função gama $\Gamma(x)$ .

Observação 5.2.1.

Vejamos as seguintes observações:

a)

$\nexists\Gamma(0)$

De fato, $\Gamma(0)$ não está definido pois

$\lim_{x\to 0^{-}}\Gamma(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\cancelto{\Gamma(1)=1}{% \Gamma(x+1)}}{x}=-\infty$ (5.124)

e

$\lim_{x\to 0^{+}}\Gamma(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\cancelto{\Gamma(1)=1}{% \Gamma(x+1)}}{x}=\infty$ (5.125)
b)

$\nexists\Gamma(p)$ , com $p$ inteiro negativo

De fato, isto pode ser mostrado por indução a partir do item a) e da propriedade (5.108). Verifique!

Observação 5.2.2.

Para números não naturais $x$ , o valor de $\Gamma(x)$ só pode ser computado via técnicas de cálculo numérico. Uma das exceções, $\Gamma(\frac{1}{2})$ , de fato

	$\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_{0}^{\infty}z^{\frac{1}{2}-1}% e^{-z}\,dz$		(5.126)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-z}}{\sqrt{z}}\,dz$		(5.127)

Fazendo a substituição $u=\sqrt{z}$ , temos $\displaystyle du=\frac{dz}{2\sqrt{z}}=\frac{dz}{2u}$ , obtemos

	$\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u^{2}}}% {u}\cdot 2u\,du$		(5.128)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du$		(5.129)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du$		(5.130)

Esta última é a conhecida integral de Gauss, a qual tem valor

\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du=\sqrt{\pi}.

(5.131)

Logo, concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\Gamma\left(% \frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}}.

(5.132)

5.2.2 Função beta

A função beta (ou, integral de Euler de primeiro tipo) é definida por

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}B(x,y)=\int_% {0}^{1}z^{x-1}(1-z)^{y-1}\,dz},

(5.133)

para quaisquer números reais positivos $x$ e $y$ .

Sua relação com a função gama é dada por

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}B(x,y)=\frac% {\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}}.

(5.134)

De fato, temos

	$\displaystyle\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-u}\,du\cdot\int_{0% }^{\infty}v^{y-1}e^{-v}\,dv$		(5.135)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{v=0}^{\infty}\int_{u=0}^{\infty}u^{x-1}v^{y-1}% e^{-(u+v)}\,du\,dv$		(5.136)

Fazendo a mudança de variáveis $u=zt$ e $v=z(1-t)$ , temos a jacobiana

	$\displaystyle J(u,v)=\begin{vmatrix}\frac{\partial u}{\partial z}&\frac{% \partial u}{\partial t}\\ \frac{\partial v}{\partial z}&\frac{\partial v}{\partial t}\end{vmatrix}$		(5.137)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}t&z\\ (1-t)&-z\end{vmatrix}$		(5.138)
	$\displaystyle\text{}\quad=-z.$		(5.139)

Logo,

	$\displaystyle\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_{z=0}^{\infty}\int_{t=0}^{1}(zt)^{x-1}[z(% 1-t)]^{y-1}e^{-[zt+z(1-t)]}\,\|J(u,v)\|\,dt\,dz$		(5.140)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{z=0}^{\infty}z^{x+y-1}e^{-z}\,dz\cdot\int_{t=0% }^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$		(5.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=\Gamma(x+y)B(x,y),$		(5.142)

o que nos fornece (5.134).

Exemplo 5.2.2.

B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\pi.

(5.143)

De fato, de (5.134), temos

	$\displaystyle B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{1}% {2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}% \right)}$		(5.144)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}}{\Gamma(1)}$		(5.145)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi.$		(5.146)

Para $n$ e $m$ números naturais não nulos, a propriedade (5.134) mostra que a função beta guarda a seguinte relação com os coeficientes binomiais

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}B(n,m)=\frac% {n+m}{nm}\cdot\frac{1}{\binom{n+m}{n}}},

(5.147)

onde no denominador do último termo temos o coeficiente binomial

\binom{n+m}{n}=\frac{(n+m)!}{n!(n+m-n)!}=\frac{(n+m)!}{n!m!}.

