Cálculo II

2 Derivadas 2.1 Derivadas parciais 2.3 Regra da cadeia

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2.2 Diferenciais e aproximações lineares

2.2.1 Plano tangente

Seja $z=f(x,y)$ . Definimos o plano tangente à superfície $z=f(x,y)$ no ponto $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ como

\displaystyle z=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})+f(x_{0% },y_{0}).

(2.108)

A Figura 2.3 ilustra o plano tangente à superfície $z=f(x,y)$ no ponto $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ .

Refer to caption — Figura 2.3: Plano tangente à superfície $z=f(x,y)$ no ponto $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ .

O plano tangente é o plano determinado pelas retas tangentes à superfície $z=f(x,y)$ na direção do eixo $x$ e na direção do eixo $y$ no ponto $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ . De fato, a reta tangente à superfície $z=f(x,y)$ na direção do eixo $x$ no ponto $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ tem equação

\displaystyle z=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f(x_{0},y_{0}),y=y_{0},

(2.109)

e a reta tangente à superfície $z=f(x,y)$ na direção do eixo $y$ neste mesmo ponto tem equação

\displaystyle z=f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})+f(x_{0},y_{0}),x=x_{0}.

(2.110)

Lembremos que um plano fica determinado por seus vetores diretores e por um ponto de ancoragem. Com isso, escolhendo

	$\displaystyle\vec{u}=(x-x_{0},0,f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x0)),$		(2.111)
	$\displaystyle\vec{v}=(0,y-y_{0},f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y0)).$		(2.112)

e $A(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})$ como um ponto de ancoragem do plano, temos a equação do plano fica determinada por

\displaystyle[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]=0,

(2.113)

onde $P(x,y,z)$ é um ponto qualquer do plano e $[\cdot,\cdot,\cdot]$ é o produto misto de vetores. Calculamos

	$\displaystyle 0=\begin{bmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-f(x_{0},y_{0})\\ x-x_{0}&0&f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})\\ 0&y-y_{0}&f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})\end{bmatrix}$		(2.114)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-x_{0})(y-y_{0})(z-f(x_{0},y_{0}))-(x-x_{0})^{2}(y% -y_{0})f_{x}(x_{0},y_{0})$
	$\displaystyle\text{}\qquad-(x-x_{0})(y-y_{0})^{2}f_{y}(x_{0},y_{0})$		(2.115)
	$\displaystyle\text{}\quad=z-f(x_{0},y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})-f_{y}(x% _{0},y_{0})(y-y_{0}),$		(2.116)

donde concluímos que a equação do plano tangente é dada por (2.108).

Exemplo 2.2.1.(Plano tangente)

Seja $f(x,y)=-x^{2}-y^{2}+2$ . A derivada parcial de $f$ em relação a $x$ é $f_{x}(x,y)=-2x$ e a derivada parcial de $f$ em relação a $y$ é $f_{y}(x,y)=-2y$ . No ponto $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ , temos

	$\displaystyle f_{x}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=-2\left(\frac{1}{2}% \right)=-1,$		(2.117)
	$\displaystyle f_{y}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=-2\left(\frac{1}{2}% \right)=-1,$		(2.118)
	$\displaystyle f\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=-\left(\frac{1}{2}\right)^% {2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2=\frac{3}{2}.$		(2.119)

Portanto, o plano tangente à superfície $z=f(x,y)$ no ponto $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2})$ é

\displaystyle z=-1\left(x-\frac{1}{2}\right)-1\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac% {3}{2}.

(2.120)

Assim, temos que o plano tangente a superfície $z=f(x,y)$ no ponto $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2})$ é

\displaystyle z=-x-y+\frac{5}{2}.

(2.121)

Verifique!

2.2.2 Linearização

A linearização de uma função $f(x,y)$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ é a função linear

\displaystyle L(x,y)=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})+f% (x_{0},y_{0}),

(2.122)

i.e., a função que representa o plano tangente à superfície $z=f(x,y)$ no ponto $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ . Voltando a Figura 2.3, temos lá que o plano tangente à superfície é a representação gráfica da linearização de $f$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ . Vamos denotar o erro em se aproximar $f(x,y)$ por $L(x,y)$ por $\varepsilon=L(x,y)-f(x,y)$ .

