Cálculo II

2 Derivadas 2.2 Diferenciais e aproximações lineares 2.4 Derivada direcional e gradiente

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2.3 Regra da cadeia

Sejam $z=f(x,y)$ função de duas variáveis, $x=x(t)$ e $y=y(t)$ funções de uma variável. Vamos calcular

\displaystyle\frac{dz}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta z}{\Delta t}.

(2.148)

Da teoria de diferenciais e aproximações lineares (Seção 2.2), temos que

\displaystyle\Delta z\approx f_{x}(x,y)\Delta x+f_{y}(x,y)\Delta y,

(2.149)

sendo que podemos escrever

\displaystyle\frac{\Delta z}{\Delta t}\approx f_{x}(x,y)\frac{\Delta x}{\Delta t% }+f_{y}(x,y)\frac{\Delta y}{\Delta t}.

(2.150)

E, tomando o limite quando $\Delta t\to 0$ , temos a seguinte regra da cadeia

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \frac{dz}{dt}=f_{x}(x,y)\frac{dx}{dt}+f_{y}(x,y)\frac{dy}{dt}

(2.151)

ou, equivalentemente,

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{% \partial y}\frac{dy}{dt}.

(2.152)

Exemplo 2.3.1.

Sejam $z=x^{2}y-e^{-xy}$ , $x=t^{2}$ e $y=\operatorname{sen}(t)$ . Vamos calcular $\frac{dz}{dt}$ usando:

regra da cadeia

	$\displaystyle\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{% \partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$		(2.153)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2xy+ye^{-xy})(2t)+(x^{2}+xe^{-xy})\cos(t)$		(2.154)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2t^{2}\operatorname{sen}(t)+\operatorname{sen}(t)e^% {-t^{2}\operatorname{sen}(t)})(2t)$
	$\displaystyle\text{}\qquad+(t^{4}+t^{2}e^{-t^{2}\operatorname{sen}(t)})\cos(t)$		(2.155)
	$\displaystyle\text{}\quad=4t^{3}\operatorname{sen}(t)+t^{4}\cos(t)+\left(2t% \operatorname{sen}(t)+t^{2}\cos(t)\right)e^{-t^{2}\operatorname{sen}(t)}.$		(2.156)

b)

substituição e derivação direta

Substituindo $x=t^{2}$ e $y=\operatorname{sen}(t)$ em $z=x^{2}y-e^{-xy}$ , temos

$\displaystyle z=t^{4}\operatorname{sen}(t)-e^{-t^{2}\operatorname{sen}(t)}.$ (2.157)

Derivando em relação a $t$ , temos

$\displaystyle\frac{dz}{dt}=4t^{3}\operatorname{sen}(t)+t^{4}\cos(t)+\left(2t% \operatorname{sen}(t)+t^{2}\cos(t)\right)e^{-t^{2}\operatorname{sen}(t)}.$ (2.158)

Por raciocínio análogo, a regra da cadeia para uma função $w=f(x,y,z)$ , com $x=x(t)$ , $y=y(t)$ e $z=z(t)$ , é

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial w}{% \partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{dz}{dt}.

(2.159)

Exemplo 2.3.2.

Sejam $w=x^{2}y+e^{yz}+z^{3}$ , $x=t^{2}$ , $y=\operatorname{sen}(t)$ e $z=\cos(t)$ . Vamos calcular a derivada de $w$ em relação a $t$ usando a regra da cadeia.

	$\displaystyle\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{% \partial w}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{dz}{dt}$		(2.160)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2xy)(2t)+(x^{2}+ze^{yz})\cos(t)+(ye^{yz}+3z^{2})(-% \operatorname{sen}(t))$		(2.161)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2t^{2}\operatorname{sen}(t))(2t)+(t^{4}+\cos(t)e^{% \operatorname{sen}(t)\cos(t)})\cos(t)$
	$\displaystyle\text{}\qquad+(\operatorname{sen}(t)e^{\operatorname{sen}(t)\cos(% t)}+3\cos^{2}(t))(-\operatorname{sen}(t))$		(2.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=4t^{3}\operatorname{sen}(t)+t^{4}\cos(t)-3\cos^{2}(t% )\operatorname{sen}(t)$
	$\displaystyle\text{}\qquad+(\cos^{2}(t)-\operatorname{sen}^{2}(t))e^{% \operatorname{sen}(t)\cos(t)}.$		(2.163)

Verifique o resultado substituindo $x=t^{2}$ , $y=\operatorname{sen}(t)$ e $z=\cos(t)$ em $w=x^{2}y+e^{yz}+z^{3}$ e derivando diretamente em relação a $t$ .

