Cálculo II

2 Derivadas 2 Derivadas 2.2 Diferenciais e aproximações lineares

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2.1 Derivadas parciais

Sejam $f(x,y)$ uma função de duas variáveis reais e $(x_{0},y_{0})$ um ponto do domínio de $f$ . Se fixarmos $y=y_{0}$ , a função $f$ se reduz a uma função de uma variável, $g(x)=f(x,y_{0})$ , com derivada

	$\displaystyle\frac{d}{dx}f(x,y_{0})=g^{\prime}(x)$		(2.1)
	$\displaystyle\text{}\quad:=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$		(2.2)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y_{0})-f(x,y_{0})}{h}.$		(2.3)

Analogamente, se fixarmos $x=x_{0}$ , a função $f$ também se reduz a uma função de uma variável, $h(y)=f(x_{0},y)$ , esta com derivada

	$\displaystyle\frac{d}{dy}f(x_{0},y)=h^{\prime}(y)$		(2.4)
	$\displaystyle\text{}\quad:=\lim_{h\to 0}\frac{h(y+h)-h(y)}{h}$		(2.5)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0},y+h)-f(x_{0},y)}{h}.$		(2.6)

Das observações acima, definimos a derivada parcial de $f$ em relação a $x$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ como

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \frac{\partial}{\partial x}[f(x,y)]\Big{\|}_{(x_{0},y_{0})}=f_{x}(x_{0},y_{0}):% =\left.\frac{d}{dx}f(x,y_{0})\right\|_{x=x_{0}}$		(2.7)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h}.$		(2.8)

Analogamente, definimos a derivada parcial de $f$ em relação a $y$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ como

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \frac{\partial}{\partial y}[f(x,y)]\Big{\|}_{(x_{0},y_{0})}=f_{y}(x_{0},y_{0}):% =\left.\frac{d}{dy}f(x_{0},y)\right\|_{y=y_{0}}$		(2.9)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0},y_{0}+h)-f(x_{0},y_{0})}{h}.$		(2.10)

Exemplo 2.1.1.

Seja

\displaystyle f(x,y)=x^{2}e^{xy}+y^{3}.

(2.11)

Vamos calcular as seguintes derivadas parciais:

a)

$f_{x}(1,0)$

$\displaystyle f_{x}(1,0)=\left.\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\right|_{(1,0)% }=\left.\frac{d}{dx}f(x,0)\right|_{x=1}$ (2.12)

$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{dx}\left[x^{2}e^{x\cdot 0}+0^{3}% \right]\right|_{x=1}$ (2.13)

$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{dx}\left[x^{2}\right]\right|_{x=1}$ (2.14)

$\displaystyle\text{}\quad=\left.2x\right|_{x=1}=2.$ (2.15)
b)

$f_{y}(1,0)$

$\displaystyle f_{y}(1,0)=\left.\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right|_{(1,0)% }=\left.\frac{d}{dy}f(1,y)\right|_{y=0}$ (2.16)

$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{dy}\left[1^{2}e^{1\cdot y}+y^{3}% \right]\right|_{y=0}$ (2.17)

$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{dy}\left[e^{y}+y^{3}\right]\right|_{y% =0}$ (2.18)

$\displaystyle\text{}\quad=\left.e^{y}+3y^{2}\right|_{y=0}=1.$ (2.19)

Definições análogas podem ser feitas para funções de mais de duas variáveis reais. Por exemplo, a derivada parcial de uma função $f(x,y,z)$ em relação a $z$ no ponto $(x_{0},y_{0},z_{0})$ é definida por

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \frac{\partial}{\partial z}[f(x,y,z)]\Big{\|}_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=f_{z}(x_{0}% ,y_{0},z):=\frac{d}{dz}f(x_{0},y_{0},z)\Big{\|}_{z=z_{0}}$		(2.20)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0},y_{0},z_{0}+h)-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{h}.$		(2.21)

Exemplo 2.1.2.

