Cálculo II

2 Derivadas 2.4 Derivada direcional e gradiente 2.6 Multiplicadores de Lagrange

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2.5 Máximos e mínimos

Um ponto $(x_{0},y_{0})$ é um mínimo local de uma função $f(x,y)$ se $f(x_{0},y_{0})\leq f(x,y)$ para todos os pontos $(x,y)$ em uma vizinhança aberta de $(x_{0},y_{0})$ . Analogamente, um ponto $(x_{0},y_{0})$ é um máximo local de uma função $f(x,y)$ se $f(x_{0},y_{0})\geq f(x,y)$ para todos os pontos $(x,y)$ em uma vizinhança aberta de $(x_{0},y_{0})$ . Os máximos e mínimos locais de uma função $f(x,y)$ são chamados de extremos locais¹¹1Extremos locais também são chamados de extremos relativos. de $f$ . Consultemos a Figura 2.7.

Refer to caption — Figura 2.7: O ponto $(x_{m},y_{m})$ é um mínimo local de $f(x,y)$ e o ponto $(x_{M},y_{M})$ é um máximo local de $f(x,y)$ .

Um ponto de máximo global de uma função $f(x,y)$ é um ponto $(x_{0},y_{0})$ tal que $f(x_{0},y_{0})\geq f(x,y)$ para todos os pontos do domínio de $f$ . Analogamente, um ponto de mínimo global da função é um ponto $(x_{0},y_{0})$ tal que $f(x_{0},y_{0})\leq f(x,y)$ para todos os pontos do domínio de $f$ . Pontos de máximo e mínimo global são chamados de extremos globais²²2Extremos globais também são chamados de extremos absolutos. de $f$ .

Teorema 2.5.1.(Teorema do valor extremo)

Se $f(x,y)$ é contínua em uma região fechada e limitada $R$ , então $f$ possui um máximo global e um mínimo global em $R$ .

Demonstração.

A demonstração foge aos objetivos destas notas de aula. Consulte, por exemplo, [2]. ∎

Notemos que é esperado que as retas tangentes à uma superfície suave $z=f(x,y)$ em um ponto extremo local sejam horizontais em qualquer direção. Consultemos a Figura 2.8. Tendo em vista que a derivada direcional de $f$ na direção e sentido de um vetor unitário $\bm{u}$ é dada por

\displaystyle D_{\bm{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\bm{u},

(2.266)

temos que para que as retas tangentes à superfície sejam horizontais, basta que o vetor gradiente de $f$ seja nulo no ponto extremo local.

Teorema 2.5.2.

Se $f(x,y)$ possui um extremo local em $(x_{0},y_{0})$ e se as derivadas parciais de $f$ existem neste ponto, então

	$\displaystyle f_{x}(x_{0},y_{0})=0,$		(2.267)
	$\displaystyle f_{y}(x_{0},y_{0})=0.$		(2.268)

Demonstração.

A demonstração foge aos objetivos destas notas de aula. Consulte, por exemplo, [2]. ∎

Exemplo 2.5.1.(Recíproca não é verdadeira)

Considere a função $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$ . Temos que

	$\displaystyle f_{x}(x,y)=2x,$		(2.269)
	$\displaystyle f_{y}(x,y)=-2y.$		(2.270)

O ponto $(0,0)$ satisfaz $f_{x}(0,0)=0$ e $f_{y}(0,0)=0$ , mas não é um ponto extremo local de $f$ . Trata-se de um ponto de sela, como podemos verificar na Figura 2.9.

Temos, portanto, que a condição $f_{x}(x_{0},y_{0})=0$ e $f_{y}(x_{0},y_{0})=0$ é necessária, mas não suficiente, para que $(x_{0},y_{0})$ seja um ponto extremo local de $f$ . Ainda, se uma ou ambas as derivadas parciais de $f$ não existem em $(x_{0},y_{0})$ , então $(x_{0},y_{0})$ também pode ser um ponto extremo local de $f$ .

Exemplo 2.5.2.

A função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ possui um mínimo local em $(0,0)$ , mas as derivadas parciais de $f$ não existem neste ponto. Consultemos a Figura 2.10.

