Cálculo II

2 Derivadas 2.3 Regra da cadeia 2.5 Máximos e mínimos

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2.4 Derivada direcional e gradiente

2.4.1 Derivadas direcionais

As derivadas parciais de uma função $f(x,y)$ nos dão a taxa de variação da função em relação a cada uma das variáveis independentes. Aqui, vamos generalizar o conceito de derivada para uma direção arbitrária. Consultemos a Figura 2.4.

Refer to caption — Figura 2.4: Derivada direcional de $f$ na direção de $\bm{u}$ .

Sejam $f(x,y)$ uma função de duas variáveis e $\bm{u}=u_{1}\bm{i}+u_{2}\bm{j}$ um vetor unitário. A derivada direcional de $f$ na direção e sentido de $\bm{u}$ é definida por

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% D_{\bm{u}}f(x,y)=\lim_{s\to 0}\frac{f(x+su_{1},y+su_{2})-f(x,y)}{s}$		(2.213)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=\frac{d}{ds}f(x+su_{1},y+su_{2})\Big{\|}_{s=0}.$		(2.214)

Geometricamente, a derivada direcional de $f$ na direção de $\bm{u}$ e no ponto $(x_{0},y_{0})$ é a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície $z=f(x,y)$ com o plano que contém o ponto $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ e é paralelo ao vetor $\bm{u}$ . Consultemos novamente a Figura 2.4. Conceitualmente, é a taxa de variação instantânea da função $f$ na direção e sentido do vetor $\bm{u}$ .

Exemplo 2.4.1.

Sejam $f(x,y)=2-x^{2}-y^{2}$ e o vetor unitário $\bm{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}\bm{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\bm{j}$ . Vamos calcular a derivada direcional de $f$ na direção de $\bm{u}$ no ponto $(1,1)$ . Temos

	$\displaystyle D_{\bm{u}}f(1,1)=\left.\frac{d}{ds}\left[f\left(1+s\frac{\sqrt{2% }}{2},1+s\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]\right\|_{s=0}$		(2.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{ds}\left[2-\left(1+s\frac{\sqrt{2}}{2% }\right)^{2}-\left(1+s\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\right]\right\|_{s=0}$		(2.216)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{ds}\left[2-2\left(1+s\frac{\sqrt{2}}{% 2}\right)^{2}\right]\right\|_{s=0}$		(2.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.-2\sqrt{2}\left(1+s\frac{\sqrt{2}}{2}\right)% \right\|_{s=0}$		(2.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\sqrt{2}.$		(2.219)

Se $f$ for diferenciável no ponto $(x_{0},y_{0})$ , podemos calcular a derivada direcional de $f$ na direção de $\bm{u}$ usando a regra da cadeia. De fato, temos $f(x,y)=f(x(s),y(s))$ , com $x(s)=x_{0}+su_{1}$ e $y(s)=y_{0}+su_{2}$ . Aplicando a regra da cadeia, temos

	$\displaystyle D_{\bm{u}}f(x_{0},y_{0})=\frac{df}{ds}\Big{\|}_{s=0}$		(2.220)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{ds}+\frac{% \partial f}{\partial y}\frac{dy}{ds}\Big{\|}_{s=0}$		(2.221)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial f}{\partial x}u_{1}+\frac{\partial f}% {\partial y}u_{2}\Big{\|}_{(x_{0},y_{0})}.$		(2.222)

Para um ponto arbitrário, concluímos que

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% D_{\bm{u}}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}u_{1}+\frac{\partial f}{\partial y% }u_{2}.

(2.223)

Exemplo 2.4.2.

Voltando ao exemplo anterior, vamos calcular a derivada direcional de $f(x,y)=2-x^{2}-y^{2}$ na direção de $\bm{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}\bm{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\bm{j}$ no ponto $(1,1)$ usando (2.223). Temos

	$\displaystyle D_{\bm{u}}f(x,y)=f_{x}(x,y)u_{1}+f_{y}(x,y)u_{2}$		(2.224)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-2x)\frac{\sqrt{2}}{2}+(-2y)\frac{\sqrt{2}}{2}$		(2.225)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\sqrt{2}(x+y).$		(2.226)

Avaliando no ponto $(1,1)$ , temos

\displaystyle D_{\bm{u}}f(1,1)=-\sqrt{2}(1+1)=-2\sqrt{2},

(2.227)

que é o resultado esperado.

