Cálculo II

2 Derivadas 2.5 Máximos e mínimos 3 Integrais múltiplas

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2.6 Multiplicadores de Lagrange

Multiplicadores de Lagrange³³3Joseph-Louis Lagrange, 1736 - 1813, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Joseph-Louis Lagrange. é um método para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Os problemas de otimização devem ser da forma: encontrar o máximo/mínimo de uma função $f(x,y)$ sujeita a uma restrição

\displaystyle g(x,y)=0.

(2.336)

Ou, em três variáveis, encontrar o máximo/mínimo de uma função $f(x,y,z)$ sujeita a uma restrição

\displaystyle g(x,y,z)=0.

(2.337)

Em geral, pode ser estendido para mais variáveis e mais restrições.

2.6.1 Função de duas variáveis com uma restrição

Vamos considerar o caso de duas variáveis. Suponha que $(x_{0},y_{0})$ seja um extremo da função $f(x,y)$ sujeita a uma restrição $g(x,y)=0$ . Ainda, suponha que a curva $g(x,y)=0$ seja parametrizada por

	$\displaystyle x=x(s),$		(2.338)
	$\displaystyle y=y(s),$		(2.339)

onde $s$ é o parâmetro comprimento de arco a partir do ponto $(x_{0},y_{0})$ , em que $s=0$ . Desta forma, o problema de otimização pode ser reescrito como encontrar o máximo/mínimo da função

\displaystyle z=f(x(s),y(s)).

(2.340)

Como $s=0$ é um extremo local de $f(x(s),y(s))$ , temos que

	$\displaystyle\frac{dz}{ds}=0$		(2.341)
	$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{ds}+\frac{\partial f}{% \partial y}\frac{dy}{ds}=0$		(2.342)
	$\displaystyle\left(\frac{\partial f}{\partial x}\bm{i}+\frac{\partial f}{% \partial y}\bm{j}\right)\cdot\left(\frac{dx}{ds}\bm{i}+\frac{dy}{ds}\bm{j}% \right)=0,$		(2.343)

donde concluímos que

\displaystyle\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\bm{t}=0,

(2.344)

onde $\bm{t}$ é o vetor tangente à curva $g(x,y)=0$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ . Portanto, o vetor gradiente de $f$ é nulo ou é ortogonal ao vetor tangente à curva de restrição. Por outro lado, o vetor gradiente de $g$ também é ortogonal ao vetor tangente à curva de restrição (curva de nível $g(x,y)=0$ ). Portanto, os vetores gradientes de $f$ e $g$ são paralelos, ou seja, existe um número real $\lambda$ tal que

\displaystyle\nabla f(x_{0},y_{0})=\lambda\nabla g(x_{0},y_{0}).

(2.345)

Este escalar $\lambda$ é chamado de multiplicador de Lagrange.

Das observações acima, o método dos multiplicadores de Lagrange consiste em resolver o sistema de equações

	$\displaystyle\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y),$		(2.346)
	$\displaystyle g(x,y)=0,$		(2.347)

onde $(x,y)$ são as coordenadas a calcular e $\lambda$ é o multiplicador de Lagrange. O sistema acima fornece três equações com três incógnitas: $x$ , $y$ e $\lambda$ . As soluções do sistema fornecem os pontos candidatos a extremos da função $f$ sujeita à restrição $g(x,y)=0$ . A classificação destes pontos candidatos é feita comparando os valores de $f$ nos pontos candidatos.

Exemplo 2.6.1.

Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}+4xy$ sujeita à restrição $g(x,y)=x^{2}+y^{2}=1$ . Consultemos a Figura 2.14.

Refer to caption — Figura 2.14: Curvas de nível da função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}+4xy$ e da restrição $g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0$ .

Ou seja, queremos encontrar os pontos de máximo e mínimo da função $f(x,y)$ sujeita à restrição

\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0.

(2.348)

Primeiramente, calculamos os vetores gradientes de $f$ e $g$

	$\displaystyle\nabla f(x,y)=(2x+4y)\bm{i}+(2y+4x)\bm{j},$		(2.349)
	$\displaystyle\nabla g(x,y)=2x\bm{i}+2y\bm{j}.$		(2.350)

Notemos que $\nabla g(x,y)\neq 0$ para todos os pontos da curva de restrição $g(x,y)=0$ . Portanto, podemos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em resolver o sistema de equações

	$\displaystyle\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y),$		(2.351)
	$\displaystyle g(x,y)=0.$		(2.352)

Substituindo os vetores gradientes, obtemos o sistema

	$\displaystyle 2x+4y=\lambda 2x,$		(2.353)
	$\displaystyle 2y+4x=\lambda 2y,$		(2.354)
	$\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.$		(2.355)

Para resolver o sistema, podemos reescrever as duas primeiras equações como

	$\displaystyle 2x(1-\lambda)+4y=0,$		(2.356)
	$\displaystyle 4x+2y(1-\lambda)=0.$		(2.357)

Donde, podemos multiplicar a primeira equação por $1-\lambda$ e a segunda equação por $2$ , obtendo