Com base nas observações acima, definimos um ponto crítico de uma função $f(x,y)$ como um ponto $(x_{0},y_{0})$ tal que $f_{x}(x_{0},y_{0})=0$ e $f_{y}(x_{0},y_{0})=0$ ou tal que uma ou ambas as derivadas parciais de $f$ não existem em $(x_{0},y_{0})$ .

Teorema 2.5.3.

Se uma função $f(x,y)$ tiver um extremo global em um ponto interior de seu domínio, então este ponto é um ponto crítico de $f$ .

2.5.1 Teste da segunda derivada

O seguinte teorema fornece um teste para classificar os pontos críticos de uma função $f(x,y)$ .

Teorema 2.5.4.(Teste da segunda derivada)

Seja $f(x,y)$ uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em uma vizinhança de um ponto crítico $(x_{0},y_{0})$ . Definimos

\displaystyle D=f_{xx}(x_{0},y_{0})f_{yy}(x_{0},y_{0})-f_{xy}^{2}(x_{0},y_{0}).

(2.271)

Então, temos:

a)

Se $D>0$ e $f_{xx}(x_{0},y_{0})>0$ , então $f$ possui um mínimo local em $(x_{0},y_{0})$ .
b)

Se $D>0$ e $f_{xx}(x_{0},y_{0})<0$ , então $f$ possui um máximo local em $(x_{0},y_{0})$ .
c)

Se $D<0$ , então $(x_{0},y_{0})$ é um ponto de sela de $f$ .
d)

Se $D=0$ , o teste é inconclusivo.

Demonstração.

A demonstração foge aos objetivos destas notas de aula. Consulte, por exemplo, [2]. ∎

Exemplo 2.5.3.

Vamos localizar e classificar todos os pontos críticos da função

\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy-3x+y^{2}+3.

(2.272)

Consultemos o gráfico da superfície $z=f(x,y)$ é apresentado na Figura 2.11.

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem de $f$

	$\displaystyle f_{x}(x,y)=2x+y-3,$		(2.273)
	$\displaystyle f_{y}(x,y)=x+2y.$		(2.274)

Como ambas são contínuas, os pontos críticos são obtidos igualando as derivadas parciais a zero, obtendo o sistema

	$\displaystyle 2x+y-3=0,$		(2.275)
	$\displaystyle x+2y=0.$		(2.276)

Resolvendo o sistema, obtemos $x=2$ e $y=-1$ (verifique). Portanto, $(2,-1)$ é o único ponto crítico de $f$ . Para classificá-lo, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem de $f$

	$\displaystyle f_{xx}(x,y)=2,$		(2.277)
	$\displaystyle f_{yy}(x,y)=2,$		(2.278)
	$\displaystyle f_{xy}(x,y)=1.$		(2.279)

Avaliando no ponto crítico $(2,-1)$ , temos

	$\displaystyle D=f_{xx}(2,-1)f_{yy}(2,-1)-f_{xy}^{2}(2,-1)$		(2.280)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot 2-1^{2}=3>0.$		(2.281)

Como $D>0$ e $f_{xx}(2,-1)=2>0$ , concluímos que $f$ possui um mínimo local em $(2,-1)$ .

Exemplo 2.5.4.

Vamos localizar e classificar todos os pontos críticos da função

\displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3x-3y.

(2.282)

Consultemos o gráfico das linhas de nível dessa função na Figura 2.12.

Começamos calculando as derivadas parciais de primeira ordem de $f$

	$\displaystyle f_{x}(x,y)=3x^{2}-3,$		(2.283)
	$\displaystyle f_{y}(x,y)=3y^{2}-3.$		(2.284)

Como ambas são contínuas, os pontos críticos são obtidos igualando as derivadas parciais a zero, obtendo o sistema

	$\displaystyle 3x^{2}-3=0,$		(2.285)
	$\displaystyle 3y^{2}-3=0.$		(2.286)

Resolvendo o sistema, obtemos $x=1$ e $x=-1$ e $y=1$ e $y=-1$ (verifique). Portanto, os pontos críticos de $f$ são $(1,1)$ , $(1,-1)$ , $(-1,1)$ e $(-1,-1)$ . Para classificá-los, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem de $f$

	$\displaystyle f_{xx}(x,y)=6x,$		(2.287)
	$\displaystyle f_{yy}(x,y)=6y,$		(2.288)
	$\displaystyle f_{xy}(x,y)=0.$		(2.289)

Avaliando os pontos críticos, podemos organizar a Tabela 2.2 contendo a classificação dos pontos críticos de $f$ .