(5.148)

De fato, (5.147) decorre de (5.134), pois

	$\displaystyle B(n,m)=\frac{\Gamma(n)\Gamma(m)}{\Gamma(n+m)}$		(5.149)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}$		(5.150)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{n!m!}{(n+m)!}\frac{n+m}{nm}$		(5.151)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{n+m}{nm}\cdot\frac{1}{\frac{(n+m)!}{n!m!}}$		(5.152)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{n+m}{nm}\cdot\frac{1}{\binom{n+m}{n}}.$		(5.153)

5.2.3 Exercícios resolvidos

ER 5.2.1.

Calcule $\displaystyle\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$ .

Resolução.

Da propriedade (5.108) e de (5.132) , temos

	$\displaystyle\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\Gamma\left(\frac{1}{2}+1\right)$		(5.154)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$		(5.155)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}.$		(5.156)

ER 5.2.2.

Verifique que

n!=\int_{0}^{1}(-\ln s)^{n}\,ds.

(5.157)

Resolução.

Fazemos as mudanças de variáveis $t=-\ln s$ , donde

	$\displaystyle dt=-\frac{1}{s}\,ds$		(5.158)
	$\displaystyle ds=-e^{-t}\,dt$		(5.159)

Logo, temos

	$\displaystyle\int_{0}^{1}(-\ln s)^{n}\,ds=-\int_{\infty}^{0}t^{n}e^{-t}\,dt$		(5.160)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-t}\,dt$		(5.161)
	$\displaystyle\text{}\quad=\Gamma(n+1)$		(5.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=n!$		(5.163)

ER 5.2.3.

Calcule $B(2,3)$ .

Resolução.

Da propriedade (5.134), temos

	$\displaystyle B(2,3)=\frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(2+3)}$		(5.164)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1!\cdot 2!}{4!}$		(5.165)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{24}$		(5.166)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{12}.$		(5.167)

5.2.4 Exercícios

E. 5.2.1.

Calcule

a)

$\Gamma(1)$
b)

$\Gamma(3)$
c)

$\Gamma(5)$
d)

$\Gamma(7)$

a) 1; b) 2; c) 24; d) 720

E. 5.2.2.

Calcule

a)

$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$
b)

$\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)$
c)

$\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)$

a) $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ; b) $\frac{3\sqrt{\pi}}{4}$ ; c) $\frac{15\sqrt{\pi}}{8}$

E. 5.2.3.

Calcule

a)

$\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$
b)

$\Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)$

a) $-2\sqrt{\pi}$ ; b) $\frac{4\sqrt{\pi}}{3}$

E. 5.2.4.

Calcule

a)

$B(1,1)$
b)

$B(2,2)$
c)

$B(3,2)$

a) 1; b) $\frac{1}{6}$ ; c) $\frac{1}{12}$ ;

E. 5.2.5.

Calcule

a)

$B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$
b)

$B\left(1,\frac{1}{2}\right)$
c)

$B\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$

a) $\pi$ ; b) 2; c) $\frac{\pi}{2}$

E. 5.2.6.

Verifique que

B(1,x)=\frac{1}{x},

(5.168)

para todo $x$ número real positivo.

Dica: use (5.134).

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Equações diferenciais ordinárias

5.2 Integrais de Euler

5.2.1 Função gama

Exemplo 5.2.1.

Observação 5.2.1.

Observação 5.2.2.

5.2.2 Função beta

Exemplo 5.2.2.

5.2.3 Exercícios resolvidos

ER 5.2.1.

Resolução.

ER 5.2.2.

Resolução.

ER 5.2.3.

Resolução.

5.2.4 Exercícios

E. 5.2.1.

E. 5.2.2.

E. 5.2.3.

E. 5.2.4.

E. 5.2.5.

E. 5.2.6.

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