Cálculo II

4 Cálculo vetorial 4.1 Funções vetoriais 4.3 Campos vetoriais

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4.2 Cálculo de funções vetoriais

Nesta seção, estudaremos o cálculo de funções vetoriais de uma variável real, incluindo limites, derivadas e integrais.

4.2.1 Limites de funções vetoriais

Seja $\bm{f}(t)=f_{1}(t)\bm{i}+f_{2}(t)\bm{j}+f_{3}(t)\bm{k}$ uma função vetorial de uma variável real. O limite de $\bm{f}(t)$ quando $t$ tende a $t_{0}$ é

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\lim_{t\to t_{0}}\bm{f}(t)=% \left[\lim_{t\to t_{0}}f_{1}(t)\right]\bm{i}+\left[\lim_{t\to t_{0}}f_{2}(t)% \right]\bm{j}+\left[\lim_{t\to t_{0}}f_{3}(t)\right]\bm{k},

(4.17)

desde que os limites das componentes $f_{1}$ , $f_{2}$ e $f_{3}$ existam. Em outras palavras, o limite de uma função vetorial é o vetor formado pelos limites de suas componentes, quando existem.

De forma análoga a funções reais de uma variável real, dizemos que a função vetorial $\bm{f}$ é contínua em $t_{0}$ quando

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\lim_{t\to t_{0}}\bm{f}(t)=% \bm{f}(t_{0}),

(4.18)

i.e. existe o limite de $\bm{f}(t)$ quando $t$ tende a $t_{0}$ , existe $\bm{f}(t_{0})$ e os dois são iguais.

Exemplo 4.2.1.

Seja $\bm{f}(t)=\operatorname{sen}(\pi t)\bm{i}+\ln(t+1)\bm{j}+\frac{1}{t-2}\bm{k}$ . Vamos calcular o limite de $\bm{f}(t)$ quando $t$ tende a $\frac{1}{2}$ .

	$\displaystyle\lim_{t\to\frac{1}{2}}\bm{f}(t)=\left[\lim_{t\to\frac{1}{2}}% \operatorname{sen}(\pi t)\right]\bm{i}+\left[\lim_{t\to\frac{1}{2}}\ln(t+1)% \right]\bm{j}+\left[\lim_{t\to\frac{1}{2}}\frac{1}{t-2}\right]\bm{k}$		(4.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\bm{i}+% \ln\left(\frac{3}{2}\right)\bm{j}+\frac{1}{\frac{1}{2}-2}\bm{k}$		(4.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=\bm{i}+\ln\left(\frac{3}{2}\right)\bm{j}-\frac{2}{3}% \bm{k}.$		(4.21)

Esta função vetorial é contínua em $t=\frac{1}{2}$ , pois o limite de $\bm{f}(t)$ quando $t$ tende a $\frac{1}{2}$ existe e é igual a $\bm{f}\left(\frac{1}{2}\right)$ . Esta função é contínua nos pontos $t=-1$ e $t=2$ ? Verifique!

4.2.2 Derivadas de funções vetoriais

Seja $\bm{f}(t)=f_{1}(t)\bm{i}+f_{2}(t)\bm{j}+f_{3}(t)\bm{k}$ uma função vetorial de uma variável real. A derivada de $\bm{f}$ em relação a $t$ é a função vetorial $\bm{f}^{\prime}(t)$ definida por

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\bm{f}^{\prime}(t)=\frac{d% \bm{f}}{dt}=\lim_{h\to 0}\frac{\bm{f}(t+h)-\bm{f}(t)}{h}.

(4.22)

Como consequência direta da definição, temos que a derivada de uma função vetorial é o vetor formado pelas derivadas de suas componentes, quando existem:

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\bm{f}^{\prime}(t)=f_{1}^{% \prime}(t)\bm{i}+f_{2}^{\prime}(t)\bm{j}+f_{3}^{\prime}(t)\bm{k}.

(4.23)

Geometricamente, quando $\bm{f}^{\prime}(t_{0})\neq\bm{0}$ , a derivada de uma função vetorial $\bm{f}$ no ponto $t_{0}$ é um vetor tangente à curva representada por $\bm{f}$ no ponto $\bm{f}(t_{0})$ .