	$\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}y+e^{yz}+z^{3}$		(2.22)
	$\displaystyle f_{z}(1,-1,0)=\left.\frac{\partial}{\partial z}f(x,y,z)\right\|_{% (1,-1,0)}:=\left.\frac{d}{dz}f(1,-1,z)\right\|_{z=0}$		(2.23)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{dz}\left[1^{2}(-1)+e^{-1\cdot z}+z^{3% }\right]\right\|_{z=0}$		(2.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{dz}\left[-1+e^{-z}+z^{3}\right]\right% \|_{z=0}$		(2.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.-e^{-z}+3z^{2}\right\|_{z=0}=-1.$		(2.26)

Observação 2.1.1.(Derivadas parciais e continuidade)

Ao contrário do que ocorre com funções de uma variável, a existência das derivadas parciais de uma função $f(x,y)$ em um ponto $(x_{0},y_{0})$ não garante que $f$ seja contínua nesse ponto. Por exemplo, considere a função

\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}-2y^{2}},&(x,y)\neq(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}

(2.27)

A derivada parcial de $f$ em relação a $x$ no ponto $(0,0)$ é

	$\displaystyle f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$		(2.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-0}{h}$		(2.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{h\cdot 0}{h^{2}-2\cdot 0^{2% }}-0}{h}$		(2.30)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0.$		(2.31)

A derivada parcial de $f$ em relação a $y$ no ponto $(0,0)$ é

	$\displaystyle f_{y}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}$		(2.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-0}{h}$		(2.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{0\cdot h}{0^{2}-2h^{2}}-0}{h}$		(2.34)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0.$		(2.35)

Portanto, $f_{x}(0,0)$ e $f_{y}(0,0)$ existem, mas $f$ não é contínua no ponto $(0,0)$ , pois vimos no Exemplo 1.2.4 que o limite de $f(x,y)$ quando $(x,y)\to(0,0)$ não existe.

2.1.1 Funções derivadas parciais

Definimos a função derivada parcial de $f$ em relação a $x$ como

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}[f(x,y)]$		(2.36)
	$\displaystyle\text{}\quad:=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},$		(2.37)

Em outras palavras, é a derivada de $f(x,y)$ em relação a $x$ quando $y$ é mantido constante.

Analogamente, definimos e a função derivada parcial de $f$ em relação a $y$ como

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}[f(x,y)]$		(2.38)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}:=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.$		(2.39)

Em linguagem simples, é a derivada de $f(x,y)$ em relação a $y$ quando $x$ é mantido constante.

Exemplo 2.1.3.

Seja

\displaystyle f(x,y)=x^{2}e^{xy}+y^{3}.

(2.40)

A derivada parcial de $f$ em relação a $x$ é

	$\displaystyle f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}[f(x,y)]$		(2.41)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial x}[x^{2}e^{xy}+y^{3}]$		(2.42)
	$\displaystyle\text{}\quad=2xe^{xy}+x^{2}ye^{xy}+0$		(2.43)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{xy}(2x+x^{2}y).$		(2.44)

A derivada parcial de $f$ em relação a $y$ é

	$\displaystyle f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}[f(x,y)]$		(2.45)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial y}[x^{2}e^{xy}+y^{3}]$		(2.46)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{3}e^{xy}+3y^{2}.$		(2.47)

2.1.2 Taxas de variação

A derivada parcial de uma função $f(x,y)$ em relação a $x$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ , denotada por $f_{x}(x_{0},y_{0})$ , é a taxa de variação instantânea de $f$ em relação a $x$ quando $y$ é mantido constante. Analogamente, a derivada parcial de $f$ em relação a $y$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ , denotada por $f_{y}(x_{0},y_{0})$ , é a taxa de variação instantânea de $f$ em relação a $y$ quando $x$ é mantido constante.

Exemplo 2.1.4.

Seja $V$ ( $\text{m}^{3}$ ) o volume de um cilindro de raio $r$ (m) e altura $h$ (m), i.e.,

\displaystyle V(r,h)=\pi r^{2}h.