Observação 2.3.1.(Variações de notação)

Há uma variedade de notações que podemos usar para expressar a regra da cadeia. Por exemplo, para $z=f(x,y)$ , $x=x(t)$ e $y=y(t)$ , podemos escrever

	$\displaystyle\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{% \partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$		(2.164)
	$\displaystyle\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{% \partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$		(2.165)
	$\displaystyle\frac{df}{dt}=f_{x}x^{\prime}(t)+f_{y}y^{\prime}(t)$		(2.166)

ou combinações dessas notações.

2.3.1 Regra da cadeia para derivadas parciais

Sejam $z=f(x,y)$ , $x=x(u,v)$ e $y=y(u,v)$ funções de duas variáveis. A regra da cadeia para derivadas parciais é

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{% \partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u},$		(2.168)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{% \partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.$		(2.169)

Exemplo 2.3.3.

Sejam $z=x^{2}y$ , $x=u^{2}+v^{2}$ e $y=u-v$ . Aplicando a regra da cadeia para calcular a derivada parcial de $z$ em relação a $u$ , obtemos

	$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{% \partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{% \partial u}$		(2.170)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2xy)(2u)+(x^{2})(1)$		(2.171)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2(u^{2}+v^{2})(u-v))(2u)+(u^{2}+v^{2})^{2}$		(2.172)
	$\displaystyle\text{}\quad=4u(u^{2}+v^{2})(u-v)+(u^{2}+v^{2})^{2}.$		(2.173)

Verifique o resultado substituindo $x=u^{2}+v^{2}$ e $y=u-v$ em $z=x^{2}y$ e derivando diretamente em relação a $u$ .

Ainda, podemos usar a regra da cadeia para calcular a derivada parcial de $z$ em relação a $v$ , obtendo

	$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{% \partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{% \partial v}$		(2.174)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2xy)(2v)+(x^{2})(-1)$		(2.175)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2(u^{2}+v^{2})(u-v))(2v)+(u^{2}+v^{2})^{2}(-1)$		(2.176)
	$\displaystyle\text{}\quad=4v(u^{2}+v^{2})(u-v)-(u^{2}+v^{2})^{2}.$		(2.177)

Verifique o resultado substituindo $x=u^{2}+v^{2}$ e $y=u-v$ em $z=x^{2}y$ e derivando diretamente em relação a $v$ .

Por raciocínio análogo, a regra da cadeia para derivadas parciais de uma função $w=f(x,y,z)$ , com $x=x(u,v)$ , $y=y(u,v)$ e $z=z(u,v)$ , é

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \frac{\partial w}{\partial u}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{% \partial u}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{% \partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u},$		(2.178)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \frac{\partial w}{\partial v}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{% \partial v}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{% \partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v}.$		(2.179)

Exemplo 2.3.4.

Sejam $w=e^{xyz}$ , $x=u+2v$ , $y=u-v$ e $z=2u+v$ . Aplicando a regra da cadeia para calcular a derivada parcial de $w$ em relação a $u$ , obtemos

	$\displaystyle\frac{\partial w}{\partial u}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{% \partial x}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{% \partial u}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}$		(2.180)
	$\displaystyle\text{}\quad=(yze^{xyz})(1)+(xze^{xyz})(1)+(xye^{xyz})(2)$		(2.181)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[(u-v)(2u+v)+(u+2v)(2u+v)\right.$
	$\displaystyle\text{}\qquad\left.+2(u+2v)(u-v)\right]e^{(u+2v)(u-v)(2u+v)}.$		(2.182)

Verifique o resultado substituindo $x=u+2v$ , $y=u-v$ e $z=2u+v$ em $w=e^{xyz}$ e derivando diretamente em relação a $u$ .

