Equações diferenciais ordinárias

5 EDO linear de ordem mais alta com coeficientes variáveis 5 EDO linear de ordem mais alta com coeficientes variáveis 5.2 Integrais de Euler

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5.1 EDO de ordem 2 com coeficientes variáveis: fundamentos

Nesta seção, vamos discutir de forma bastante introdutória o caso de EDOs lineares de ordem 2 com coeficientes não constantes, i.e. EDOs da forma

p(x)y^{\prime\prime}+q(x)y^{\prime}+r(x)y=g(x),

(5.1)

sendo $y=y(x)$ e $p(x)\not\equiv 0$ .

A teoria fundamental para tais equações é análoga a de equações com coeficientes constantes. Mais precisamente, a solução geral pode ser escrita na forma

y(t)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)+y_{p}(x),

(5.2)

onde $y_{1}$ e $y_{2}$ formam um conjunto de soluções fundamentais ( $W(y_{1},y_{2};t)\neq 0$ ) para a equação homogênea associada e $y_{p}$ é uma solução particular da equação não homogênea. Cabe observar que a existência e unicidade de solução (para um PVI com equação homogênea) é garantida quando os coeficientes $p$ , $q$ e $r$ são funções contínuas no domínio de interesse.

A seguir, vamos explorar dois casos. O primeiro, é a equação de Euler¹¹1Leonhard Paul Euler, 1707-1783, matemático e físico suíço. Fonte: Wikipédia: Leonhard Euler., a qual admite soluções da forma $y=x^{r}$ e pode ser tratada usando as mesmas abordagem utilizadas no caso das equações com coeficientes constantes. O segundo caso, são de equações que admitem soluções em série de potências.

5.1.1 Equação de Euler

Um caso fundamental de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes não constantes é a equação de Euler

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{2}y^{% \prime\prime}+axy^{\prime}+by=0},

(5.3)

onde $a, b$ são constantes e $y=y(x)$ .

Assumindo uma solução da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(t)=x^{r}}

(5.4)

e substituindo na EDO, obtemos

x^{2}r(r-1)x^{r-2}+axrx^{r-1}+bx^{r}=0.

(5.5)

Rearranjando os termos, temos a equação característica

r(r-1)+ar+b=0

(5.6)

ou, equivalentemente,

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}r^{2}+(a-1)r% +b=0}.

(5.7)

Suas raízes são

r_{1},r_{2}=\frac{(1-a)\pm\sqrt{(a-1)^{2}-4b}}{2}.

(5.8)

Raízes reais distintas

No caso de $(a-1)^{2}-4b\neq 0$ , temos que as raízes $r_{1}$ e $r_{2}$ da equação característica são reais e distintas ( $r_{1}\neq r_{2}$ ). Assim, $y_{1}(x)=x^{r_{1}}$ e $y_{2}(x)=x^{r_{2}}$ são soluções da equação de Euler e o wronskiano

	$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}$		(5.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}x^{r_{1}}&x^{r_{2}}\\ r_{1}x^{r_{1}-1}&r_{2}x^{r_{2}-1}\end{vmatrix}$		(5.10)
	$\displaystyle\text{}\quad=(r_{2}-r_{1})x^{r_{1}+r_{2}-1}\neq 0.$		(5.11)

Ou seja, $\{y_{1},y_{2}\}$ formam um conjunto fundamental de soluções para a equação de Euler, logo sua solução geral é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(t)=c_{1}x^% {r_{1}}+c_{2}x^{r_{2}}}.

(5.13)

Exemplo 5.1.1.

Vamos encontrar a solução geral de

x^{2}y^{\prime\prime}+xy-4y=0.

(5.14)

Supondo uma solução da forma $y(t)=x^{r}$ , obtemos a equação característica associada

r^{2}-4=0.

(5.15)

Suas raízes são $r_{1}=-2$ e $r_{2}=2$ . Logo, concluímos que a solução geral é

y(x)=c_{1}x^{-2}+c_{2}x^{2}.

(5.16)

Raiz dupla

No caso de $(a-1)^{2}-4b=0$ , a equação característica tem raiz dupla

r=\frac{1-a}{2}.

(5.17)

Isto nos fornece a solução particular

y_{1}(t)=x^{r}.