Para uma função $f(x,y,z)$ , definimos a derivada direcional de $f$ na direção e sentido de um vetor unitário $\bm{u}=u_{1}\bm{i}+u_{2}\bm{j}+u_{3}\bm{k}$ como

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% D_{\bm{u}}f(x,y,z)=f_{x}(x,y,z)u_{1}+f_{y}(x,y,z)u_{2}+f_{z}(x,y,z)u_{3}.

(2.228)

A generalização para funções de mais variáveis segue o mesmo raciocínio.

Exemplo 2.4.3.

Vamos calcular a derivada direcional de $f(x,y,z)=x^{2}y-e^{-xy}+z^{2}$ na direção e sentido de $\bm{v}=\bm{i}-2\bm{j}+2\bm{k}$ . Primeiro, vamos normalizar o vetor $\bm{v}$ , obtendo

	$\displaystyle\bm{u}=\frac{\bm{v}}{\\|\bm{v}\\|}$		(2.229)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\bm{i}-2\bm{j}+2\bm{k}}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2% ^{2}}}$		(2.230)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\bm{i}-\frac{2}{3}\bm{j}+\frac{2}{3}\bm{k}.$		(2.231)

Por fim, calculamos a derivada direcional de $f$ na direção e sentido de $\bm{u}$ , obtendo

	$\displaystyle D_{\bm{u}}f(x,y,z)=f_{x}(x,y,z)u_{1}+f_{y}(x,y,z)u_{2}+f_{z}(x,y% ,z)u_{3}$		(2.232)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2xy+ye^{-xy})\frac{1}{3}+(x^{2}+xe^{-xy})\left(-% \frac{2}{3}\right)+2z\left(\frac{2}{3}\right)$		(2.233)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}(2xy+ye^{-xy})-\frac{2}{3}(x^{2}+xe^{-xy}% )+\frac{4}{3}z$		(2.234)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}xy+\frac{1}{3}ye^{-xy}-\frac{2}{3}x^{2}-% \frac{2}{3}xe^{-xy}+\frac{4}{3}z$		(2.235)

2.4.2 Gradiente

Definimos o gradiente de uma função $f(x,y)$ como o vetor

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \nabla f(x,y)=f_{x}(x,y)\bm{i}+f_{y}(x,y)\bm{j}.

(2.237)

Exemplo 2.4.4.

Seja $f(x,y)=2-x^{2}-y^{2}$ . O gradiente de $f$ é

	$\displaystyle\nabla f(x,y)=f_{x}(x,y)\bm{i}+f_{y}(x,y)\bm{j}$		(2.238)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-2x)\bm{i}+(-2y)\bm{j}$		(2.239)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2x\bm{i}-2y\bm{j}.$		(2.240)

Observemos que a derivada direcional de $f$ na direção e sentido de um vetor unitário $\bm{u}$ pode ser escrita como o produto escalar do gradiente de $f$ com o vetor $\bm{u}$ , i.e.,

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% D_{\bm{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\bm{u}.

(2.241)

Exemplo 2.4.5.

Vamos calcular a derivada direcional de $f(x,y)=2-x^{2}-y^{2}$ na direção e sentido de $\bm{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}\bm{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\bm{j}$ . Temos que o gradiente de $f$ é

\displaystyle\nabla f(x,y)=-2x\bm{i}-2y\bm{j}.

(2.242)

Então, a derivada direcional de $f$ na direção e sentido de $\bm{u}$ é

	$\displaystyle D_{\bm{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\bm{u}$		(2.243)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-2x\bm{i}-2y\bm{j})\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\bm% {i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\bm{j}\right)$		(2.244)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y$		(2.245)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\sqrt{2}(x+y).$		(2.246)

Para funções de mais variáveis, definimos o gradiente de forma análoga. Por exemplo, para uma função $f(x,y,z)$ , definimos o gradiente de $f$ como

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \nabla f(x,y,z)=f_{x}(x,y,z)\bm{i}+f_{y}(x,y,z)\bm{j}+f_{z}(x,y,z)\bm{k}.