(2.48)

A derivada parcial de $V$ em relação a $r$ é

	$\displaystyle V_{r}(r,h)=\frac{\partial}{\partial r}[\pi r^{2}h]$		(2.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\pi rh$		(2.50)

e tem unidade $\text{m}^{2}$ . No ponto $(r,h)=(2,5)$ , temos

\displaystyle V_{r}(2,5)=2\pi(2)(5)=20\pi.

(2.51)

Isso significa que, quando o raio do cilindro é $2\,\text{m}$ e a altura é $5\,\text{m}$ , a taxa de variação instantânea do volume em relação ao raio é $20\pi\,\text{m}^{2}$ . Em outras palavras, se aumentarmos o raio em uma pequena quantidade de metros, o volume aumentará aproximadamente $20\pi\,\text{m}^{2}$ vezes essa quantidade.

Uma análise semelhante pode ser feita para a derivada parcial de $V$ em relação a $h$ :

	$\displaystyle V_{h}(r,h)=\frac{\partial}{\partial h}[\pi r^{2}h]$		(2.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi r^{2}$		(2.53)

que também tem unidade $\text{m}^{2}$ . Isso nos mostra que a taxa de variação instantânea do volume em relação à altura é proporcional ao quadrado do raio e não depende da altura. Um cilindro de altura $5\,\text{m}$ ou um de altura $10\,\text{m}$ terá a mesma taxa de variação instantânea do volume em relação à altura, desde que o raio seja o mesmo. Verifique!

Exemplo 2.1.5.

Da lei dos gases ideais, temos que a pressão $P$ (Pa) de um gás ideal é dada por

\displaystyle P=\frac{nRT}{V},

(2.54)

onde $V$ ( $\text{m}^{3}$ ) é o volume do gás, $T$ (K) é a temperatura do gás, $n$ é o número de mols do gás e $R\approx 8,314\,\text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})$ é a constante universal dos gases ideais. A derivada parcial de $P$ em relação a $V$ é

	$\displaystyle P_{V}=\frac{\partial}{\partial V}\left[\frac{nRT}{V}\right]$		(2.55)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{nRT}{V^{2}}$		(2.56)

e tem unidade $\text{Pa}/\text{m}^{3}$ . Isso significa que, para um gás ideal com número de mols $n$ e temperatura $T$ fixos, a taxa de variação instantânea da pressão em relação ao volume é inversamente proporcional ao quadrado do volume. Em outras palavras, se aumentarmos o volume em uma pequena quantidade de metros cúbicos, a pressão diminuirá aproximadamente $nRT/V^{2}$ vezes essa quantidade.

2.1.3 Inclinação de uma superfície

A derivada parcial de uma função $f(x,y)$ em relação a $x$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ é a inclinação da superfície $z=f(x,y)$ na direção do eixo $x$ . Consultemos a Figura 2.1. Nela temos a superfície $z=f(x,y)$ , a curva de interseção da superfície com o plano $y=y_{0}$ (linha contínua) e a reta tangente à curva no ponto $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ (linha tracejada). A inclinação da reta tangente é $f_{x}(x_{0},y_{0})$ , e sua equação é

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% z=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f(x_{0},y_{0}),y=y_{0}.

(2.57)

Refer to caption — Figura 2.1: Inclinação de uma superfície $z=f(x,y)$ na direção do eixo $x$ .

Exemplo 2.1.6.

Seja $f(x,y)=-x^{2}-y^{2}+2$ . A derivada parcial de $f$ em relação a $x$ é $f_{x}(x,y)=-2x$ . No ponto $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ , temos

\displaystyle f_{x}\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)=-2\left(\frac{1}{2}% \right)=-1.

