Cálculo II

1 Introdução 1.1 Funções de duas ou mais variáveis 2 Derivadas

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1.2 Limites e continuidade

1.2.1 Limites ao longo de uma curva

Seja $C$ uma curva paramétrica lisa²²2Uma curva paramétrica é lisa quando as derivadas de suas componentes são contínuas e não simultaneamente nulas. dada por

\displaystyle C(t)=(x(t),y(t)),

(1.10)

onde $t$ é o parâmetro da curva. Seja, também, $t_{0}$ tal que $(x(t_{0}),y(t_{0}))=(x_{0},y_{0})$ . Então, o limite de uma função $f(x,y)$ ao longo da curva $C$ quando $(x,y)$ se aproxima do ponto $(x_{0},y_{0})$ é definido como

\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(x_{0},y_{0})}}{{\text{ao % longo de C}}}}f(x,y)=\lim_{t\to t_{0}}f(x(t),y(t)),

(1.11)

onde $t_{0}$ é o valor do parâmetro correspondente ao ponto $(x_{0},y_{0})$ na curva $C$ . Consultemos a Figura 1.7 para uma ilustração do conceito de limite ao longo de uma curva. Nela, a curva $C$ é representada sobre a superfície do gráfico da função $f(x,y)$ , e o ponto $(x_{0},y_{0})$ é o ponto de interesse para o cálculo do limite.

Refer to caption — Figura 1.7: Limite ao longo de uma curva.

Exemplo 1.2.1.

Consideremos a função de duas variáveis reais

\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}-2y^{2}}.

(1.12)

Vamos calcular os seguintes limites ao longo de diferentes curvas que passam pelo ponto $(0,0)$ :

a)

Ao longo da curva $C_{1}$ definida por $y=0$ :

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }% y=0}}}f(x,y)=\lim_{x\to 0}f(x,0)$ (1.13)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot 0}{x^{2}-2\cdot 0^{2}}$ (1.14)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}0=0.$ (1.15)
b)

Ao longo da curva $C_{2}$ definida por $y=x$ :

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }% y=x}}}f(x,y)=\lim_{x\to 0}f(x,x)$ (1.16)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot x}{x^{2}-2\cdot x^{2}}$ (1.17)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{-x^{2}}=-1.$ (1.18)

Ao longo da curva $C_{3}$ definida por $y=-2x$ :

	$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }% y=-2x}}}f(x,y)=\lim_{x\to 0}f(x,-2x)$		(1.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot(-2x)}{x^{2}-2\cdot(-2x)^{2}}$		(1.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{-2x^{2}}{x^{2}-8x^{2}}=\lim_{x\to 0% }\frac{-2x^{2}}{-7x^{2}}=\frac{2}{7}.$		(1.21)

Para funções de três variáveis reais, o conceito de limite ao longo de uma curva fica imediatamente estendido. Seja $C$ uma curva paramétrica lisa dada por

\displaystyle C(t)=(x(t),y(t),z(t)),

(1.22)

onde $t$ é o parâmetro da curva. Seja, também, $t_{0}$ tal que $(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))=(x_{0},y_{0},z_{0})$ . Então, o limite de uma função $g(x,y,z)$ ao longo da curva $C$ quando $(x,y,z)$ se aproxima do ponto $(x_{0},y_{0},z_{0})$ é definido como

\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y,z)\to(x_{0},y_{0},z_{0})}}{{% \text{ao longo de C}}}}g(x,y,z)=\lim_{t\to t_{0}}g(x(t),y(t),z(t)),

(1.23)

onde $t_{0}$ é o valor do parâmetro correspondente ao ponto $(x_{0},y_{0},z_{0})$ na curva $C$ .

Exemplo 1.2.2.

Consideremos a função de três variáveis reais

\displaystyle g(x,y,z)=\frac{xyz}{2x^{3}+y^{3}+z^{3}}.