(2.247)

Exemplo 2.4.6.

O gradiente de $f(x,y,z)=x^{2}y-e^{-xy}+z^{2}$ é

	$\displaystyle\nabla f(x,y,z)=f_{x}(x,y,z)\bm{i}+f_{y}(x,y,z)\bm{j}+f_{z}(x,y,z% )\bm{k}$		(2.248)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2xy+ye^{-xy})\bm{i}+(x^{2}+xe^{-xy})\bm{j}+(2z)\bm{% k}.$		(2.249)

2.4.3 Propriedades do gradiente

O gradiente de uma função $f(x,y)$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ é um vetor que aponta na direção e sentido de maior crescimento da função $f$ neste ponto. Consultemos a Figura 2.5.

De fato, temos que a derivada direcional de $f$ na direção e sentido de um vetor unitário $\bm{u}$ é

	$\displaystyle D_{\bm{u}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\bm{u}$		(2.250)
	$\displaystyle\text{}\quad=\\|\nabla f(x_{0},y_{0})\\|\\|\bm{u}\\|\cos(\theta)$		(2.251)
	$\displaystyle\text{}\quad=\\|\nabla f(x_{0},y_{0})\\|\cos(\theta),$		(2.252)

onde $\theta$ é o ângulo entre o vetor $\nabla f(x_{0},y_{0})$ e o vetor $\bm{u}$ . A derivada direcional de $f$ é máxima quando $\theta=0$ , i.e., quando $\bm{u}$ tem a mesma direção e sentido do vetor $\nabla f(x_{0},y_{0})$ . Neste caso, a derivada direcional de $f$ é

\displaystyle D_{\bm{u}}f(x_{0},y_{0})=\|\nabla f(x_{0},y_{0})\|.

(2.253)

Por argumentação análoga, temos as seguintes propriedades do gradiente de uma função $f$ :

a)

Se $\nabla f=\bm{0}$ em $P(x,y)$ , então todas as derivadas direcionais de $f$ são nulas neste ponto.
b)

Se $\nabla f\neq\bm{0}$ em $P(x,y)$ , então, neste ponto, a derivada direcional de $f$ é máxima na direção e sentido do vetor $\nabla f$ .
c)

Se $\nabla f\neq\bm{0}$ em $P(x,y)$ , então, neste ponto, a derivada direcional de $f$ é mínima na direção e sentido opostos ao vetor $\nabla f$ .

Exemplo 2.4.7.

Seja $f(x,y)=xy-e^{-xy}$ . Vamos determinar a direção e sentido de maior crescimento da função $f$ no ponto $(1,0)$ e calcularemos a inclinação da superfície $z=f(x,y)$ nesta direção e sentido.

A direção e sentido de maior crescimento da função $f$ no ponto $(1,0)$ é dada pelo vetor gradiente de $f$ neste ponto. Calculamos o gradiente de $f$

	$\displaystyle\nabla f(x,y)=f_{x}(x,y)\bm{i}+f_{y}(x,y)\bm{j}$		(2.254)
	$\displaystyle\text{}\quad=(y+ye^{-xy})\bm{i}+(x+xe^{-xy})\bm{j}.$		(2.255)

Avaliando o gradiente no ponto $(1,0)$ , temos

\displaystyle\nabla f(1,0)=0\bm{i}+2\bm{j}=2\bm{j}.

(2.256)

A inclinação da superfície $z=f(x,y)$ na direção e sentido do gradiente é a norma do vetor gradiente neste ponto, i.e.,

\displaystyle\|\nabla f(1,0)\|=\|2\bm{j}\|=2.

(2.257)

Outra propriedade importante é que os gradientes são normais às curvas de nível de uma função. Consultemos a Figura 2.6.

