Equações Diferenciais Ordinárias

5 EDO linear de ordem mais alta com coeficientes variáveis 5.2 Integrais de Euler Referências

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5.3 Equação de Bessel

As funções de Bessel estão relacionadas as soluções das chamadas equações de Bessel

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+(x^{2}-\nu^{2})y=0,

(5.177)

onde $y:x\mapsto y(x)$ . Esta equação admite uma solução da forma

y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+r},

(5.178)

com $r$ , $c_{0}\neq 0$ e $c_{n}$ , $n=1,2,\ldots$ devem ser determinados. Para tanto, vamos substituir (5.178) em (5.177). Antes, observamos que

y^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(n+r)x^{n+r-1}

(5.179)

y^{\prime\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(n+r)(n+r-1)x^{n+r-2}

(5.180)

Substituindo em (5.177), obtemos

	$\displaystyle 0=x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+(x^{2}-\nu^{2})y$		(5.181)
	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(n+r)(n+r-1)x^{n+r}+\sum_{n=0}^{\infty}c% _{n}(n+r)x^{n+r}$		(5.182)
	$\displaystyle+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+r+2}-\nu^{2}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n% }x^{n+r}$		(5.183)
	$\displaystyle=c_{0}(r^{2}-r+r-\nu^{2})x^{r}$		(5.184)
	$\displaystyle+x^{r}\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\left[(n+r)(n+r-1)+(n+r)-\nu^{2}% \right]x^{n}+x^{r}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+2}$		(5.185)
	$\displaystyle=c_{0}(r^{2}-\nu^{2})x^{r}+x^{r}\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\left[(n+% r)^{2}-\nu^{2}\right]x^{n}$		(5.186)
	$\displaystyle+x^{r}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+2}$		(5.187)

Do primeiro termo, obtemos a chamada equação indicial

r^{2}-\nu^{2}=0

(5.188)

donde

r_{1}=\nu,\qquad r_{2}=-\nu.

(5.189)

Ou seja, somente podemos esperar encontrar soluções para (5.177) da forma (5.178) para estes valores de $r$ .

Substituindo $r=r_{1}=\nu$ em (5.187), obtemos

	$\displaystyle 0=x^{\nu}\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\left[(n+\nu)^{2}-\nu^{2}\right% ]x^{n}+x^{\nu}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+2}$		(5.190)
	$\displaystyle=x^{\nu}\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}n(n+2\nu)x^{n}+x^{\nu}\sum_{n=0}^% {\infty}c_{n}x^{n+2}$		(5.191)
	$\displaystyle=x^{\nu}\left[c_{1}(1+2\nu)x+\underbrace{\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}% n(n+2\nu)x^{n}}_{m=n-2}+\underbrace{x^{\nu}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+2}}_{m% =n}\right]$		(5.192)
	$\displaystyle=x^{\nu}\left[c_{1}(1+2\nu)x\right.$		(5.193)
	$\displaystyle\left.+\sum_{m=0}^{\infty}c_{m+2}(m+2)(m+2+2\nu)x^{m+2}+x^{\nu}% \sum_{m=0}^{\infty}c_{m}x^{m+2}\right]$		(5.194)
	$\displaystyle=x^{\nu}\left\{c_{1}(1+2\nu)x+\sum_{m=0}^{\infty}\left[c_{m+2}(m+% 2)(m+2+2\nu)+c_{m}\right]x^{m+2}\right\}$		(5.195)

Logo,

c_{1}(1+2\nu)=0

(5.196)

e, para $m=0,1,2,\infty$ ,

(m+2)(m+2+2\nu)c_{m+2}+c_{m}=0

(5.197)

ou, equivalentemente,

c_{m+2}=\frac{-c_{m}}{(m+2)(m+2+2\nu)}

(5.198)

Escolhendo $c_{1}=0$ , temos

c_{3}=c_{5}=c_{7}=\cdots=0.

(5.199)

Agora, para $m+2=2n$ , $n=1,2,3,\ldots$ , temos

c_{2n}=-\frac{c_{2n-2}}{2^{2}n(n+\nu)}.