(1.24)

Vamos calcular os seguintes limites ao longo de diferentes curvas que passam pelo ponto $(0,0,0)$ :

a)

Ao longo da curva $C_{1}$ definida por $x=0$ e $z=0$ :

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y,z)\to(0,0,0)}}{{\text{ao longo % de }x=0,z=0}}}g(x,y,z)=\lim_{y\to 0}g(0,y,0)$ (1.25)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{y\to 0}\frac{0\cdot y\cdot 0}{2\cdot 0^{3}+y^{% 3}+0^{3}}$ (1.26)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{y\to 0}0=0.$ (1.27)
b)

Ao longo da curva $C_{2}$ definida por $x=y=z$ :

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y,z)\to(0,0,0)}}{{\text{ao longo % de }x=y=z}}}g(x,y,z)=\lim_{x\to 0}g(x,x,x)$ (1.28)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot x\cdot x}{2x^{3}+x^{3}+x^{% 3}}$ (1.29)

$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}}{4x^{3}}=\frac{1}{4}.$ (1.30)

1.2.2 Limites gerais

A noção de limite ao longo de uma curva é útil para analisar o comportamento de funções de várias variáveis reais, mas não é suficiente para determinar o limite “geral” da função em um ponto. O limite de uma função $f(x,y)$ quando $(x,y)$ se aproxima do ponto $(x_{0},y_{0})$ é $L$ e é denotado por

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=L,

(1.31)

quado, $f(x,y)$ é arbitrariamente próximo de $L$ para todos os pontos $(x,y)$ suficientemente próximos de $(x_{0},y_{0})$ , exceto possivelmente no próprio ponto $(x_{0},y_{0})$ . Quando existe, o limite de uma função de várias variáveis reais em um ponto é o mesmo, independentemente da direção ou da curva ao longo da qual nos aproximamos do ponto.

Exemplo 1.2.3.

	$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,-1)}xe^{y+1}=1\cdot e^{(-1)+1}$		(1.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot e^{0}=1.$		(1.33)

Os limites de funções ao longo de curvas podem ser usados para mostrar que o limite de uma função de várias variáveis reais não existe em um ponto. Se os limites ao longo de diferentes curvas que passam pelo ponto são diferentes, então o limite da função nesse ponto não existe.

Exemplo 1.2.4.

O limite da função de duas variáveis reais

\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}-2y^{2}}

(1.34)

quando $(x,y)$ se aproxima do ponto $(0,0)$ não existe. De fato, no Exemplo 1.2.1 foi mostrado que os limites ao longo das curvas $y=0$ e $y=x$ são diferentes, portanto, o limite geral da função $f(x,y)$ quando $(x,y)$ se aproxima do ponto $(0,0)$ não existe.

1.2.3 Continuidade

O conceito de continuidade para funções de várias variáveis reais é uma extensão do conceito de continuidade para funções de uma variável real. Uma função $f(x,y)$ é contínua em um ponto $(x_{0},y_{0})$ se o limite da função quando $(x,y)$ se aproxima do ponto $(x_{0},y_{0})$ existe e é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja,

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=f(x_{0},y_{0}).

(1.35)

Quando uma função é contínua em todos os pontos de seu domínio, dizemos que a função é contínua em toda parte. Neste caso, a função não apresenta descontinuidades, e seu gráfico é uma superfície sem rupturas, degraus ou buracos.

Exemplo 1.2.5.(Função descontínua)

A função

\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}-2y^{2}}

(1.36)

foi estudada no Exemplo 1.2.1. Como o limite da função não existe quando $(x,y)$ se aproxima do ponto $(0,0)$ , a função $f(x,y)$ não é contínua nesse ponto. De fato, a função apresenta uma descontinuidade no ponto $(0,0)$ . A função $f(x,y)$ também é descontínua em todos os pontos do conjunto $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}-2y^{2}=0\}$ , pois o denominador da função se anula nesses pontos, tornando a função indefinida. Consultemos o gráfico da função na Figura 1.8.

Identificando funções contínuas

A continuidade de funções pode ser analisada por diferentes combinações de operações com funções contínuas. Estudemos algumas dessas propriedades de continuidade:

a)

Se $g(x)$ é função contínua em $x_{0}$ e $h(y)$ é função contínua em $y_{0}$ , então a função $f(x,y)=g(x)h(y)$ é contínua em $(x_{0},y_{0})$ .