Tabela 2.2: Classificação dos pontos críticos da função

f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3x-3y

Ponto crítico	$f_{xx}$	$f_{yy}$	$D$	Classificação
$(1,1)$	6	6	36	Mínimo local
$(1,-1)$	6	-6	-36	Ponto de sela
$(-1,1)$	-6	6	-36	Ponto de sela
$(-1,-1)$	-6	-6	36	Máximo local

Exemplo 2.5.5.(Região fechada e limitada)

Vamos determinar valor máximo da função

\displaystyle f(x,y)=x^{3}-3xy^{2}

(2.290)

restrita à região fechada e limitada $R=[-1,1]\times[-1,1]$ . Consultemos o gráfico da superfície $z=f(x,y)$ é apresentado na Figura 2.13.

Primeiramente, vamos determinar os pontos críticos de $f$ nos pontos interiores da região $R$ . Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem de $f$

	$\displaystyle f_{x}(x,y)=3x^{2}-3y^{2},$		(2.291)
	$\displaystyle f_{y}(x,y)=-6xy.$		(2.292)

Como ambas são contínuas, os pontos críticos são obtidos igualando as derivadas parciais a zero, obtendo o sistema

	$\displaystyle 3x^{2}-3y^{2}=0,$		(2.293)
	$\displaystyle-6xy=0.$		(2.294)

Resolvendo o sistema, obtemos $x=0$ e $y=0$ (verifique). Portanto, $(0,0)$ é o único ponto crítico de $f$ nos pontos interiores da região $R$ . Para classificá-lo, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem de $f$

	$\displaystyle f_{xx}(x,y)=6x,$		(2.295)
	$\displaystyle f_{yy}(x,y)=-6x,$		(2.296)
	$\displaystyle f_{xy}(x,y)=-6y.$		(2.297)

Avaliando no ponto crítico $(0,0)$ , temos

	$\displaystyle D=f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)-f_{xy}^{2}(0,0)$		(2.298)
	$\displaystyle\text{}\quad=6\cdot 0\cdot(-6\cdot 0)-(-6\cdot 0)^{2}=0.$		(2.299)

Como $D=0$ , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Por outro lado, podemos observar na Figura 2.13 que $(0,0)$ é um ponto de sela de $f$ . Isto pode ser confirmado estudando o sinal de $f_{x}$ e de $f_{y}$ em uma vizinhança de $(0,0)$ (verifique).

Até aqui, podemos concluir que a função $f$ não possui extremos locais em pontos interiores da região $R$ . Como a região $R$ é fechada e limitada, o teorema do valor extremo (Teorema 2.5.1) garante que $f$ possui extremos globais em $R$ . Portanto, devemos estudar o comportamento de $f$ na fronteira da região $R$ . A fronteira de $R$ é composta por quatro segmentos de reta e vamos estudar o comportamento de $f$ em cada um deles:

a)

$y=-1$ , com $-1\leq x\leq 1$

A função $f$ restrita a este segmento de reta é

$\displaystyle g(x)=f(x,-1)=x^{3}-3x(-1)^{2}=x^{3}-3x.$ (2.300)

Os pontos extremos globais de $g$ neste segmento de reta são:

$\displaystyle x=-1:g(-1)=f(-1,-1)=2,$ (2.301)

$\displaystyle x=1:g(1)=f(1,-1)=-2,$ (2.302)

Verifique!
b)

$x=1$ , com $-1\leq y\leq 1$

A função $f$ restrita a este segmento de reta é

$\displaystyle g(y)=f(1,y)=1^{3}-3(1)y^{2}=1-3y^{2}.$ (2.304)

Os pontos extremos globais de $g$ neste segmento de reta são:

$\displaystyle y=-1ey=1:g(-1)=g(1)=-2,$ (2.305)

$\displaystyle y=0:g(0)=1,$ (2.306)

Verifique!
c)

$y=1$ , com $-1\leq x\leq 1$ ;

A função $f$ restrita a este segmento de reta é

$\displaystyle g(x)=f(x,1)=x^{3}-3x(1)^{2}=x^{3}-3x.$ (2.308)

Os pontos extremos globais de $g$ neste segmento de reta são:

$\displaystyle x=-1:g(-1)=f(-1,1)=2,$ (2.309)

$\displaystyle x=1:g(1)=f(1,1)=-2,$ (2.310)

Verifique!
d)

$x=-1$ , com $-1\leq y\leq 1$ .