(2.58)

Isso significa que a inclinação da superfície $z=f(x,y)$ na direção do eixo $x$ no ponto $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ é $-1$ . A reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano $y=-\frac{1}{2}$ no ponto $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},f(\frac{1}{2},\frac{1}{2}))$ tem equação

	$\displaystyle z=-1\left(x-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}% \right),y=\frac{1}{2}$		(2.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=-x+2,y=-\frac{1}{2}.$		(2.60)

Este é o caso ilustrado na Figura 2.1 com $(x_{0},y_{0})=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ . Verifique!

Analogamente, a derivada parcial de $f$ em relação a $y$ no ponto $(x_{0},y_{0})$ é a inclinação da superfície $z=f(x,y)$ na direção do eixo $y$ . Consultemos a Figura 2.2. Nela temos a superfície $z=f(x,y)$ , a curva de interseção da superfície com o plano $x=x_{0}$ (linha contínua) e a reta tangente à curva no ponto $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ (linha tracejada). A inclinação da reta tangente é $f_{y}(x_{0},y_{0})$ , e sua equação é

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% z=f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})+f(x_{0},y_{0}),x=x_{0}.

(2.61)

Exemplo 2.1.7.

Seja $f(x,y)=-x^{2}-y^{2}+2$ . A derivada parcial de $f$ em relação a $y$ é $f_{y}(x,y)=-2y$ . No ponto $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ , temos

\displaystyle f_{y}\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)=-2\left(-\frac{1}{2}% \right)=1.

(2.62)

Isso significa que a inclinação da superfície $z=f(x,y)$ na direção do eixo $y$ no ponto $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ é $1$ . A reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano $x=\frac{1}{2}$ no ponto $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},f(\frac{1}{2},\frac{1}{2}))$ tem equação

	$\displaystyle z=1\left(y+\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}% \right),x=\frac{1}{2}$		(2.63)
	$\displaystyle\text{}\quad=y+2,x=\frac{1}{2}.$		(2.64)

Este é o caso ilustrado na Figura 2.2 com $(x_{0},y_{0})=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ . Verifique!

2.1.4 Derivadas parciais de ordem superior

Uma vez que as derivadas parciais de uma função $f(x,y)$ são funções, podemos calcular suas derivadas parciais. Com isso, podemos definir as derivadas parciais de segunda ordem de $f$ como

	$\displaystyle f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}:=\frac{\partial}{% \partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),$		(2.65)
	$\displaystyle f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}:=\frac{\partial}{% \partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right),$		(2.66)

bem como as derivadas parciais mistas de segunda ordem de $f$ como

	$\displaystyle f_{{\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{1,0.4921875,0}y}{\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor% [named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}x}}=\frac{\partial^% {2}f}{\partial{\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}x}\partial{\color[rgb]{% 1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0.4921875,0}y}}:=% \frac{\partial}{\partial{\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}x}}% \left(\frac{\partial f}{\partial{\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]% {pgfstrokecolor}{rgb}{1,0.4921875,0}y}}\right),$		(2.67)
	$\displaystyle f_{{\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named% ]{pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}x}{\color[rgb]{% 1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0.4921875,0}y}}=\frac% {\partial^{2}f}{\partial{\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0.4921875,0}y}\partial{\color[rgb]{% 0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0.05859375,0.46484375,0.71875}x}}:=\frac{\partial}{\partial{\color[rgb]{% 1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0.4921875,0}y}}\left(% \frac{\partial f}{\partial{\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}x}}% \right).$		(2.68)

Exemplo 2.1.8.

Seja

\displaystyle f(x,y)=x^{2}y+e^{-xy}

(2.69)

A derivada parcial de segunda ordem de $f$ em relação a $x$ é

	$\displaystyle f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}% {\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$		(2.70)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial x}\left(2xy-ye^{-xy}\right)$		(2.71)
	$\displaystyle\text{}\quad=2y+y^{2}e^{-xy}.$		(2.72)

A derivada parcial de segunda ordem de $f$ em relação a $y$ é

	$\displaystyle f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}% {\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$		(2.73)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{2}-xe^{-xy}\right)$		(2.74)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}e^{-xy}.$		(2.75)