(5.18)

Para obtermos uma outra solução, usamos o método da redução de ordem. I.e., buscamos por uma solução da forma

y_{2}(x)=u(x)y_{1}(x),

(5.19)

Substituindo $y_{2}$ na equação de Euler, obtemos

	$\displaystyle 0=x^{2}y_{2}^{\prime\prime}+axy_{2}^{\prime}+by_{2}$		(5.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}\left(y_{1}^{\prime\prime}u+2y_{1}^{\prime}u^{% \prime}+y_{1}u^{\prime\prime}\right)$
	$\displaystyle\text{}\qquad+ax\left(y_{1}^{\prime}u+y_{1}u^{\prime}\right)$
	$\displaystyle\text{}\qquad+by_{1}u$		(5.21)
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{\left(x^{2}y_{1}^{\prime\prime}+axy_{1}^% {\prime}+By_{1}\right)u}_{=0}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+x^{2}y_{1}u^{\prime\prime}+(2x^{2}y_{1}^{\prime}+% axy_{1})u^{\prime}$		(5.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{r+2}u^{\prime\prime}+(2x^{2}rx^{r-1}+axx^{r})u^{\prime}$		(5.23)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{r+2}u^{\prime\prime}+(2r+a)x^{r+1}u^{\prime}$		(5.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{r+2}u^{\prime\prime}+x^{r+1}u^{\prime}$		(5.25)

Desta equação, obtemos

	$\displaystyle x^{r+2}u^{\prime\prime}=-x^{r+1}u^{\prime}$		(5.26)
	$\displaystyle\frac{1}{u^{\prime}}u^{\prime\prime}=-x^{-1}$		(5.27)
	$\displaystyle\ln\|u^{\prime}\|=-\ln\|x\|+c$		(5.28)
	$\displaystyle u^{\prime}=\frac{c}{x}$		(5.29)
	$\displaystyle u=c\ln\|x\|+d.$		(5.30)

Ou seja, podemos escolher $y_{2}(x)=x^{r}\ln|x|$ . Conferindo o wronskiano, temos

	$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)=\begin{vmatrix}x^{r}&x^{r}\ln\|x\|\\ rx^{r-1}&(r\ln\|x\|+1)x^{r-1}\end{vmatrix}$		(5.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2r-1}\neq 0,\quad x\neq 0.$		(5.32)

Concluímos que, no caso de raiz dupla $r=(1-a)/2$ , a solução geral da equação de Euler é

y(t)=(c_{1}+c_{2}\ln|x|)x^{\frac{1-a}{2}}.

(5.33)

Exemplo 5.1.2.

Vamos obter a solução geral de

x^{2}y^{\prime\prime}-xy^{\prime}+y=0.

(5.34)

A equação característica associada é

r^{2}-2r+1=0,

(5.35)

a qual tem raiz dupla $r=1$ . Logo, a solução geral desta equação de Euler é

y(t)=(c_{1}+c_{2}\ln|x|)x.

(5.36)

⬇

1In : from sympy import *

2In : dsolve(x**2*diff(y(x),x,2)-x*diff(y(x),x)+y(x))

3Out: Eq(y(x), x*(C1 + C2*log(x)))

Raízes complexas

No caso de $(a-1)^{2}-4b<0$ , a equação característica associada a equação de Euler tem raízes complexas

r_{1},r_{2}=\lambda\pm i\mu

(5.37)

onde

\lambda=\frac{(1-a)}{2}\quad\text{e}\quad\mu=\frac{\sqrt{4b-(a-1)^{2}}}{2}.

(5.38)

Da fórmula de Euler, temos

	$\displaystyle x^{\lambda\pm i\mu}=e^{\ln x^{\lambda\pm i\mu}}$		(5.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{(\lambda\pm i\mu)\ln(x)}$		(5.40)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{\lambda\ln\|x\|}[\cos(\mu\ln x)\pm i\operatorname{% sen}(\mu\ln x)]$		(5.41)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{\lambda}[\cos(\mu\ln x)\pm i\operatorname{sen}(% \mu\ln x)].$		(5.42)

Agora, da linearidade da equação de Euler, vemos que $y_{1}(x)=x^{\lambda}\cos(\mu\ln|x|)$ e $y_{2}(x)=x^{\lambda}\operatorname{sen}(\mu\ln|x|)$ são soluções particulares. Mais ainda, o wronskiano

	$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}$		(5.43)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mu x^{2\lambda-1}$		(5.44)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{4b-(a-1)^{2}}}{2}x^{a}\neq 0.$		(5.45)

Concluímos que, no caso de raiz dupla, a solução geral é

y(t)=x^{\lambda}[c_{1}\cos(\mu\ln|x|)+c_{2}\operatorname{sen}(\mu\ln|x|)].

(5.46)

Exemplo 5.1.3.

Vamos obter a solução geral de

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+y=0.

(5.47)

A equação característica associada é

r^{2}+1=0,

(5.48)

a qual tem raízes imaginárias $r=\pm i$ . Logo, a solução geral desta equação de Euler é

y(t)=c_{1}\cos(\ln|x|)+c_{2}\operatorname{sen}(\ln|x|).