Exemplo 2.2.2.(Linearização)

Seja $f(x,y)=-x^{2}-y^{2}+2$ . A linearização de $f$ no ponto $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ é

	$\displaystyle L(x,y)=f_{x}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}% {2}\right)+f_{y}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)% +f\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$		(2.123)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1\left(x-\frac{1}{2}\right)-1\left(y-\frac{1}{2}% \right)+\frac{3}{2}$		(2.124)

Donde concluímos que $L(x,y)=-x-y+\frac{5}{2}$ . A Tabela 2.1 apresenta um estudo do comportamento do erro $\varepsilon$ em se aproximar $f(x,y)$ por sua linearização $L(x,y)$ .

Tabela 2.1: Estudo do erro em se aproximar

f(x,y)=-x^{2}-y^{2}+2

por sua linearização

L(x,y)

no ponto

(x_{0},y_{0})=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})

. A distância entre

(x,y)

(x_{0},y_{0})

é denotada por

h

$x$	$y$	$h$	$f(x,y)$	$L(x,y)$	$\|\varepsilon\|$
2.00	2.00	2.12	-6.00	-1.50	4.50
1.00	1.00	0.71	0.00	0.50	0.50
0.75	0.75	0.35	0.87	1.00	0.13
0.60	0.60	0.14	1.28	1.30	0.02
0.50	0.50	0.00	1.50	1.50	0.00

2.2.3 Diferenciabilidade

Dizemos que uma função $z=f(x,y)$ é diferenciável no ponto $(x_{0},y_{0})$ quando existem as derivadas parciais $f_{x}(x_{0},y_{0})$ e $f_{y}(x_{0},y_{0})$ e

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x-f_% {y}(x_{0},y_{0})\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0,

(2.125)

com $\Delta z=f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})$ , $\Delta x=x-x_{0}$ e $\Delta y=y-y_{0}$ .

Exemplo 2.2.3.

Vamos verificar se $f(x,y)=-x^{2}-y^{2}+2$ é diferenciável no ponto $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ . Temos que

	$\displaystyle f_{x}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=-1,$		(2.126)
	$\displaystyle f_{y}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=-1,$		(2.127)
	$\displaystyle f\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}.$		(2.128)

Agora, calculando o limite

	$\displaystyle\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-f_{x}(\frac{1}{2% },\frac{1}{2})\Delta x-f_{y}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\Delta y}{\sqrt{(\Delta x% )^{2}+(\Delta y)^{2}}}$		(2.129)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{f(\frac{1}{2% }+\Delta x,\frac{1}{2}+\Delta y)-f(\frac{1}{2},\frac{1}{2})+\Delta x+\Delta y}% {\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$		(2.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{-\left(\frac% {1}{2}+\Delta x\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}+\Delta y\right)^{2}+2-\frac{3}{2}% +\Delta x+\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$		(2.131)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{-\frac{1}{4}% -\Delta x-(\Delta x)^{2}-\frac{1}{4}-\Delta y-(\Delta y)^{2}+2-\frac{3}{2}+% \Delta x+\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$		(2.132)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{-(\Delta x)^% {2}-(\Delta y)^{2}}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$		(2.133)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}-\sqrt{(\Delta x)^% {2}+(\Delta y)^{2}}=0.$		(2.134)

Portanto, $f(x,y)=-x^{2}-y^{2}+2$ é diferenciável no ponto $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ .

Observação 2.2.1.(Funções diferenciáveis de várias variáveis)

A definição de diferenciabilidade de uma função de várias variáveis é uma generalização da definição acima (2.125). Por exemplo, uma função $f(x,y,z)$ é diferenciável no ponto $(x_{0},y_{0},z_{0})$ quando existem as derivadas parciais $f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})$ , $f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})$ e $f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})$ e

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \lim_{(\Delta x,\Delta y,\Delta z)\to(0,0,0)}\left[\Delta w-f_{x}(x_{0},y_{0},% z_{0})\Delta x-f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})\Delta y\right.$
	$\displaystyle\text{}\qquad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}\left.-f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})\Delta z\right]\frac{1}{\sqrt{(% \Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}=0,$		(2.135)

com $\Delta w=f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y,z_{0}+\Delta z)-f(x_{0},y_{0},z_{0})$ , $\Delta x=x-x_{0}$ , $\Delta y=y-y_{0}$ e $\Delta z=z-z_{0}$ .