Exemplo. Seja $g(x)=x^{2}$ e $h(y)=\operatorname{sen}(y)$ . Ambas são funções contínuas em todos os pontos de seus domínios. Portanto, a função $f(x,y)=g(x)h(y)=x^{2}\operatorname{sen}(y)$ é contínua em todos os pontos de seu domínio.
b)

Se $h(x,y)$ é função contínua em $(x_{0},y_{0})$ e $g(z)$ é função contínua em $z_{0}=h(x_{0},y_{0})$ , então a função composta $f(x,y)=g(h(x,y))$ é contínua em $(x_{0},y_{0})$ .

Ex. Seja $h(x,y)=x^{2}+y^{2}$ e $g(z)=e^{-z}$ . Ambas são funções contínuas em todos os pontos de seus domínios. Portanto, a função composta $f(x,y)=g(h(x,y))=e^{-(x^{2}+y^{2})}$ é contínua em todos os pontos de seu domínio.
c)

Se $f(x,y)$ é função contínua em $(x_{0},y_{0})$ e $x(t)$ e $y(t)$ são funções contínuas em $t_{0}$ , com $x(t_{0})=x_{0}$ e $y(t_{0})=y_{0}$ , então a função composta $g(t)=f(x(t),y(t))$ é contínua em $t_{0}$ .

Ex. Seja $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ , $x(t)=\operatorname{sen}(t)$ e $y(t)=\cos(t)$ . A função $f(x,y)$ é contínua em todos os pontos de seu domínio, e as funções $x(t)$ e $y(t)$ são contínuas em todos os pontos de seus domínios. Portanto, a função composta $g(t)=f(x(t),y(t))=\operatorname{sen}^{2}(t)+\cos^{2}(t)=1$ é contínua em todos os pontos de seu domínio.

A soma, a diferença, o produto e o quociente (quando o denominador não é zero) de funções contínuas são funções contínuas.

Ex. Sejam $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ e $g(x,y)=e^{x+y}$ . Ambas são funções contínuas em todos os pontos de seus domínios. Portanto, também são contínuas as funções

	$\displaystyle h(x,y)=f(x,y)+g(x,y)=x^{2}+y^{2}+e^{x+y},$		(1.37)
	$\displaystyle k(x,y)=f(x,y)-g(x,y)=x^{2}+y^{2}-e^{x+y},$		(1.38)
	$\displaystyle m(x,y)=f(x,y)g(x,y)=(x^{2}+y^{2})e^{x+y},$		(1.39)
	$\displaystyle n(x,y)=\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{x^{2}+y^{2}}{e^{x+y}}.$		(1.40)

Neste último caso, notemos que $g(x,y)=e^{x+y}\neq 0$ para todos os pontos $(x,y)$ , condição necessária para que a função $n(x,y)$ seja contínua em toda a parte.

1.2.4 Exercícios

E. 1.2.1.

Seja

\displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}.

(1.41)

Calcule os seguintes limites:

a)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }% x=0}}}f(x,y)$
b)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }% y=0}}}f(x,y)$
c)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }% y=x}}}f(x,y)$
d)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }% x=-y}}}f(x,y)$
e)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }% y=x^{2}}}}f(x,y)$

a) $-1$ ; b) $1$ ; c) $\not\exists$ ; d) $\not\exists$ ; e) $1$ .

E. 1.2.2.

Seja

\displaystyle f(x,y,z)=\frac{xyz}{x^{3}-y^{3}+z^{3}}.

(1.42)

Calcule os seguintes limites:

a)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y,z)\to(0,0,0)}}{{\text{ao longo % de }x=0,y=0}}}f(x,y,z)$
b)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y,z)\to(0,0,0)}}{{\text{ao longo % de }y=0,z=0}}}f(x,y,z)$
c)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y,z)\to(0,0,0)}}{{\text{ao longo % de }z=0,x=0}}}f(x,y,z)$
d)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y,z)\to(0,0,0)}}{{\text{ao longo % de }x=y=z}}}f(x,y,z)$
e)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y,z)\to(0,0,0)}}{{\text{ao longo % de }y=-z,x=2z}}}f(x,y,z)$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $1$ ; e) $\frac{-1}{5}$ .