(5.49)

⬇

1In : from sympy import *

2In : dsolve(x**2*diff(y(x),x,2)+x*diff(y(x),x)+y(x))

3Out: Eq(y(x), C1*sin(log(x)) + C2*cos(log(x)))

5.1.2 Solução em série de potências

Em muitos casos, a solução geral de tais EDOs pode ser escrita como uma série de potências, i.e.

y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}.

(5.50)

O ponto $x_{0}$ é arbitrário e deve pertencer ao domínio de interesse. A ideia básica é, então, substituir a representação em série de potência de $y$ na EDO de forma a calcular seus coeficientes.

Exemplo 5.1.4.

Vamos usar o método de série de potências para resolver

y^{\prime\prime}-xy=0,

(5.51)

chamada equação de Airy²²2Sir George Biddell Airy, 1801 - 1892, matemático britânico. Fonte: Wikipédia: George Biddell Airy.

Vamos assumir que

y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.

(5.52)

Segue que

	$\displaystyle y^{\prime}(t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}nx^{n-1}$		(5.53)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}(n+1)x^{n}$		(5.54)

	$\displaystyle y^{\prime\prime}(t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}(n+1)nx^{n-1}$		(5.55)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}.$		(5.56)

Substituindo na equação de Airy, obtemos

	$\displaystyle 0=y^{\prime\prime}-xy$		(5.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}-x\sum_{n=0% }^{\infty}a_{n}x^{n}$		(5.58)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}-\sum_{n=0}% ^{\infty}a_{n}x^{n+1}$		(5.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=2a_{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}-% \sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^{n}$		(5.60)
	$\displaystyle\text{}\quad=2a_{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n+2}(n+2)(n+1)-a_{n-1}% )x^{n}.$		(5.61)

Como esta última equação deve valer para todo $x$ , segue que

	$\displaystyle a_{2}=0,$		(5.62)
	$\displaystyle(n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1},\quad n=1,2,3,\ldots$		(5.63)

Observamos que não há condições impostas para $a_{0}$ e $a_{1}$ , ou seja, são constantes indeterminadas. Das relações acima, obtemos:

a)

$n=3,6,9,\ldots$ :

$\displaystyle a_{5}=\frac{a_{2}}{4\cdot 5}=0$ (5.64)

$\displaystyle a_{8}=\frac{a_{5}}{7\cdot 9}=0$ (5.65)

$\displaystyle a_{11}=\frac{a_{8}}{10\cdot 11}=0$ (5.66)

$\displaystyle\text{}\quad\vdots$ (5.67)

$\displaystyle a_{3k+2}=0,\quad k\geq 1.$ (5.68)
b)

$n=1,4,7,\ldots$ :

$\displaystyle a_{3}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3},$ (5.69)

$\displaystyle a_{6}=\frac{a_{3}}{5\cdot 6}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6},$ (5.70)

$\displaystyle a_{9}=\frac{a_{6}}{8\cdot 9}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6% \cdot 8\cdot 9}$ (5.71)

$\displaystyle\text{}\quad\vdots$

$\displaystyle\text{}\quad a_{3k}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot\cdots\cdot(3k-1)% \cdot(3k)},\quad k\geq 1.$ (5.72)
c)

$n=2,5,8,\ldots$ :

$\displaystyle a_{4}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4},$ (5.73)

$\displaystyle a_{7}=\frac{a_{4}}{6\cdot 7}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7},$ (5.74)

$\displaystyle a_{10}=\frac{a_{7}}{9\cdot 10}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7% \cdot 9\cdot 10},$ (5.75)

$\displaystyle\text{}\quad\vdots$

$\displaystyle a_{3k+1}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot\cdots\cdot(3k)\cdot(3k+1)},% \quad k\geq 1.$ (5.76)

Do que calculamos, podemos concluir que

	$\displaystyle y(t)=a_{0}\left[1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{3k}}{2\cdot 3\cdot% \cdots\cdot(3k-1)\cdot(3k)}\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+a_{1}\left[x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{3% \cdot 4\cdot\cdots\cdot(3k)\cdot(3k+1)}\right].$		(5.77)

Há uma série de questões importantes que fogem dos objetivos destas notas de aula. Por exemplo, observamos que nem sempre é possível escrever a solução de uma EDO como uma série de potências. Também deve-se fazer um tratamento especial quando $P(x_{0})=0$ . Para maiores informações, pode-se consultar [1].

5.1.3 Exercícios resolvidos

ER 5.1.1.