De fato, seja $f(x,y)$ uma função diferenciável e $C$ a curva de nível de $f$ definida por

\displaystyle f(x,y)=k,

(2.258)

com $k$ constante. Derivando ambos os lados da equação em relação a $x$ , temos

	$\displaystyle\frac{d}{dx}f(x,y)=0$		(2.259)
	$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{% dy}{dx}=0$		(2.260)
	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{% \partial f}{\partial y}}.$		(2.261)

O vetor tangente à curva de nível $C$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ é dado por

	$\displaystyle\bm{t}=\bm{i}+\frac{dy}{dx}\Big{\|}_{(x_{0},y_{0})}\bm{j}$		(2.262)
	$\displaystyle\text{}\quad=\bm{i}-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{% \partial f}{\partial y}}\Big{\|}_{(x_{0},y_{0})}\bm{j}.$		(2.263)

O vetor gradiente de $f$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ é

\displaystyle\nabla f(x_{0},y_{0})=\frac{\partial f}{\partial x}\Big{|}_{(x_{0% },y_{0})}\bm{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\Big{|}_{(x_{0},y_{0})}\bm{j}.

(2.264)

Calculando o produto escalar entre o vetor tangente à curva de nível $C$ e o vetor gradiente de $f$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ , temos

\displaystyle\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\bm{t}=\frac{\partial f}{\partial x}% \Big{|}_{(x_{0},y_{0})}-\frac{\partial f}{\partial x}\Big{|}_{(x_{0},y_{0})}=0.

(2.265)

2.4.4 Exercícios

E. 2.4.1.

Calcule a derivada direcional de $f(x,y)=x^{2}+2xy-y^{2}$ na direção e sentido de $\bm{v}=3\bm{i}+4\bm{j}$ no ponto $(1,-1)$ .

$D_{\bm{u}}f(1,-1)=\frac{16}{5}$

E. 2.4.2.

Seja $f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2})$ .

a)

Calcule o gradiente de $f$ no ponto $(1,2)$ .
b)

Calcule a derivada direcional de $f$ na direção e sentido de $\bm{v}=\bm{i}-\bm{j}$ no ponto $(1,2)$ .

a) $\nabla f(1,2)=\frac{2}{5}\bm{i}+\frac{4}{5}\bm{j}$ . b) $D_{\bm{u}}f(1,2)=-\frac{\sqrt{2}}{5}$ .

E. 2.4.3.

Calcule o gradiente de $f(x,y,z)=x^{2}yz$ e a derivada direcional de $f$ na direção e sentido de $\bm{v}=\bm{i}-2\bm{j}+2\bm{k}$ no ponto $(2,1,-1)$ .

$\nabla f(2,1,-1)=-4\bm{i}-4\bm{j}+4\bm{k}$ . $D_{\bm{u}}f(2,1,-1)=4$ .

E. 2.4.4.

Seja $f(x,y)=x^{2}y+y^{3}$ .

a)

Determine a direção e sentido de maior crescimento de $f$ no ponto $(1,2)$ .
b)

Calcule a taxa máxima de crescimento de $f$ neste ponto.
c)

Determine a direção e sentido de menor crescimento de $f$ no ponto $(1,2)$ .

a) $\nabla f(1,2)=4\bm{i}+13\bm{j}$ . b) $-\nabla f(1,2)=-4\bm{i}-13\bm{j}$ .

E. 2.4.5.

Seja $f(x,y)=x^{2}-xy+y^{2}$ . Considere a curva de nível de $f$ que passa pelo ponto $(1,1)$ .

a)

Determine a curva de nível.
b)

Calcule o gradiente de $f$ no ponto $(1,1)$ .
c)

Determine o vetor tangente à curva de nível no ponto $(1,1)$ e verifique que ele é ortogonal ao gradiente.

a) $x^{2}-xy+y^{2}=1$ . b) $\nabla f(1,1)=\bm{i}+\bm{j}$ . c) $\bm{t}=\bm{i}-\bm{j}$ . De fato, $\nabla f(1,1)\cdot\bm{t}=0$ .

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