De forma análoga, podemos usar a regra da cadeia para calcular a derivada parcial de $w$ em relação a $v$ . Verifique!

Não é necessário que as funções $x$ , $y$ e $z$ dependam das mesmas variáveis. Por exemplo, podemos ter $x$ variável independente, $y=y(x)$ função de $x$ . Neste caso, a regra da cadeia para a derivada parcial de $z=f(x,y)$ em relação a $x$ é

	$\displaystyle\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{% \partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx}$		(2.183)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{% \partial y}\frac{dy}{dx}.$		(2.184)

Exemplo 2.3.5.

Sejam $z=x^{2}y+e^{xy}$ e $y=\operatorname{sen}(x)$ . Aplicando a regra da cadeia para calcular a derivada parcial de $z$ em relação a $x$ , obtemos

	$\displaystyle\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{% \partial y}\frac{dy}{dx}$		(2.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2xy+ye^{xy})+(x^{2}+xe^{xy})\cos(x)$		(2.186)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2x\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(x)e^{x% \operatorname{sen}(x)})+(x^{2}+xe^{x\operatorname{sen}(x)})\cos(x).$		(2.187)

2.3.2 Derivação implícita

Uma aplicação da regra da cadeia é a derivação de funções definidas implicitamente. Por exemplo, suponha que a equação

\displaystyle f(x,y)=0

(2.188)

defina $y$ como uma função de $x$ . Então, derivando ambos os lados da equação em relação a $x$ , temos

	$\displaystyle\frac{d}{dx}f(x,y)=0$		(2.189)
	$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{% dy}{dx}=0.$		(2.190)

E, quando $\partial f/\partial y\neq 0$ , podemos isolar $dy/dx$ , obtendo

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y% }}.

(2.191)

Exemplo 2.3.6.

Vamos determinar o ângulo de inclinação da reta tangente à circunferência $x^{2}+y^{2}=1$ no ponto $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ . A equação da circunferência pode ser escrita como

\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0,

(2.192)

e define implicitamente $y$ como uma função de $x$ . Derivando ambos os lados da equação em relação a $x$ , temos

	$\displaystyle\frac{d}{dx}f(x,y)=0$		(2.193)
	$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{% dy}{dx}=0$		(2.194)
	$\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=0$		(2.195)
	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.$		(2.196)

Avaliando a derivada no ponto $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ , temos

	$\displaystyle\frac{dy}{dx}\Big{\|}_{(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})}=-\frac{% \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$		(2.197)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$		(2.198)

O ângulo de inclinação da reta tangente à circunferência no ponto $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ é

\displaystyle\theta=\arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi}{6}.

(2.199)

Assumimos, agora, que a equação

\displaystyle f(x,y,z)=0

(2.200)

define $z$ como uma função de $x$ e $y$ . Então, a derivada parcial de $z$ em relação a $x$ pode ser calculada como segue

	$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}f(x,y,z)=0$		(2.201)
	$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{% \partial z}{\partial x}=0$		(2.202)
	$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x% }}{\frac{\partial f}{\partial z}},$		(2.203)

quando $\partial f/\partial z\neq 0$ . De forma análoga, a derivada parcial de $z$ em relação a $y$ é

\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial y% }}{\frac{\partial f}{\partial z}},

(2.204)

quando $\partial f/\partial z\neq 0$ . Verifique!

Exemplo 2.3.7.

Seja a equação da elipsoide $4x^{2}+9y^{2}+36z^{2}=36$ . A derivada parcial de $z$ em relação a $x$ é

	$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(4x^{2}+9y^{2}+36z^{2}-36)=0$		(2.205)
	$\displaystyle 8x+72z\frac{\partial z}{\partial x}=0$		(2.206)
	$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{8x}{72z}=-\frac{x}{9z}.$		(2.207)

A derivada parcial de $z$ em relação a $y$ é

\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{18y}{72z}=-\frac{y}{4z}.

(2.208)

Verifique!

2.3.3 Exercícios

E. 2.3.1.

Sejam $z=xy^{2}$ , $x=t^{3}$ e $y=t^{2}$ . Calcule $\frac{dz}{dt}$ usando a regra da cadeia.