E. 1.2.3.

Seja

\displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.

(1.43)

Calcule os seguintes limites:

a)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(1,-1)}}{{\text{ao longo de % }x=1}}}f(x,y)$
b)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(1,-1)}}{{\text{ao longo de % }y=-1}}}f(x,y)$
c)

$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(1,-1)}}{{\text{ao longo de % }y=x^{2}-x}}}f(x,y)$
d)

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,-1)}f(x,y)$

a) $-1/2$ . b) $-1/2$ . c) $-1/2$ . d) $-1/2$ .

E. 1.2.4.

Calcule os seguintes limites:

a)

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(2,-3)}\frac{x^{2}+y^{2}-12}{x+y}$
b)

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(-1,2)}xye^{x+y}$
c)

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(-\frac{1}{2},1)}\operatorname{sen}(\pi x)\cos(\pi y)$

a) $-1$ . b) $-2e$ . c) $1$ .

E. 1.2.5.

A função

\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{2x^{2}-y^{2}}.

(1.44)

é contínua em todos os pontos de seu domínio? Caso seja descontínua em algum ponto, mostre que o limite ao longo de duas diferentes curvas que passam por esse ponto é diferente, provando que o limite da função nesse ponto não existe.

$f$ é descontínua em $(0,0)$ . $\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }y=0}}}f(x,y)=0$ e $\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }y=x}}}f(x,y)=1$ .

E. 1.2.6.

São contínuas em todos os pontos de seus domínios as seguintes funções? Justifique sua resposta.

a)

$f(x,y)=x^{2}e^{-y^{2}}$
b)

$g(x,y)=\operatorname{sen}(\pi xy^{2})$
c)

$h(x,y)=x^{2}y+y^{2}-1$
d)

$k(x,y)=\operatorname{sen}(\pi xy)\cos(\pi(x+y))$
e)

$m(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}$

a) $f$ é contínua em toda parte, pois é o produto de funções contínuas de uma variável real. b) $g$ é contínua em toda parte, pois é a composição de uma função contínua de uma variável real com uma função contínua de duas variáveis reais. c) $h$ é contínua em toda parte, pois é a soma de funções contínuas. d) $k$ é contínua em toda parte, pois é o produto de funções contínuas. e) $m$ é contínua em toda parte, pois é o quociente de funções contínuas, e o denominador nunca se anula.

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Cálculo II

1.2 Limites e continuidade

1.2.1 Limites ao longo de uma curva

Exemplo 1.2.1.

Exemplo 1.2.2.

1.2.2 Limites gerais

Exemplo 1.2.3.

Exemplo 1.2.4.

1.2.3 Continuidade

Exemplo 1.2.5.(Função descontínua)

Identificando funções contínuas

1.2.4 Exercícios

E. 1.2.1.

E. 1.2.2.

E. 1.2.3.

E. 1.2.4.

E. 1.2.5.

E. 1.2.6.

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	$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }% y=0}}}f(x,y)=\lim_{x\to 0}f(x,0)$		(1.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot 0}{x^{2}-2\cdot 0^{2}}$		(1.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}0=0.$		(1.15)

	$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y)\to(0,0)}}{{\text{ao longo de }% y=x}}}f(x,y)=\lim_{x\to 0}f(x,x)$		(1.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot x}{x^{2}-2\cdot x^{2}}$		(1.17)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{-x^{2}}=-1.$		(1.18)

	$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y,z)\to(0,0,0)}}{{\text{ao longo % de }x=0,z=0}}}g(x,y,z)=\lim_{y\to 0}g(0,y,0)$		(1.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{y\to 0}\frac{0\cdot y\cdot 0}{2\cdot 0^{3}+y^{% 3}+0^{3}}$		(1.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{y\to 0}0=0.$		(1.27)

	$\displaystyle\lim_{\stackrel{{\scriptstyle(x,y,z)\to(0,0,0)}}{{\text{ao longo % de }x=y=z}}}g(x,y,z)=\lim_{x\to 0}g(x,x,x)$		(1.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot x\cdot x}{2x^{3}+x^{3}+x^{% 3}}$		(1.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}}{4x^{3}}=\frac{1}{4}.$		(1.30)