	$\displaystyle 2x(1-\lambda)^{2}+4y(1-\lambda)=0,$		(2.358)
	$\displaystyle 8x+4y(1-\lambda)=0.$		(2.359)

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos

	$\displaystyle 8x-2x(1-\lambda)^{2}=0$		(2.360)
	$\displaystyle 2x\left(4-(1-\lambda)^{2}\right)=0.$		(2.361)

Portanto, temos duas possibilidades: $x=0$ ou $4-(1-\lambda)^{2}=0$ . Se $x=0$ , então a primeira equação do sistema acima nos fornece $y=0$ , o que não satisfaz a restrição $g(x,y)=0$ . Portanto, devemos ter

	$\displaystyle 4-(1-\lambda)^{2}=0$		(2.362)
	$\displaystyle(1-\lambda)^{2}=4$		(2.363)
	$\displaystyle 1-\lambda=\pm 2.$		(2.364)

Portanto, temos duas possibilidades: $\lambda=-1$ ou $\lambda=3$ . Se $\lambda=-1$ , então a primeira equação do sistema acima nos fornece $2x(1-(-1))+4y=0\Rightarrow 4x+4y=0\Rightarrow x+y=0$ . Substituindo na restrição $g(x,y)=0$ , obtemos

	$\displaystyle x^{2}+(-x)^{2}-1=0$		(2.365)
	$\displaystyle 2x^{2}-1=0$		(2.366)
	$\displaystyle x^{2}=\frac{1}{2}$		(2.367)
	$\displaystyle x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.$		(2.368)

Portanto, temos dois pontos candidatos a extremos: $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ e $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ . Se $\lambda=3$ , então a primeira equação do sistema acima nos fornece

\displaystyle 2x(1-3)+4y=0\Rightarrow-4x+4y=0\Rightarrow x-y=0.

(2.369)

Substituindo na restrição $g(x,y)=0$ , obtemos

	$\displaystyle x^{2}+x^{2}-1=0$		(2.370)
	$\displaystyle 2x^{2}-1=0$		(2.371)
	$\displaystyle x^{2}=\frac{1}{2}$		(2.372)
	$\displaystyle x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.$		(2.373)

Portanto, temos mais dois pontos candidatos a extremos: $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ e $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ . Avaliando a função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}+4xy$ nos quatro pontos candidatos, obtemos

	$\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1,$		(2.374)
	$\displaystyle f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1,$		(2.375)
	$\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=3,$		(2.376)
	$\displaystyle f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=3.$		(2.377)

Portanto, o valor máximo de $f$ sujeito à restrição $g(x,y)=0$ é $3$ , que ocorre nos pontos $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ e $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ , e o valor mínimo de $f$ sujeito à restrição $g(x,y)=0$ é $-1$ , que ocorre nos pontos $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ e $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ .

Exemplo 2.6.2.(Aplicação)

Um proprietário deseja cercar um terreno retangular de $1000\leavevmode\nobreak\ \text{m}^{2}$ com uma cerca. O terro fica a beira mar e tem um de seus lados voltado para o mar, que não será cercado. Determine as dimensões do terreno que minimizam o custo da cerca.

Seja $x$ a largura do terreno e $y$ o comprimento do terreno. O problema de otimização consiste em minimizar a função perímetro do terreno, que é dada por

\displaystyle p(x,y)=2x+y,

(2.378)

restrita à condição de que a área do terreno seja $1000\leavevmode\nobreak\ \text{m}^{2}$ , ou seja,

\displaystyle g(x,y)=xy-1000=0.

(2.379)

Calculamos os vetores gradientes de $p$ e $g$

	$\displaystyle\nabla p(x,y)=2\bm{i}+1\bm{j},$		(2.380)
	$\displaystyle\nabla g(x,y)=y\bm{i}+x\bm{j}.$		(2.381)

Como $\nabla g(x,y)\neq 0$ para todos os pontos da curva de restrição $g(x,y)=0$ , podemos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em resolver o sistema de equações

	$\displaystyle\nabla p(x,y)=\lambda\nabla g(x,y),$		(2.382)
	$\displaystyle g(x,y)=0.$		(2.383)

Substituindo os vetores gradientes, obtemos o sistema

	$\displaystyle 2=\lambda y,$		(2.384)
	$\displaystyle 1=\lambda x,$		(2.385)
	$\displaystyle xy-1000=0.$		(2.386)

Da primeira equação, obtemos $\lambda=2/y$ e, substituindo na segunda, obtemos

\displaystyle 1=\frac{2}{y}x\Rightarrow y=2x.

(2.387)

Substituindo na terceira equação, obtemos

	$\displaystyle x(2x)-1000=0$		(2.388)
	$\displaystyle 2x^{2}-1000=0$		(2.389)
	$\displaystyle x^{2}=500$		(2.390)
	$\displaystyle x=10\sqrt{5}.$		(2.391)

Portanto, $y=2x=20\sqrt{5}$ . Assim, as dimensões do terreno que minimizam o custo da cerca são $x=10\sqrt{5}\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ e $y=20\sqrt{5}\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ .

