Equações Diferenciais Ordinárias

2 EDO de primeira ordem 2.1 Equação linear 2.3 Equação exata

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2.2 Equação separável

Uma EDO de primeira ordem

\frac{dy}{dx}=f(x,y)

(2.124)

é dita ser uma equação separável quando pode ser reescrita na seguinte forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}M(x)+N(y)% \frac{dy}{dx}=0.}

(2.125)

Exemplo 2.2.1.

Vejamos os seguintes casos.

a)

É separável a EDO

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y},$ (2.126)

pois pode ser reescrita como segue

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$ (2.127)

$\displaystyle y\frac{dy}{dx}=x^{2}$ (2.128)

$\displaystyle\underbrace{-x^{2}}_{M(x)}+\underbrace{y}_{N(y)}\frac{dy}{dx}=0.$ (2.129)
b)

Não é separável a EDO

$e^{xy}-x\frac{dy}{dx}=0.$ (2.130)

Observe que não há como reescrever esta equação na forma (2.125).

Agora, vamos ver como podemos resolver uma EDO separável. Consideremos a equação separável

M(x)+N(y)\frac{dy}{dx}=0.

(2.131)

Sejam, também, $F=F(x)$ e $G=G(y)$ primitivas de $M$ e $N$ , respectivamente. I.e.

	$\displaystyle\frac{d}{dx}F(x)=M(x),$		(2.132)
	$\displaystyle\frac{d}{dy}G(y)=N(y).$		(2.133)

Lembrando que $y=y(x)$ , temos da regra da cadeia que

	$\displaystyle\frac{d}{dx}G(y)$	$\displaystyle=\frac{dG(y)}{dy}\frac{dy}{dx}$		(2.134)
		$\displaystyle=N(y)\frac{dy}{dx}.$		(2.135)

Ou seja, a EDO (2.131) pode ser reescrita na forma

\frac{d}{dx}F(x)+\frac{d}{dx}G(y)=0

(2.136)

ou ainda,

\frac{d}{dx}\left(F(x)+G(y)\right)=0.

(2.137)

Então, integrando em relação a $x$ , obtemos

F(x)+G(y)=c,

(2.138)

a qual é uma equação algébrica para $y$ que, com sorte, pode ser usada para explicitar a solução da EDO (2.131).

Exemplo 2.2.2.

Vamos resolver a seguinte EDO separável:

\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}.

(2.139)

a)

Método 1. Primeiramente, reescrevemos a EDO no formato (2.125):

$\underbrace{-x^{2}}_{M(x)}+\underbrace{y}_{N(y)}\frac{dy}{dx}=0.$ (2.140)

Então, calculamos as primitivas

$\displaystyle F(x)$ $\displaystyle=\int M(x)\,dx$ (2.141)

$\displaystyle=\int-x^{2}\,dx$ (2.142)

$\displaystyle=-\frac{x^{3}}{3}+c$ (2.143)

e

$\displaystyle G(y)$ $\displaystyle=\int N(y)\,dy$ (2.144)

$\displaystyle=\int y\,dy$ (2.145)

$\displaystyle=\frac{y^{2}}{2}+c.$ (2.146)

Então, segue que a EDO resume-se a seguinte equação algébrica

$\displaystyle F(x)+G(y)=c$ (2.147)

$\displaystyle-\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=c$ (2.148)

a qual é uma equação implícita da solução geral $y=y(x)$ .
b)

Método 2. A EDO separável

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$ (2.149)

pode ser reescrita como

$y\,dy=x^{2}\,dx.$ (2.150)

Integrando ambos os lados desta equação, obtemos

$\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{3}}{3}+c,$ (2.151)

a qual é equivalente a solução obtida em (2.148).

Na figura abaixo, temos esboços dos gráficos da solução para diferentes valores de $c$ .

Refer to caption — Figura 2.3: Esboços dos gráficos da solução da EDO do Exemplo 2.2.2 para: (azul) $c=-1$ , (vermelho) $c=0$ , (verde) $c=1$ e (preto) $c=2$ .