A derivada parcial mista de segunda ordem de $f$ em relação a $x$ e $y$ é

	$\displaystyle f_{yx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial% }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$		(2.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}-xe^{-xy}\right)$		(2.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x-e^{-xy}+xye^{-xy}.$		(2.78)

A derivada parcial mista de segunda ordem de $f$ em relação a $y$ e $x$ é

	$\displaystyle f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial% }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$		(2.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial y}\left(2xy-ye^{-xy}\right)$		(2.80)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x-e^{-xy}+xye^{-xy}.$		(2.81)

Neste exemplo, é notável que as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais, i.e., $f_{xy}=f_{yx}$ . Isto ocorre quando as derivadas parciais mistas de segunda ordem são contínuas. O seguinte exemplo mostra que, quando as derivadas parciais mistas de segunda ordem não são contínuas, elas podem ser diferentes.

Exemplo 2.1.9.(Derivadas mistas não contínuas)

Seja

\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)% \neq(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}

(2.82)

Antes de mais nada, vamos calcular as seguintes derivadas parciais de primeira ordem

	$\displaystyle f_{x}(0,y)=-y.$		(2.83)
	$\displaystyle f_{y}(x,0)=x.$		(2.84)

Verifique! Agora, vamos calcular as derivadas mistas de $f$ no ponto $(0,0)$ :

	$\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_{y}(0+h,0)-f_{y}(0,0)}{h}$		(2.85)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1,$		(2.86)
	$\displaystyle f_{xy}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_{x}(0,0+h)-f_{x}(0,0)}{h}$		(2.87)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h}=-1.$		(2.88)

Obtemos que $f_{xy}(0,0)\neq f_{yx}(0,0)$ , pois as derivadas mistas de segunda ordem não são contínuas no ponto $(0,0)$ . Consultemos o E.2.1.7

Derivadas parciais de ordem superior a dois podem ser definidas de maneira análoga. Por exemplo, a derivada parcial mista de terceira ordem de $f$ em relação a $x$ , $y$ e $z$ é

	$\displaystyle f_{xyz}=\frac{\partial^{3}f}{\partial z\partial y\partial x}$		(2.89)
	$\displaystyle\text{}\quad:=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial}{% \partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right).$		(2.90)

Outro exemplo, é a derivada parcial de terceira ordem de $f$ em relação a $x$ , $x$ e $y$ é

	$\displaystyle f_{xxy}=\frac{\partial^{3}f}{\partial y\partial x^{2}}$		(2.91)
	$\displaystyle\text{}\quad:=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^{2}% f}{\partial x^{2}}\right).$		(2.92)

Bem como, a derivada parcial de terceira ordem de $f$ em relação a $x$ é

	$\displaystyle f_{xxx}=\frac{\partial^{3}f}{\partial x^{3}}$		(2.93)
	$\displaystyle\text{}\quad:=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^{2}% f}{\partial x^{2}}\right).$		(2.94)

Derivadas de quarta, quinta e ordem superior são definidas de maneira análoga.

Exemplo 2.1.10.

Seja $f(x,y,z)=x^{2}y+e^{yz}+z^{3}$ . A derivada parcial mista de terceira ordem de $f$ em relação a $x$ , $y$ e $z$ é

	$\displaystyle f_{xyz}=\frac{\partial^{3}f}{\partial z\partial y\partial x}=% \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{% \partial f}{\partial x}\right)\right)$		(2.95)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial}{% \partial y}\left(2xy\right)\right)$		(2.96)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial z}\left(2x\right)=0.$		(2.97)

Já, a derivada parcial de terceira ordem de $f$ em relação a $x$ , $y$ e $y$ é

	$\displaystyle f_{xyy}=\frac{\partial^{3}f}{\partial y^{2}\partial x}=\frac{% \partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{% \partial x}\right)\right)$		(2.98)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{% \partial y}\left(2xy\right)\right)$		(2.99)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial y}\left(2x\right)=0.$		(2.100)