Uma função é dita ser diferenciável em toda parte (de seu domínio) quando ela é diferenciável em todos os pontos de seu domínio. Por exemplo, a função $f(x,y)=-x^{2}-y^{2}+2$ é diferenciável em toda parte. Verifique!

Teorema 2.2.1.(Diferenciabilidade e continuidade)

Se uma função $f(x,y)$ é diferenciável em um ponto $(x_{0},y_{0})$ , então ela é contínua nesse ponto.

Demonstração.

Consultemos o E.2.2.6. ∎

Exemplo 2.2.4.(Contra-exemplo)

A recíproca do Teorema 2.2.1 não é verdadeira. Por exemplo, a função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ é contínua no ponto $(0,0)$ (verifique!), mas não é diferenciável nesse ponto. De fato, temos que

	$\displaystyle f_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},$		(2.136)
	$\displaystyle f_{y}(0,0)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},$		(2.137)

sendo que $f_{x}(0,0)$ e $f_{y}(0,0)$ não existem. Portanto, $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ não é diferenciável no ponto $(0,0)$ .

Teorema 2.2.2.

Se todas as derivadas parciais de primeira ordem de uma função $f(x,y)$ são contínuas em um ponto $(x_{0},y_{0})$ , então $f$ é diferenciável nesse ponto.

Demonstração.

A demonstração deste teorema foge do escopo destas notas de aula. Para a demonstração, consulte [2]. ∎

Exemplo 2.2.5.

A função

\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}y+e^{yz}+z^{3}

(2.138)

é diferenciável em toda parte, pois suas derivadas parciais de primeira ordem são

	$\displaystyle f_{x}(x,y,z)=2xy,$		(2.139)
	$\displaystyle f_{y}(x,y,z)=x^{2}+ze^{yz},$		(2.140)
	$\displaystyle f_{z}(x,y,z)=ye^{yz}+3z^{2},$		(2.141)

que são funções contínuas em toda parte (verifique!).

2.2.4 Diferenciais

Motivadas/os pelo que vimos até aqui nesta seção, definimos a diferencial total de uma função $f(x,y)$ por

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% dz=f_{x}(x,y)dx+f_{y}(x,y)dy,

(2.142)

onde $d x$ e $d y$ são incrementos infinitesimais de $x$ e $y$ , respectivamente.

Uma aplicação da diferencial total é a estimativa de variação de uma função, i.e., $\Delta z\approx dz$ .

Exemplo 2.2.6.(Estimativa de variação)

Seja $V=a^{2}h$ o volume de um paralelepípedo de base quadrada de lado $a$ e altura $h$ . A diferencial total de $V$ é

\displaystyle dV=2ah\,da+a^{2}\,dh.

(2.143)

Suponha que $a=2\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ e $h=5\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ . Se $a$ aumenta $0.01\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ e $h$ aumenta $0.02\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ , então a variação estimada do volume é

\displaystyle dV=2(2)(5)(0,01)+(2)^{2}(0,02)=0,2+0,08=0,28\leavevmode\nobreak% \ \text{m}^{3}.

(2.144)

Observemos que o valor real da variação do volume é

	$\displaystyle\Delta V=V(2.01,5.02)-V(2,5)=(2.01)^{2}(5.02)-(2)^{2}(5)$		(2.145)
	$\displaystyle\text{}\quad=0,2813\leavevmode\nobreak\ \text{m}^{3}.$		(2.146)

O que é muito próximo do valor estimado pelo diferencial total $d V$ .

Para funções de várias variáveis, a diferencial total é definida de maneira análoga. Por exemplo, a diferencial total de uma função $f(x,y,z)$ é

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% dw=f_{x}(x,y,z)dx+f_{y}(x,y,z)dy+f_{z}(x,y,z)dz,

(2.147)

onde $d x$ , $d y$ e $d z$ são incrementos infinitesimais de $x$ , $y$ e $z$ , respectivamente.