No Python, podemos computar a solução com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: y = symbols('y', cls=Function)

3 ...: x,C1 = symbols('x,C1')

4 ...: edo = Eq(diff(y(x),x),x**2/y(x))

5 ...: sg = dsolve(edo, y(x), simplify=False)

6 ...: sg

7 Out: Eq(y(x)**2/2, C1 + x**3/3)

Os esboços dos gráficos podem ser feitos com:

⬇

1 In : var('y')

2 ...: sg = sg.subs(y(x),y)

3 ...: p = plot_implicit(sg.subs(C1,-1), (x,-4,4), \

4 ...: (y,-4,4), line_color='blue', show=False)

5 ...: q = plot_implicit(sg.subs(C1,0), (x,-4,4), \

6 ...: (y,-4,4), line_color='red', show=False)

7 ...: p.extend(q)

8 ...: q = plot_implicit(sg.subs(C1,1), (x,-4,4), \

9 ...: (y,-4,4), line_color='green', show=False)

10 ...: p.extend(q)

11 ...: q = plot_implicit(sg.subs(C1,2), (x,-4,4), \

12 ...: (y,-4,4), line_color='black', show=False)

13 ...: p.extend(q)

14 ...: p.show()

Observação 2.2.1.

Como vimos no exemplo anterior (Exemplo 2.2.2), a solução geral de uma EDO separável nem sempre pode ser explicitada. Em muitos casos o procedimento de separar as variáveis nos leva a obter a solução da EDO na forma de uma equação algébrica implícita.

2.2.1 Equação de Verhulst

A equação de Verhulst³³endnote: ³Pierre François Verhulst, 1804-1849, matemático belga. (ou equação logística) é um clássico modelo de crescimento populacional. Trata-se da seguinte equação autônoma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{dy}{dt% }=r\left(1-\frac{y}{K}\right)y},

(2.152)

onde $y$ é a medida de tamanho da população e os parâmetros são: $r>0$ a taxa de crescimento intrínseca e $K>0$ o nível de saturação.

Antes de resolvermos esta equação, vamos fazer algumas observações que podem ser obtidas diretamente da EDO. Do cálculo, temos que se $dy/dt=0$ para todos os valores de $t$ , então $y$ é constante, i.e. a população se mantém constante. A derivada é nula quando o lado direito de (2.152) for nulo, i.e.

r\left(1-\frac{y}{K}\right)y=0.

(2.153)

Isso ocorre quando $y=0$ ou quando $y=K$ . Ou seja, se a população é nula não há crescimento populacional, bem como, não há crescimento se a população estiver em seu nível de saturação.

Agora, o que ocorre se a população for $0<y<K$ ? Neste caso, temos

\frac{dy}{dt}=r\underbrace{\left(1-\frac{y}{K}\right)}_{>0}y>0,

(2.154)

ou seja, a população cresce. Por outro lado, se $y>K$ (a população está acima de seu nível de saturação), então

\frac{dy}{dt}=r\underbrace{\left(1-\frac{y}{K}\right)}_{<0}y<0,

(2.155)

a população decresce. Estas conclusões também nos levam a inferir que

\lim_{t\to\infty}y(t)=K,

(2.156)

para qualquer população inicial não nula.

Solução da equação logística

Consideramos o seguinte PVI

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=r\left(1-\frac{y}{K}\right)y,\quad t>0,$		(2.157)
	$\displaystyle y(0)=y_{0}.$		(2.158)

A equação de Verhulst é uma EDO separável, daí segue que

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=r\left(1-\frac{y}{K}\right)y$		(2.159)
	$\displaystyle\frac{1}{\left(1-\frac{y}{K}\right)y}\,dy=r\,dt.$		(2.160)

Vamos integrar o lado esquerdo desta última equação⁴⁴endnote: ⁴Vamos usar de decomposição em frações parciais.

	$\displaystyle\int\frac{1}{\left(1-\frac{y}{K}\right)y}\,dy$	$\displaystyle=\int\left(\frac{1}{y}+\frac{1/K}{1-y/K}\right)\,dy$		(2.161)
		$\displaystyle=\ln\|y\|-\ln\left\|1-\frac{y}{K}\right\|.$		(2.162)

Logo, a solução da equação logística satisfaz a seguinte equação algébrica

\ln|y|-\ln\left|1-\frac{y}{K}\right|=rt+c,

(2.163)

onde $c$ é uma constante a determinar. Antes, observamos que esta equação é equivalente a

\ln\left|\frac{y}{1-\frac{y}{K}}\right|=rt+c.

(2.164)

Aplicando a função exponencial, obtemos

\frac{y}{1-y/K}=ce^{rt}.

(2.165)

Da condição inicial $y(0)=y_{0}$ , encontramos

c=\frac{y_{0}}{1-y_{0}/K}.