A função $f$ restrita a este segmento de reta é

$\displaystyle g(y)=f(-1,y)=(-1)^{3}-3(-1)y^{2}=-1+3y^{2}.$ (2.312)

Os pontos extremos globais de $g$ neste segmento de reta são:

$\displaystyle y=-1ey=1:g(-1)=g(1)=2,$ (2.313)

$\displaystyle y=0:g(0)=-1,$ (2.314)

Verifique!

Na Tabela 2.3, organizamos os resultados obtidos acima. A partir desta tabela, podemos concluir que o valor máximo global de $f$ na região $R$ é $2$ , que ocorre nos pontos de fronteira $(-1,-1)$ , $(-1,1)$ , e que o valor mínimo global de $f$ na região $R$ é $-2$ , que ocorre nos pontos $(1,-1)$ e $(1,1)$ .

Tabela 2.3: Valores de

f(x,y)=x^{3}-3xy^{2}

nos pontos extremos da fronteira da região

R=[-1,1]\times[-1,1]

$(x,y)$	$f(x,y)$	Classificação
$(-1,-1)$	$2$	Valor máximo global
$(1,-1)$	$-2$	Valor mínimo global
$(1,0)$	$1$	-x-
$(1,1)$	$-2$	Valor mínimo global
$(-1,1)$	$2$	Valor máximo global
$(-1,0)$	$-1$	-x-
$(0,-1)$	$0$	-x-
$(0,1)$	$0$	-x-
$(0,0)$	$0$	-x-

Exemplo 2.5.6.(Aplicação)

Uma fabricante de caixas retangulares sem tampa deseja construir uma caixa com volume de $12$ centímetros cúbicos. O custo do material para a base da caixa é de $R\$\leavevmode\nobreak\ 0.50$ por centímetro quadrado. O custo do material para os dois lados de dimensões $x$ por $z$ é de $R\$\leavevmode\nobreak\ 0.375$ por centímetro quadrado e o custo do material para os dois lados de dimensões $y$ por $z$ é de $R\$\leavevmode\nobreak\ 0.25$ por centímetro quadrado. Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do material.

Seja $x$ a largura da caixa, $y$ o comprimento da caixa e $z$ a altura da caixa. O volume da caixa é dado por

\displaystyle V=xyz=12.

(2.316)

O custo do material para a base da caixa é dado por

\displaystyle C_{b}=0.50xy,

(2.317)

e o custo do material para os lados da caixa é dado por

\displaystyle C_{l}=0.375(2xz)+0.25(2yz)=0.75xz+0.5yz.

(2.318)

Portanto, o custo total do material é dado por

\displaystyle C(x,y,z)=C_{b}+C_{l}=0.50xy+0.75xz+0.5yz.

(2.319)

Substituindo $z=\frac{12}{xy}$ na equação acima, temos

	$\displaystyle C(x,y)=0.50xy+0.75\left(\frac{12}{xy}\right)x+0.5\left(\frac{12}% {xy}\right)y$		(2.320)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.50xy+\frac{9}{y}+\frac{6}{x}.$		(2.321)

Para minimizar o custo total do material, devemos encontrar os pontos críticos de $C(x,y)$ . Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem de $C$

	$\displaystyle C_{x}(x,y)=0.50y-\frac{6}{x^{2}},$		(2.322)
	$\displaystyle C_{y}(x,y)=0.50x-\frac{9}{y^{2}}.$		(2.323)

Igualando as derivadas parciais a zero, obtemos o sistema

	$\displaystyle 0.50y-\frac{6}{x^{2}}=0,$		(2.324)
	$\displaystyle 0.50x-\frac{9}{y^{2}}=0.$		(2.325)