Ainda, a derivada parcial de terceira ordem de $f$ em relação a $z$ é

	$\displaystyle f_{zzz}=\frac{\partial^{3}f}{\partial z^{3}}=\frac{\partial}{% \partial z}\left(\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial z% }\right)\right)$		(2.101)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial}{% \partial z}\left(ye^{yz}+3z^{2}\right)\right)$		(2.102)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\partial}{\partial z}\left(y^{2}e^{yz}+6z\right)$		(2.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=y^{3}e^{yz}+6.$		(2.104)

2.1.5 Exercícios

E. 2.1.1.

Seja $f(x,y)=6x^{2}y^{3}$ . Calcule:

a)

$f_{x}(x,y)$
b)

$f_{y}(x,y)$

a) $f_{x}(x,y)=12xy^{3}$ . b) $f_{y}(x,y)=18x^{2}y^{2}$ .

E. 2.1.2.

Seja $f(x,y,z)=x\cos{\pi yz}+xyz$ . Calcule:

a)

$f_{x}(x,y,z)$
b)

$f_{y}(x,y,z)$
c)

$f_{z}(x,y,z)$

a) $f_{x}(x,y,z)=\cos{\pi yz}+yz$ . b) $f_{y}(x,y,z)=-\pi xz\operatorname{sen}{\pi yz}+xz$ . c) $f_{z}(x,y,z)=-\pi xy\operatorname{sen}{\pi yz}+xy$ .

E. 2.1.3.

Seja

\displaystyle f(x,y)=xe^{xy}+x^{2}y^{3}.

(2.105)

Calcule:

a)

$f_{x}(x,y)$
b)

$\frac{\partial f}{\partial y}$
c)

$\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$
d)

$f_{yy}(x,y)$
e)

$f_{xy}(x,y)$
f)

$\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}$

a) $\displaystyle f_{x}(x,y)=(1+xy)e^{xy}+2xy^{3}$ . b) $\displaystyle f_{y}(x,y)=x^{2}e^{xy}+3x^{2}y^{2}$ . c) $\displaystyle f_{xx}(x,y)=(xy^{2}+2y)e^{xy}+2y^{3}$ . d) $\displaystyle f_{yy}(x,y)=x^{3}e^{xy}+6x^{2}y$ . e) $\displaystyle f_{xy}(x,y)=(x^{2}y+2x)e^{xy}+6xy^{2}$ . f) $\displaystyle f_{yx}(x,y)=(x^{2}y+2x)e^{xy}+6xy^{2}$ .

Exemplo 2.1.11.

Seja $f(x,y,z)=x^{3}y^{3}z^{3}$ . Calcule:

a)

$f_{xyz}(x,y,z)$
b)

$\frac{\partial^{3}f}{\partial y\partial x\partial z}$
c)

$f_{xzz}(x,y,z)$
d)

$\frac{\partial^{3}f}{\partial z\partial y^{2}}$
e)

$f_{zyy}(x,y,z)$

a) $\displaystyle f_{xyz}(x,y,z)=27x^{2}y^{2}z^{2}$ . b) $\displaystyle f_{zxy}(x,y,z)=27x^{2}y^{2}z^{2}$ . c) $\displaystyle f_{xzz}(x,y,z)=18x^{2}y^{3}z$ . d) $\displaystyle f_{yyz}(x,y,z)=18x^{3}yz^{2}$ . e) $\displaystyle f_{zyy}(x,y,z)=18x^{3}yz^{2}$ .

E. 2.1.4.

Seja $V\leavevmode\nobreak\ (\text{m}^{3})$ o volume de um paralelepípedo de base quadrada de lado $a\leavevmode\nobreak\ (\text{m})$ e altura $h\leavevmode\nobreak\ (\text{m})$ , i.e.,

\displaystyle V(a,h)=a^{2}h.