(2.166)

Agora, podemos isolar $y$ em (2.165) como segue:

	$\displaystyle y=\left(1-\frac{y}{K}\right)ce^{rt}$		(2.167)
	$\displaystyle y=ce^{rt}-y\frac{c}{K}e^{rt}$		(2.168)
	$\displaystyle\left(1+\frac{c}{K}e^{rt}\right)y=ce^{rt}$		(2.169)
	$\displaystyle y=\frac{ce^{rt}}{1+\frac{c}{K}e^{rt}}$		(2.170)

Então, multiplicando em cima e em baixo por $(K/c)e^{-rt}$ , obtemos

y=\frac{K}{\frac{K}{c}e^{-rt}+1}.

(2.171)

Por fim, de (2.166), obtemos a solução

y(t)=\frac{y_{0}K}{y_{0}+(K-y_{0})e^{-rt}}.

(2.172)

Da solução, corroboramos que a população permanece constante quando $y_{0}=0$ ou $y_{0}=K$ . Ainda, se $0<y_{0}<K$ ou $y_{0}>K$ , temos que

	$\displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)$	$\displaystyle=\lim_{t\to\infty}\frac{y_{0}K}{y_{0}+(K-y_{0})\cancelto{0}{e^{-% rt}}}$		(2.173)
		$\displaystyle=K.$		(2.174)

Exemplo 2.2.3.

Vamos usar a equação de Verhulst para modelar a dinâmica de uma população com taxa de crescimento intrínseca $r=0,1$ e nível de saturação $K=1$ (bilhão). Pelo que vimos nesta subsecção, temos o modelo

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=0,1\left(1-y\right)y,\quad t>0,$		(2.175)
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$		(2.176)

onde $y:\mapsto y(t)$ é a solução no tempo $t$ e $y_{0}$ é a população inicial.

De 2.172, temos a solução

y(t)=\frac{y_{0}}{y_{0}+(1-y_{0})e^{-0,1t}}.

(2.177)

A figura abaixo, mostra a dinâmica da população para $y_{0}=0,5<K$ , $y_{0}=1=K$ e $y_{0}=1,5>K$ .

Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

( $\blacktriangleright$ Vídeo disponível!)

Calcule a solução geral da EDO

y^{\prime}=2y^{2}+xy^{2}.

(2.178)

Resolução.

Separando as variáveis, obtemos

	$\displaystyle y^{\prime}=2y^{2}+xy^{2}$		(2.179)
	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=y^{2}(2+x)$		(2.180)
	$\displaystyle\frac{1}{y^{2}}\,dy=(2+x)\,dx.$		(2.181)

Integrando, obtemos a solução geral

\displaystyle-\frac{1}{y}=2x+\frac{x^{2}}{2}+c.

(2.182)

ER 2.2.2.

Calcule a solução do PVI

	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y},\quad x>0,$		(2.183)
	$\displaystyle y(0)=2.$		(2.184)

Resolução.

Separamos as variáveis e integramos

	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$		(2.185)
	$\displaystyle y\,dy=x^{2}\,dx$		(2.186)
	$\displaystyle\int y\,dy=\int x^{2}\,dx$		(2.187)
	$\displaystyle\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{3}}{3}+c.$		(2.188)

Determinamos a constante $c$ pela aplicação da condição inicial $y(0)=2$ . Ou seja, temos

	$\displaystyle\frac{y^{2}(0)}{2}=\frac{0^{3}}{3}+c$		(2.189)
	$\displaystyle c=2.$		(2.190)

Logo, a solução $y=y(x)$ do PVI é dada pela equação algébrica

\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{3}}{3}+2.

(2.191)

Buscando explicitar a solução, observamos que

	$\displaystyle y^{2}=\frac{2}{3}x^{3}+4$		(2.192)
	$\displaystyle y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+4}.$		(2.193)

Lembrando que $y(0)=2$ , temos necessariamente que

y(x)=\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+4}.

(2.194)

ER 2.2.3.

(Crescimento populacional com limiar) Considere o seguinte modelo de crescimento populacional

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=-r\left(1-\frac{y}{L}\right)y,\quad t>0,$
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$

onde $y=y(t)$ é o tamanho da população, $y_{0}\geq 0$ é a população inicial e são parâmetros $r,L>0$ . Forneça os valores de $y_{0}$ para os quais a população é crescente.

Resolução.

A população $y$ é crescente quando

\frac{dy}{dt}>0.