2.6.2 Três variáveis com uma restrição

Para problemas de otimização com uma função de três variáveis $f(x,y,z)$ e uma restrição $g(x,y,z)=0$ , o método dos multiplicadores de Lagrange é estendido de forma análoga. Consiste em resolver o sistema de equações

	$\displaystyle\nabla f(x,y,z)=\lambda\nabla g(x,y,z),$		(2.392)
	$\displaystyle g(x,y,z)=0,$		(2.393)

Exemplo 2.6.3.(Aplicação)

Um fabricante deseja construir uma caixa retangular sem tampa com volume de $4\leavevmode\nobreak\ {cm}^{3}$ . Determine as dimensões da caixa que minimizam a necessidade de material para sua construção.

Vamos denotar por $x$ a largura da caixa, $y$ o comprimento da caixa e $z$ a altura da caixa. O problema de otimização consiste em minimizar a área da superfície da caixa, que é dada por

\displaystyle A(x,y,z)=xy+2xz+2yz,

(2.394)

restrita à condição de que o volume da caixa seja $4\leavevmode\nobreak\ {cm}^{3}$ , i.e.

\displaystyle g(x,y,z)=xyz-4=0.

(2.395)

Calculamos os gradientes de $A$ e $g$

	$\displaystyle\nabla A(x,y,z)=(y+2z)\bm{i}+(x+2z)\bm{j}+(2x+2y)\bm{k},$		(2.396)
	$\displaystyle\nabla g(x,y,z)=yz\bm{i}+xz\bm{j}+xy\bm{k}.$		(2.397)

Como $\nabla g(x,y,z)\neq 0$ para todos os pontos da superfície de restrição $g(x,y,z)=0$ , podemos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em resolver o sistema de equações

	$\displaystyle\nabla A(x,y,z)=\lambda\nabla g(x,y,z),$		(2.398)
	$\displaystyle g(x,y,z)=0.$		(2.399)

Substituindo os gradientes e a função restrição, temos

	$\displaystyle y+2z=\lambda yz,$		(2.400)
	$\displaystyle x+2z=\lambda xz,$		(2.401)
	$\displaystyle 2x+2y=\lambda xy,$		(2.402)
	$\displaystyle xyz-4=0.$		(2.403)

Igualando as duas primeiras expressões para $\lambda$ , obtemos

	$\displaystyle\frac{y+2z}{yz}=\frac{x+2z}{xz}$		(2.404)
	$\displaystyle xz(y+2z)=yz(x+2z)$		(2.405)
	$\displaystyle 2xz^{2}=2yz^{2}$		(2.406)
	$\displaystyle x=y.$		(2.407)

Igualando a primeira e a terceira expressões para $\lambda$ , obtemos

	$\displaystyle\frac{y+2z}{yz}=\frac{2x+2y}{xy}$		(2.408)
	$\displaystyle xy(y+2z)=yz(2x+2y)$		(2.409)
	$\displaystyle xy^{2}+2xyz=2xyz+2y^{2}z$		(2.410)
	$\displaystyle xy^{2}=2y^{2}z$		(2.411)
	$\displaystyle x=2z.$		(2.412)

Portanto, temos $x=y=2z$ . Substituindo na equação de restrição, obtemos

	$\displaystyle(2z)(2z)z-4=0$		(2.413)
	$\displaystyle 4z^{3}-4=0$		(2.414)
	$\displaystyle z^{3}=1$		(2.415)
	$\displaystyle z=1.$		(2.416)

Portanto, $x=y=2z=2$ . Assim, as dimensões da caixa que minimizam a necessidade de material para sua construção são $x=2\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ , $y=2\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ e $z=1\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ .

2.6.3 Exercícios

E. 2.6.1.

Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função $f(x,y)=xy$ sujeita à restrição $g(x,y)=x^{2}+y^{2}-2=0$ .

Valor máximo $f(1,1)=f(-1,-1)=1$ ; valor mínimo $f(1,-1)=f(-1,1)=-1$ .

E. 2.6.2.

Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o ponto do plano $x+2y+3z=12$ mais próximo da origem.

O ponto mais próximo da origem é $\left(\frac{6}{7},\frac{12}{7},\frac{18}{7}\right)$ .

E. 2.6.3.

Um fio de comprimento $20\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ deve ser cortado em dois pedaços: um para formar um quadrado e outro para formar um círculo. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar como cortar o fio de modo a minimizar a soma das áreas das duas figuras.

O pedaço destinado ao quadrado deve ter comprimento $\frac{80}{4+\pi}\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ e o pedaço destinado ao círculo deve ter comprimento $\frac{20\pi}{4+\pi}\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ .

E. 2.6.4.

Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo da função $f(x,y,z)=x+y+z$ sujeita à restrição $g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-3=0$ .

O valor máximo de $f$ é $3$ , que ocorre no ponto $(1,1,1)$ .

E. 2.6.5.

Uma empresa deseja produzir uma lata cilíndrica fechada com volume de $8\pi\leavevmode\nobreak\ \text{cm}^{3}$ . Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o raio $r$ e a altura $h$ da lata que minimizam a área da superfície total.

$r=2\sqrt{2}\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ e $h=4\leavevmode\nobreak\ \text{cm}$ .

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