Exemplo 4.2.2.(Derivada, vetor e reta tangente)

A função $\bm{f}(t)=\operatorname{sen}(\pi t)\bm{i}+(2t-e^{-t})\bm{j}+\ln(t)\bm{k}$ tem como derivada

\displaystyle\bm{f}^{\prime}(t)=\pi\cos(\pi t)\bm{i}+(2+e^{-t})\bm{j}+\frac{1}% {t}\bm{k}.

(4.24)

Refer to caption — Figura 4.4: Gráfico da função vetorial de uma variável real $\bm{f}(t)=(\operatorname{sen}(\pi t),(2t-e^{-t}),\ln(t))$ , o ponto $\bm{f}(1)$ , o vetor e a reta tangente por este ponto.

O vetor tangente à curva representada por $\bm{f}$ no ponto $t=1$ é

\displaystyle\bm{f}^{\prime}(1)=-\pi\bm{i}+(2+e^{-1})\bm{j}+\bm{k}.

(4.25)

Com o ponto $\bm{f}(1)=(0,2-e^{-1},0)$ e o vetor tangente $\bm{f}^{\prime}(1)=(-\pi,2+e^{-1},1)$ , a equação vetorial da reta tangente à curva representada por $\bm{f}$ no ponto $t=1$ é

	$\displaystyle\bm{r}(t)=\bm{f}(1)+t\bm{f}^{\prime}(1)$		(4.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=(0,2-e^{-1},0)+t(-\pi,2+e^{-1},1).$		(4.27)

A Figura 4.4 mostra o gráfico da função vetorial $\bm{f}$ , o ponto $\bm{f}(1)$ , o vetor e a reta tangente neste ponto.

As seguintes regras de derivação são válidas¹¹1As regras são válidas quando todas as derivadas envolvidas existirem. para funções vetoriais de uma variável real:

a)

Função constante

$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\frac{d}{dt}[\bm{c}]=\bm{0}.$ (4.28)
b)

Multiplicação por escalar

$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\frac{d}{dt}[c\bm{f}(t)]=c% \frac{d\bm{f}}{dt}.$ (4.29)
c)

Soma/diferença de funções vetoriais

$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\frac{d}{dt}[\bm{f}(t)\pm% \bm{g}(t)]=\frac{d\bm{f}}{dt}\pm\frac{d\bm{g}}{dt}.$ (4.30)
d)

Produto por função escalar

$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\frac{d}{dt}[u(t)\bm{f}(t)]% =u^{\prime}(t)\bm{f}(t)+u(t)\frac{d\bm{f}}{dt}.$ (4.31)

Exemplo 4.2.3.(Derivada do produto por função escalar)

Seja $\bm{f}(t)=\operatorname{sen}(t)\bm{i}+\ln(t)\bm{j}+t^{2}\bm{k}$ e $u(t)=t^{2}$ . A derivada do produto $u(t)\bm{f}(t)$ é

	$\displaystyle\frac{d}{dt}[u(t)\bm{f}(t)]=u^{\prime}(t)\bm{f}(t)+u(t)\frac{d\bm% {f}}{dt}$		(4.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=2t(\operatorname{sen}(t)\bm{i}+\ln(t)\bm{j}+t^{2}\bm% {k})+t^{2}(\cos(t)\bm{i}+\frac{1}{t}\bm{j}+2t\bm{k})$		(4.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2t\operatorname{sen}(t)+t^{2}\cos(t))\bm{i}+(2t\ln(% t)+t)\bm{j}+4t^{3}\bm{k}.$		(4.34)

4.2.3 Derivadas dos produtos escalares e vetoriais

Sejam $\bm{u}(t)$ e $\bm{v}(t)$ funções vetoriais de uma variável real. A regra de derivação do produto escalar é

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\frac{d}{dt}[\bm{u}(t)\cdot% \bm{v}(t)]=\frac{d\bm{u}}{dt}\cdot\bm{v}(t)+\bm{u}(t)\cdot\frac{d\bm{v}}{dt}.

(4.35)

Exemplo 4.2.4.