(5.200)

Daí, segue que

$\displaystyle c_{2}$	$\displaystyle=-\frac{c_{0}}{2^{2}\cdot 1\cdot(1+\nu)}$	(5.201)
$\displaystyle c_{4}$	$\displaystyle=-\frac{c_{2}}{2^{2}\cdot 2\cdot(2+\nu)}$	(5.202)
	$\displaystyle=\frac{c_{0}}{2^{4}\cdot 2!\cdot(1+\nu)(2+\nu)}$	(5.203)
$\displaystyle c_{6}$	$\displaystyle=-\frac{c_{4}}{2^{2}\cdot 3\cdot(3+\nu)}$	(5.204)
	$\displaystyle=-\frac{c_{0}}{2^{6}\cdot 3!\cdot(1+\nu)(2+\nu)(3+\nu)}$	(5.205)
	$\displaystyle\vdots$	(5.206)
$\displaystyle c_{2n}$	$\displaystyle=\frac{(-1)^{n}c_{0}}{2^{2n}n!(1+\nu)(2+\nu)\cdots(n+\nu)}$	(5.207)

Da propriedade da função gama

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)

(5.208)

temos que

$\displaystyle\Gamma(1+\nu+1)$	$\displaystyle=(1+\nu)\Gamma(1+\nu)$	(5.209)
$\displaystyle\Gamma(1+\nu+2)$	$\displaystyle=(2+\nu)\Gamma(2+\nu)=(1+\nu)(2+\nu)\Gamma(1+\nu)$	(5.210)
	$\displaystyle\vdots$	(5.211)
$\displaystyle\Gamma(1+\nu+n)$	$\displaystyle=(1+\nu)(2+\nu)\cdots(n+\nu)\Gamma(1+\nu).$	(5.212)

Com isso, escolhendo

c_{0}=\frac{1}{2^{\nu}\Gamma(1+\nu)}

(5.213)

concluímos que

c_{2n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{2n+\nu}n!\Gamma(1+\nu+n)}

(5.214)

c_{2n-1}=0

(5.215)

para $n=1,2,3,\ldots$ .

Com tudo isso, obtivemos a seguinte solução para a equação de Bessel

y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{2n+\nu}n!\Gamma(1+\nu+n)}x^{2n+\nu}

(5.216)

ou, equivalentemente,

y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(1+\nu+n)}\left(\frac{x}{2}% \right)^{2n+\nu}.

(5.217)

Esta é conhecida como função de Bessel de primeira espécie de ordem $\nu$ e é usualmente denotada por

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}J_{\nu}(x)=% \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(1+\nu+n)}\left(\frac{x}{2}\right)^% {2n+\nu}}.

(5.218)

Pode-se mostrar que se $\nu\geq 0$ , a série converge para $x\in[0,\infty)$ .

Outra solução da equação de Bessel é obtida tomando $r=r_{2}=-\nu$ . Procedendo de forma análoga, obtemos a solução

	$\displaystyle y(x)$	$\displaystyle=J_{-\nu}(x)$		(5.219)
		$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(1-\nu+n)}\left(\frac% {x}{2}\right)^{2n-\nu},$		(5.220)

a qual é chamada de função de Bessel de primeira espécie de ordem $-\nu$ .

Agora, vamos discutir sobre a solução geral da equação de Bessel. Pode-se mostrar se $\nu$ não é um número inteiro, então $J_{\nu}(x)$ e $J_{-\nu}(x)$ são soluções linearmente independentes. Logo, temos a solução geral

y(x)=c_{1}J_{\nu}(x)+c_{2}J_{-\nu}(x),\quad\nu\not\in\mathbb{Z}.

(5.221)

Exemplo 5.3.1.

A solução geral da equação de Bessel de ordem $\nu=1/3$

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+\left(x^{2}-\frac{1}{9}\right)y=0

(5.222)

y(x)=c_{1}J_{\frac{1}{3}}(x)+c_{2}J_{-\frac{1}{3}}(x).