Resolva

	$\displaystyle x^{2}y^{\prime\prime}-2xy^{\prime}+2y=0,$		(5.78)
	$\displaystyle y(1)=0\quad\text{e}\quad y^{\prime}(1)=-1.$		(5.79)

Resolução.

Trata-se de um PVI envolvendo a equação de Euler. Primeiramente, buscamos a solução geral desta equação. Para tanto, resolvemos a equação característica associada

r^{2}-3r+2=0.

(5.80)

As raízes desta equação são

r_{1}=1\quad\text{e}\quad r_{2}=2.

(5.81)

Logo, a solução geral da EDO é

y(t)=c_{1}x+c_{2}x^{2}.

(5.82)

Agora, das condições iniciais, obtemos

	$\displaystyle y(1)=0\Rightarrow c_{1}+c_{2}=0$		(5.83)
	$\displaystyle y^{\prime}(1)=-1\Rightarrow c_{1}+2c_{2}=-1$		(5.84)

Resolvendo, obtemos $c_{1}=1$ e $c_{2}=-1$ . Concluímos que a solução do PVI é

y(t)=x-x^{2}.

(5.85)

ER 5.1.2.

Considere o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime\prime}+xy^{\prime}=\cos(x),$		(5.86)
	$\displaystyle y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=0.$		(5.87)

Calcule os quatro primeiros termos da representação da solução em série de potências em torno de $x_{0}=0$ .

Resolução.

Consideramos que a solução possa ser escrita como uma série de potências da forma

y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.

(5.88)

Ainda, lembramos que

\displaystyle\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}.

(5.89)

Assim sendo, substituímos na EDO para encontrarmos

	$\displaystyle\cos(x)=y^{\prime\prime}+xy^{\prime}$		(5.90)
	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{% \infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+x\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}(n+1)x^{n}$		(5.91)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}(n+1)x^{n+1}$		(5.92)
	$\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}=2a_{2}+\sum_{n% =1}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}nx^{n}$		(5.93)

Daí, considerando como constantes indeterminadas $a_{0}=c_{1}$ e $a_{1}=c_{2}$ , temos

a_{2}=\frac{1}{2},\quad a_{3}=-\frac{c_{2}}{6}.

(5.95)

Obtivemos a seguinte aproximação da solução geral

y(x)\approx c_{1}+c_{2}x+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{c_{2}}{6}x^{3}.

(5.96)

Aplicando as condições iniciais, temos

	$\displaystyle y(0)=1$	$\displaystyle\Rightarrow c_{1}=1$		(5.97)
	$\displaystyle y^{\prime}(0)=0$	$\displaystyle\Rightarrow c_{2}=0.$		(5.98)

Assim, temos calculado a seguinte aproximação da solução

y(x)=1+\frac{1}{2}x^{2}.

(5.99)

5.1.4 Exercícios

Em construção

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Equações diferenciais ordinárias

5.1 EDO de ordem 2 com coeficientes variáveis: fundamentos

5.1.1 Equação de Euler

Raízes reais distintas

Exemplo 5.1.1.

Raiz dupla

Exemplo 5.1.2.

Raízes complexas

Exemplo 5.1.3.

5.1.2 Solução em série de potências

Exemplo 5.1.4.

5.1.3 Exercícios resolvidos

ER 5.1.1.

Resolução.

ER 5.1.2.

Resolução.

5.1.4 Exercícios

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	$\displaystyle a_{5}=\frac{a_{2}}{4\cdot 5}=0$		(5.64)
	$\displaystyle a_{8}=\frac{a_{5}}{7\cdot 9}=0$		(5.65)
	$\displaystyle a_{11}=\frac{a_{8}}{10\cdot 11}=0$		(5.66)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$		(5.67)
	$\displaystyle a_{3k+2}=0,\quad k\geq 1.$		(5.68)

	$\displaystyle a_{3}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3},$		(5.69)
	$\displaystyle a_{6}=\frac{a_{3}}{5\cdot 6}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6},$		(5.70)
	$\displaystyle a_{9}=\frac{a_{6}}{8\cdot 9}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6% \cdot 8\cdot 9}$		(5.71)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$
	$\displaystyle\text{}\quad a_{3k}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot\cdots\cdot(3k-1)% \cdot(3k)},\quad k\geq 1.$		(5.72)

	$\displaystyle a_{4}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4},$		(5.73)
	$\displaystyle a_{7}=\frac{a_{4}}{6\cdot 7}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7},$		(5.74)
	$\displaystyle a_{10}=\frac{a_{7}}{9\cdot 10}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7% \cdot 9\cdot 10},$		(5.75)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$
	$\displaystyle a_{3k+1}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot\cdots\cdot(3k)\cdot(3k+1)},% \quad k\geq 1.$		(5.76)