2.2.5 Exercícios

E. 2.2.1.

Para cada uma das funções abaixo, determine o plano tangente à superfície $z=f(x,y)$ no ponto $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ .

a)

$f(x,y)=2x^{2}+3y^{2}$ , $(x_{0},y_{0})=(1,1)$
b)

$f(x,y)=e^{xy}$ , $(x_{0},y_{0})=(0,0)$
c)

$f(x,y)=e^{-x}\cos(\pi y)$ , $(x_{0},y_{0})=(0,1)$
d)

$f(x,y)=2x-5y+3$ , $(x_{0},y_{0})=(2,-1)$

a) $z=4x+6y-5$ . b) $z=1$ . c) $z=x-1$ . e) $z=2x-5y+3$ .

E. 2.2.2.

Para cada uma das funções abaixo, determine a linearização de $f$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ .

a)

$f(x,y)=2y-3x+1$ , $(x_{0},y_{0})=(1,2)$
b)

$f(x,y)=x^{2}y^{3}$ , $(x_{0},y_{0})=(1,1)$
c)

$f(x,y)=\ln(x^{2}y+1)$ , $(x_{0},y_{0})=(1,0)$

a) $L(x,y)=2y-3x+1$ . b) $L(x,y)=1+2(x-1)+3(y-1)$ . c) $L(x,y)=\ln(2)+\frac{y}{2}$ .

E. 2.2.3.

Em cada item abaixo, use uma linearização apropriada para estimar o valor da função no ponto indicado.

a)

$\displaystyle f(x,y)=x^{2}y+3xy^{2}$ , $f(1.01,0.99)$ ?
b)

$\displaystyle g(x,y)=\frac{x-y}{x^{2}+y}$ , $g(-2.98,1.03)$ ?

a) $f(1.01,0.99)\approx L(1+0.01,1-0.01)=3.98$ . b) $g(-2.98,1.03)\approx L(-3+0.02,1+0.03)=-0.4046$ .

E. 2.2.4.

Calcule a diferencial total de cada uma das funções abaixo.

a)

$\displaystyle f(x,y)=2x^{2}+3y^{2}$
b)

$\displaystyle g(x,y)=xe^{xy}$
c)

$\displaystyle h(x,y,z)=e^{-xy}+\operatorname{sen}(xyz)$

a) $dz=4x\,dx+6y\,dy$ . b) $dg=e^{xy}(1+xy)\,dx+x^{2}e^{xy}\,dy$ . c) $dh=(-ye^{-xy}+yz\cos(xyz))\,dx+(-xe^{-xy}+xz\cos(xyz))\,dy+(xy\cos(xyz))\,dz$ .

E. 2.2.5.

Em cada item abaixo, use da diferencial total para estimar a variação da função quando $x$ e $y$ variam de acordo com os valores indicados.

a)

$\displaystyle f(x,y)=xy^{2}+2xy^{2}$ , $x$ aumenta de $1$ para $1.01$ e $y$ diminui de $1$ para $0.99$ .
b)

$\displaystyle g(x,y)=\frac{x+y}{x^{2}+y}$ , $x$ aumenta de $2$ para $2.02$ e $y$ aumenta de $-3$ para $-2.94$ .

a) $df=0.24$ . b) $dg=0.16$ .

E. 2.2.6.(Teorema 2.2.1)

Mostre que se $f(x,y)$ é diferenciável no ponto $(x_{0},y_{0})$ , então ela é contínua nesse ponto.

Dica: basta mostrar que $\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}[f(x,y)-f(x_{0},y_{0})]=0$ .

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2.2 Diferenciais e aproximações lineares

2.2.1 Plano tangente

Exemplo 2.2.1.(Plano tangente)

2.2.2 Linearização

Exemplo 2.2.2.(Linearização)

2.2.3 Diferenciabilidade

Exemplo 2.2.3.

Observação 2.2.1.(Funções diferenciáveis de várias variáveis)

Teorema 2.2.1.(Diferenciabilidade e continuidade)

Demonstração.

Exemplo 2.2.4.(Contra-exemplo)

Teorema 2.2.2.

Demonstração.

Exemplo 2.2.5.

2.2.4 Diferenciais

Exemplo 2.2.6.(Estimativa de variação)

2.2.5 Exercícios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

E. 2.2.6.(Teorema 2.2.1)

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