(2.106)

Calcule:

a)

A taxa de variação do volume em relação ao lado da base para $a=2\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ e $h=5\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ .
b)

A taxa de variação do volume em relação à altura para $a=2\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ e $h=5\leavevmode\nobreak\ \text{m}$ .

a) $V_{a}(2,5)=20\leavevmode\nobreak\ \text{m}^{2}$ . b) $V_{h}(2,5)=4\leavevmode\nobreak\ \text{m}^{2}$ .

E. 2.1.5.

Seja $f(x,y)=x^{2}y+e^{-xy}$ . Calcule:

a)

A inclinação da superfície $z=f(x,y)$ na direção do eixo $x$ no ponto $(1,0)$ .
b)

A inclinação da superfície $z=f(x,y)$ na direção do eixo $y$ no ponto $(1,1)$ .

a) $f_{x}(1,0)=0$ . b) $f_{y}(1,1)=1-e^{-1}\approx 0,6321$ .

E. 2.1.6.

Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.

a)

Se a reta $x=2$ é uma curva de nível da função $f(x,y)$ , então $f_{y}(2,y)=0$ .
b)

Se a parábola $y=x^{2}$ é uma curva de nível da função $f(x,y)$ , então $f_{x}(x,1)=0$ .
c)

Se a parábola $y=x^{2}$ é uma curva de nível da função $f(x,y)$ , então $f_{x}(1,1)=2$ .

a) Verdadeira. b) Falsa. c) Falsa.

E. 2.1.7.(Derivadas mistas descontínuas)

Seja

\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)% \neq(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}

(2.107)

Calcule as derivadas mistas de $f$ e verifique que elas não são contínuas no ponto $(0,0)$ .

$\displaystyle f_{xy}=f_{yx}=\frac{x^{6}+9x^{4}y^{2}-9x^{2}y^{4}-y^{6}}{x^{6}+3% x^{4}y^{2}+3x^{2}y^{4}+y^{6}}$ para $x^{6}+3x^{4}y^{2}+3x^{2}y^{4}+y^{6}\neq 0$ . $f_{xy}(0,0)=-1$ . $\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de}y% =x}}}f_{xy}(x,y)=0$ .

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Cálculo II

2.1 Derivadas parciais

Exemplo 2.1.1.

Exemplo 2.1.2.

Observação 2.1.1.(Derivadas parciais e continuidade)

2.1.1 Funções derivadas parciais

Exemplo 2.1.3.

2.1.2 Taxas de variação

Exemplo 2.1.4.

Exemplo 2.1.5.

2.1.3 Inclinação de uma superfície

Exemplo 2.1.6.

Exemplo 2.1.7.

2.1.4 Derivadas parciais de ordem superior

Exemplo 2.1.8.

Exemplo 2.1.9.(Derivadas mistas não contínuas)

Exemplo 2.1.10.

2.1.5 Exercícios

E. 2.1.1.

E. 2.1.2.

E. 2.1.3.

Exemplo 2.1.11.

E. 2.1.4.

E. 2.1.5.

E. 2.1.6.

E. 2.1.7.(Derivadas mistas descontínuas)

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	$\displaystyle f_{x}(1,0)=\left.\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\right\|_{(1,0)% }=\left.\frac{d}{dx}f(x,0)\right\|_{x=1}$		(2.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{dx}\left[x^{2}e^{x\cdot 0}+0^{3}% \right]\right\|_{x=1}$		(2.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{dx}\left[x^{2}\right]\right\|_{x=1}$		(2.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.2x\right\|_{x=1}=2.$		(2.15)

	$\displaystyle f_{y}(1,0)=\left.\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right\|_{(1,0)% }=\left.\frac{d}{dy}f(1,y)\right\|_{y=0}$		(2.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{dy}\left[1^{2}e^{1\cdot y}+y^{3}% \right]\right\|_{y=0}$		(2.17)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.\frac{d}{dy}\left[e^{y}+y^{3}\right]\right\|_{y% =0}$		(2.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.e^{y}+3y^{2}\right\|_{y=0}=1.$		(2.19)