$\frac{dz}{dt}=7t^{6}$

E. 2.3.2.

Sejam

\displaystyle w=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},

(2.209)

com $x=\cos(\theta)$ , $y=\operatorname{sen}(\theta)$ e $z=\operatorname{tg}(\theta)$ . Use a regra da cadeia para calcular $dw/d\theta$ no ponto $\theta=\pi/6$ .

$\frac{dw}{d\theta}\Big{|}_{\theta=\pi/6}=\frac{4}{3}$

E. 2.3.3.

Sejam $z=xe^{-xy}$ , $x=u-2v$ e $y=3uv$ . Use a regra da cadeia para calcular $\frac{\partial z}{\partial u}$ e $\frac{\partial z}{\partial v}$ .

$\frac{\partial z}{\partial u}=(-6v(u-2v)(u-v)+1)e^{-3uv(u-2v)}$

$\frac{\partial z}{\partial v}=(3u(4v-u)(u-2v)-2)e^{-3uv(u-2v)}$

E. 2.3.4.

Sejam $w=x^{2}y+yz$ , $x=u+v$ , $y=u-2v$ e $z=u/v$ . Use a regra da cadeia para calcular $\frac{\partial w}{\partial u}$ e $\frac{\partial w}{\partial v}$ .

$\frac{\partial w}{\partial u}=2u^{2}+2\frac{u}{v}-3v^{2}-2$ , $\frac{\partial w}{\partial v}=-\frac{u^{2}}{v^{2}}-6uv-6v^{2}$

E. 2.3.5.

Sejam $z=x^{2}-y^{2}+z^{2}$ , com $x=\rho\operatorname{sen}(\phi)\cos(\theta)$ , $y=\rho\operatorname{sen}(\phi)\operatorname{sen}(\theta)$ e $z=\rho\cos(\phi)$ . Use a regra da cadeia para calcular $\frac{\partial z}{\partial\rho}$ , $\frac{\partial z}{\partial\phi}$ e $\frac{\partial z}{\partial\theta}$ .

$\frac{\partial z}{\partial\rho}=-4\rho\operatorname{sen}^{2}(\phi)% \operatorname{sen}^{2}(\theta)+2\rho$ , $\frac{\partial z}{\partial\phi}=2\rho^{2}(\cos(2\theta)-1)\operatorname{sen}(% \phi)\cos(\phi)$ , $\frac{\partial z}{\partial\theta}=-4\rho^{2}\operatorname{sen}^{2}(\phi)% \operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta)$

E. 2.3.6.

Sejam $w=xz+xyz$ , $y=\cos(x)$ , $z=e^{-x}$ . Use a regra da cadeia para calcular $\frac{dw}{dx}$ .

$\frac{dw}{dx}=-xe^{-x}\operatorname{sen}(x)-xe^{-x}\cos(x)-xe^{-x}+e^{-x}\cos(% x)+e^{-x}$

E. 2.3.7.

Dada a equação

\displaystyle x^{2}+yx^{3}-3=0,

(2.211)

calcule $\frac{dy}{dx}$ usando derivação implícita.

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+3x^{2}y}{x^{3}}$

E. 2.3.8.

Dada a equação

\displaystyle x^{2}-y^{2}=1-z^{2},

(2.212)

calcule $\frac{\partial z}{\partial x}$ e $\frac{\partial z}{\partial y}$ usando derivação implícita.

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{z}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{z}$

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Cálculo II

2.3 Regra da cadeia

Exemplo 2.3.1.

Exemplo 2.3.2.

Observação 2.3.1.(Variações de notação)

2.3.1 Regra da cadeia para derivadas parciais

Exemplo 2.3.3.

Exemplo 2.3.4.

Exemplo 2.3.5.

2.3.2 Derivação implícita

Exemplo 2.3.6.

Exemplo 2.3.7.

2.3.3 Exercícios

E. 2.3.1.

E. 2.3.2.

E. 2.3.3.

E. 2.3.4.

E. 2.3.5.

E. 2.3.6.

E. 2.3.7.

E. 2.3.8.

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