(5.223)

5.3.1 Função de Bessel de segunda espécie

A função de Bessel de segunda espécie de ordem $\nu$ é dada por

Y_{\nu}(x)=\frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\operatorname{sen}(\nu\pi)}

(5.224)

Para $\nu$ não inteiro, $Y_{\nu}(x)$ e $J_{\nu}(x)$ são soluções linearmente independentes da equação de Bessel. Agora, pode-se mostrar que quando $\nu\to m$ número inteiro, o seguinte limite está bem definido

Y_{m}(x)=\lim_{\nu\to m}Y_{\nu}(x).

(5.225)

Além disso, para $m$ número inteiro, $Y_{m}(x)$ e $J_{m}(x)$ são linearmente independentes. Logo, a solução geral da equação de Bessel de ordem $m$ é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(x)=c_{1}J_% {m}(x)+c_{2}Y_{m}(x)},

(5.226)

onde $Y_{\nu}(x)$ é chamada de função de Bessel de segunda espécie de ordem $\nu$ .

Exemplo 5.3.2.

A solução geral da equação de Bessel de ordem $\nu=3$

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+\left(x^{2}-9\right)y=0

(5.227)

y(x)=c_{1}J_{3}(x)+c_{2}Y_{3}(x).

(5.228)

Exercícios resolvidos

ER 5.3.1.

Forneça a solução geral da equação

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+x^{2}y=0

(5.229)

Resolução.

Esta é a equação de Bessel de ordem $\nu=0$ . A solução geral é combinação linear da função de Bessel de primeira espécie $J_{0}(x)$ com a função de Bessel de segunda espécie $Y_{0}(x)$ , i.e.

y(x)=c_{1}J_{0}(x)+c_{2}Y_{0}(x).

(5.230)

ER 5.3.2.

Verifique se

J_{\frac{1}{2}}(x)=\left(\frac{2}{\pi x}\right)^{\frac{1}{2}}\operatorname{sen% }x,\quad x>0.

(5.231)

Dica:

\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi}.

(5.232)

Resolução.

Da definição da função de Bessel de primeira espécie de ordem $\nu$ (5.218), temos

J_{\frac{1}{2}}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma\left(1+\frac{1}% {2}+n\right)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+\frac{1}{2}}.

(5.233)

Usando (5.232), temos

	$\displaystyle\Gamma\left(1+\frac{1}{2}+n\right)$	$\displaystyle=\frac{[2(n+1)]!}{4^{n+1}(n+1)!}\sqrt{\pi}$		(5.234)
		$\displaystyle=\frac{[2(n+1)]!}{2^{2n+2}(n+1)!}\sqrt{\pi}.$		(5.235)

Substituindo na função de Bessel, obtemos

$\displaystyle J_{\frac{1}{2}}(x)$	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\frac{[2(n+1)]!}{2^{2n+2}(n% +1)!}\sqrt{\pi}}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+\frac{1}{2}}$	(5.236)
	$\displaystyle=\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sum_{% n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n+2}(n+1)!}{n![2(n+1)]!2^{2n}}x^{2n}$	(5.237)
	$\displaystyle=\left(\frac{x}{2\pi}\right)^{\frac{1}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}% \frac{(-1)^{n}2^{2}(n+1)}{[2(n+1)]!}x^{2n}$	(5.238)
	$\displaystyle=\left(\frac{x}{2\pi}\right)^{\frac{1}{2}}2\sum_{n=0}^{\infty}% \frac{(-1)^{n}(2n+2)}{(2n+2)(2n+1)!}x^{2n}$	(5.239)
	$\displaystyle=\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{2}\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-% 1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}$	(5.240)
	$\displaystyle=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\operatorname{sen}x,$	(5.241)

lembrando que a expansão em série de MacLaurin

\operatorname{sen}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}.

(5.242)

Exercícios

E. 5.3.1.

Forneça a solução da equação de Bessel

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+(x^{2}-\frac{1}{16})y=0.

(5.243)

$y(x)=c_{1}J_{\frac{1}{4}}(x)+c_{2}J_{-\frac{1}{4}}(x)$

E. 5.3.2.

Forneça a solução da equação de Bessel de ordem um

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+(x^{2}-1)y=0.