Resolvendo o sistema, obtemos $x=2$ e $y=3$ (verifique). Para aplicar o teste da segunda derivada, calculamos

	$\displaystyle C_{xx}(x,y)=\frac{12}{x^{3}},$		(2.326)
	$\displaystyle C_{yy}(x,y)=\frac{18}{y^{3}},$		(2.327)
	$\displaystyle C_{xy}(x,y)=0.50.$		(2.328)

No ponto crítico $(2,3)$ , temos

	$\displaystyle D=C_{xx}(2,3)C_{yy}(2,3)-C_{xy}^{2}(2,3)$		(2.329)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}-0.50^{2}=\frac{3}{4}>0.$		(2.330)

Como $D>0$ e $C_{xx}(2,3)=\frac{3}{2}>0$ , o custo possui um mínimo local em $(2,3)$ . Portanto, as dimensões da caixa que minimizam o custo do material são $x=2$ centímetros, $y=3$ centímetros e $z=2$ centímetros.

2.5.2 Exercícios

E. 2.5.1.

Calcule e classifique os pontos críticos da função

\displaystyle f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{2}.

(2.331)

O único ponto crítico de $f$ é $(0,0)$ , que é um mínimo local.

E. 2.5.2.

Calcule e classifique os pontos críticos da função

\displaystyle f(x,y)=2x^{2}+2xy-y^{2}+4x+3y+5.

(2.332)

O único ponto crítico de $f$ é $(-7/8,5/8)$ , que é um ponto de sela.

E. 2.5.3.

Calcule e classifique os pontos críticos da função

\displaystyle f(x,y)=x^{3}+2xy-y^{2}.

(2.333)

$(-2/3,-2/3)$ : ponto de máximo local; $(0,0)$ : ponto de sela.

E. 2.5.4.

Calcule e classifique os pontos críticos da função

\displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}-4x-3y

(2.334)

$(-2\sqrt{3}/3,-1)$ : ponto de máximo local; $(-2\sqrt{3}/3,1)$ : ponto de sela; $(2\sqrt{3}/3,-1)$ : ponto de sela; $(2\sqrt{3}/3,1)$ : ponto de mínimo local.

E. 2.5.5.

Determine os pontos e os valores máximo e mínimo globais da função

\displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}-4x-3x

(2.335)

limitada à região $R=[-1,3]\times[0,3]$ .

$(2\sqrt{3}/3,1)$ : valor mínimo global $-\sqrt{3}-2$ ; $(3,3)$ : valor máximo global $33$ .

E. 2.5.6.

Determine as dimensões da caixa retangular sem tampa de volume $4$ centímetros cúbicos e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material.

Largura $x=2\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ ; comprimento $y=2\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ ; altura $z=1\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ .

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Cálculo II

2.5 Máximos e mínimos

Teorema 2.5.1.(Teorema do valor extremo)

Demonstração.

Teorema 2.5.2.

Demonstração.

Exemplo 2.5.1.(Recíproca não é verdadeira)

Exemplo 2.5.2.

Teorema 2.5.3.

2.5.1 Teste da segunda derivada

Teorema 2.5.4.(Teste da segunda derivada)

Demonstração.

Exemplo 2.5.3.

Exemplo 2.5.4.

Exemplo 2.5.5.(Região fechada e limitada)

Exemplo 2.5.6.(Aplicação)

2.5.2 Exercícios

E. 2.5.1.

E. 2.5.2.

E. 2.5.3.

E. 2.5.4.

E. 2.5.5.

E. 2.5.6.

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	$\displaystyle x=-1:g(-1)=f(-1,-1)=2,$		(2.301)
	$\displaystyle x=1:g(1)=f(1,-1)=-2,$		(2.302)

	$\displaystyle y=-1ey=1:g(-1)=g(1)=-2,$		(2.305)
	$\displaystyle y=0:g(0)=1,$		(2.306)

	$\displaystyle x=-1:g(-1)=f(-1,1)=2,$		(2.309)
	$\displaystyle x=1:g(1)=f(1,1)=-2,$		(2.310)

	$\displaystyle y=-1ey=1:g(-1)=g(1)=2,$		(2.313)
	$\displaystyle y=0:g(0)=-1,$		(2.314)