(2.195)

Logo, precisamos ter

-r\left(1-\frac{y}{L}\right)y>0.

(2.196)

Isto ocorre quando

	$\displaystyle 1-\frac{y}{L}<0$		(2.197)
	$\displaystyle y>L.$		(2.198)

Logo, concluímos que uma população inicial $y_{0}>L$ é necessária para produzir uma taxa de crescimento populacional positiva.

Exercícios

E. 2.2.1.

Calcule a solução de

	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=xe^{y},\quad x>0,$		(2.199)
	$\displaystyle y(0)=1.$		(2.200)

$y(x)=\ln\left(\frac{2}{2e^{-1}-x^{2}}\right)$ .

E. 2.2.2.

Resolva a EDO

y^{\prime}+y^{2}\cos x=0.

(2.201)

$y(x)=\frac{1}{c+\operatorname{sen}x}$

E. 2.2.3.

Resolva o PVI

e^{x+y}y^{\prime}=1,\quad x>0,\\ y(0)=0.

(2.202)

$y(x)=\ln\left(2-e^{-x}\right)$

E. 2.2.4.

Considere o seguinte modelo de crescimento populacional

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=-r\left(1-\frac{y}{L}\right)y,\quad t>0,$
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$

onde $y=y(t)$ é o tamanho da população, $y_{0}\geq 0$ é a população inicial e são parâmetros $r,L>0$ . Qual é a tendência da população $y=y(t)$ quando $t\to\infty$ e

a)

$y_{0}=0$ ;
b)

$0<y_{0}<L$ ;
c)

$y_{0}=L$ ;
d)

$y_{0}>L$

a) $y(t)\equiv 0$ ; b) $y(t)\to 0$ ; c) $y(t)\equiv L$ ; d) $y(t)\to\infty$ .

E. 2.2.5.

Resolva o seguinte modelo de crescimento populacional

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=-r\left(1-\frac{y}{L}\right)y,\quad t>0,$
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$

onde $y=y(t)$ é o tamanho da população, $y_{0}\geq 0$ é a população inicial e são parâmetros $r,L>0$ .

$\displaystyle y(t)=\frac{y_{0}L}{y_{0}+(L-y_{0})e^{rt}}$ .

E. 2.2.6.

Considere o seguinte modelo de crescimento populacional

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=-r\left(1-\frac{y}{L}\right)\left(1-\frac{y}{K}% \right)y,\quad t>0,$
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$

onde $y=y(t)$ é o tamanho da população, $y_{0}\geq 0$ é a população inicial e são parâmetros $r>0$ , $K>L>0$ . Qual é a tendência da população $y=y(t)$ quando $t\to\infty$ e

a)

$y_{0}=0$ ;
b)

$0<y_{0}<L$ ;
c)

$y_{0}=L$
d)

$L<y_{0}<K$ ;
e)

$y_{0}=K$
f)

$y_{0}>K$

a) $y(t)\equiv 0$ ; b) $y(t)\to 0$ ; c) $y(t)\equiv L$ ; d) $y(t)\to K$ ; e) $y(t)\equiv K$ ; f) $y(t)\to K$ .

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Equações Diferenciais Ordinárias

2.2 Equação separável

Exemplo 2.2.1.

Exemplo 2.2.2.

Observação 2.2.1.

2.2.1 Equação de Verhulst

Solução da equação logística

Exemplo 2.2.3.

Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

Resolução.

ER 2.2.2.

Resolução.

ER 2.2.3.

Resolução.

Exercícios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

E. 2.2.6.

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	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$		(2.127)
	$\displaystyle y\frac{dy}{dx}=x^{2}$		(2.128)
	$\displaystyle\underbrace{-x^{2}}_{M(x)}+\underbrace{y}_{N(y)}\frac{dy}{dx}=0.$		(2.129)

$\displaystyle F(x)$	$\displaystyle=\int M(x)\,dx$	(2.141)
	$\displaystyle=\int-x^{2}\,dx$	(2.142)
	$\displaystyle=-\frac{x^{3}}{3}+c$	(2.143)

$\displaystyle G(y)$	$\displaystyle=\int N(y)\,dy$	(2.144)
	$\displaystyle=\int y\,dy$	(2.145)
	$\displaystyle=\frac{y^{2}}{2}+c.$	(2.146)

	$\displaystyle F(x)+G(y)=c$		(2.147)
	$\displaystyle-\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=c$		(2.148)