(5.244)

$y(x)=c_{1}J_{1}(x)+c_{2}Y_{1}(x)$

E. 5.3.3.

Forneça a solução da equação

4x^{2}(y^{\prime\prime}+y)+4xy^{\prime}-9y=0.

(5.245)

$y(x)=c_{1}J_{\frac{3}{2}}(x)+c_{2}J_{-\frac{3}{2}}(x)$

E. 5.3.4.

Calcule $J_{0}^{\prime}(x)$ para $x>0$ ²⁸²⁸endnote: ²⁸Pode-se mostrar que $J_{0}$ é uma função analítica em $x=0$ . Veja, por exemplo, [Boyce2020, Capítulo 5., Seção 5.7.].

$J_{0}^{\prime}(x)=-J_{1}(x)$

E. 5.3.5.

Verifique se

J_{-\frac{1}{2}}(x)=\left(\frac{2}{\pi x}\right)^{\frac{1}{2}}\cos x,\quad x>0.

(5.246)

Dicas:

\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi}.

(5.247)

\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}.

(5.248)

E. 5.3.6.

Calcule a solução geral da equação de Bessel de ordem um meio

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+\left(x^{2}-\frac{1}{4}\right)y=0.

(5.249)

$y(x)=c_{1}\frac{\operatorname{sen}x}{x^{1/2}}+c_{2}\frac{\cos x}{x^{1/2}}$

Notas

1 Lembre-se que $\displaystyle y^{\prime}=\frac{dy}{dt}$ , $y^{\prime\prime}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$ e assim por diante.
2 Em várias situações o domínio de interesse de $t$ é também informado junto com a equação. Veremos isso mais adiante.
3 Pierre François Verhulst, 1804-1849, matemático belga.
4 Vamos usar de decomposição em frações parciais.
5 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}f(y(x))=\frac{\partial f}{\partial y}% \frac{dy}{dx}$
6 Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço.
7 Embora não tenha sido apresentada aqui, a unicidade de solução pode ser demonstrada.
8 Leonhard Euler, 1707-1783, matemático suíço. Fonte: Wikipedia.
9 Lembre-se que seno é uma função ímpar, i.e. $\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}(x)$ .
10 $b^{2}-4ac=0$
11 São soluções da equação homogênea associada e $W(y_{1},y_{2};t)\neq 0$ .
12 Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço. Fonte: Wikipedia.
13 Józef Maria Hoene-Wroński, 1776 - 1853, matemático polonês. Fonte: Wikipedia.
14 Observando que $r=1$ é solução da equação, podemos usar o método de redução do grau utilizado no exemplo anterior.
15 Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço. Fonte: Wikipedia.
16 $\underline{0}=(0,0,\cdots 0)$ .
17 Veja mais informações em SymPy: Matrices.
18 Leonhard Euler, 1707-1783, matemático suíço. Fonte: Wikipedia.
19 Veja a Observação 3.3.2.
20 Os autovalores de uma matriz triangular são iguais aos elementos de sua diagonal.
21 Veja a Observação 3.3.2.
22 Leonhard Euler, 1707-1783, matemático suíço. Fonte: Wikipedia.
23 Veja Observação
24 Veja Observação
25 Veja Observação
26 Sir George Biddell Airy, 1801 - 1892, matemático inglês. Fonte: Wikipedia.
27 Por definição, $0!=1$ .
28 Pode-se mostrar que $J_{0}$ é uma função analítica em $x=0$ . Veja, por exemplo, [Boyce2020, Capítulo 5., Seção 5.7.]

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5.3 Equação de Bessel

Exemplo 5.3.1.

5.3.1 Função de Bessel de segunda espécie

Exemplo 5.3.2.

Exercícios resolvidos

ER 5.3.1.

Resolução.

ER 5.3.2.

Resolução.

Exercícios

E. 5.3.1.

E. 5.3.2.

E. 5.3.3.

E. 5.3.4.

E. 5.3.5.

E. 5.3.6.

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