Sejam $\bm{u}(t)=\operatorname{sen}(t)\bm{i}+\ln(t)\bm{j}+t^{2}\bm{k}$ e $\bm{v}(t)=t\bm{i}+e^{t}\bm{j}+\frac{1}{t}\bm{k}$ . A derivada do produto escalar $\bm{u}(t)\cdot\bm{v}(t)$ é

	$\displaystyle\frac{d}{dt}[\bm{u}(t)\cdot\bm{v}(t)]=\frac{d\bm{u}}{dt}\cdot\bm{% v}(t)+\bm{u}(t)\cdot\frac{d\bm{v}}{dt}$		(4.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\cos(t)\bm{i}+\frac{1}{t}\bm{j}+2t\bm{k})\cdot(t\bm% {i}+e^{t}\bm{j}+\frac{1}{t}\bm{k})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+(\operatorname{sen}(t)\bm{i}+\ln(t)\bm{j}+t^{2}\bm{% k})\cdot\left(\bm{i}+e^{t}\bm{j}-\frac{1}{t^{2}}\bm{k}\right)$		(4.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=t\cos(t)+\frac{e^{t}}{t}+2+\operatorname{sen}(t)+e^{% t}\ln(t)-1$		(4.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=t\cos(t)+\operatorname{sen}(t)+e^{t}\left(\frac{1}{t% }+\ln(t)\right)+1.$		(4.39)

Observação 4.2.1.(Função de norma constante)

Uma função vetorial $\bm{f}(t)$ de norma constante, i.e. $\|\bm{f}(t)\|=c$ , tem derivada ortogonal a $\bm{f}(t)$ , i.e.

\displaystyle\bm{f}(t)\cdot\bm{f}^{\prime}(t)=0.

(4.40)

De fato, temos que

\displaystyle 0=\frac{d}{dt}[\|\bm{f}(t)\|^{2}]=\frac{d}{dt}[\bm{f}(t)\cdot\bm% {f}(t)]=2\bm{f}(t)\cdot\bm{f}^{\prime}(t).

(4.41)

A regra de derivação do produto vetorial é

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\frac{d}{dt}[\bm{u}(t)% \times\bm{v}(t)]=\frac{d\bm{u}}{dt}\times\bm{v}(t)+\bm{u}(t)\times\frac{d\bm{v% }}{dt}.

(4.42)

Exemplo 4.2.5.

Para as mesmas funções vetoriais do Exemplo 4.2.4, a derivada do produto vetorial $\bm{u}(t)\times\bm{v}(t)$ é

	$\displaystyle\frac{d}{dt}[\bm{u}(t)\times\bm{v}(t)]=\frac{d\bm{u}}{dt}\times% \bm{v}(t)+\bm{u}(t)\times\frac{d\bm{v}}{dt}$		(4.43)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\cos(t)\bm{i}+\frac{1}{t}\bm{j}+2t\bm{k})\times(t% \bm{i}+e^{t}\bm{j}+\frac{1}{t}\bm{k})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+(\operatorname{sen}(t)\bm{i}+\ln(t)\bm{j}+t^{2}\bm{% k})\times\left(\bm{i}+e^{t}\bm{j}-\frac{1}{t^{2}}\bm{k}\right)$		(4.44)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\frac{1-\ln(t)}{t^{2}}-2te^{t}-t^{2}e^{t}% \right)\bm{i}+\left(3t^{2}-\frac{\cos(t)}{t}+\frac{\operatorname{sen}(t)}{t^{2% }}\right)\bm{j}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\left(e^{t}\operatorname{sen}(t)+e^{t}\cos(t)-\ln(t% )-1\right)\bm{k}.$		(4.45)

4.2.4 Integração de funções vetoriais

A integral definida de uma função vetorial $\bm{f}(t)=f_{1}(t)\bm{i}+f_{2}(t)\bm{j}+f_{3}(t)\bm{k}$ pode ser definida como o limite da soma de Riemann, i.e.

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{a}^{b}\bm{f}(t)dt=% \lim_{\max_{i}\Delta t_{i}\to 0}\sum_{i=1}^{n}\bm{f}(t_{i}^{*})\Delta t_{i},

(4.46)

onde $\Delta t_{i}$ é o tamanho do $i$ -ésimo subintervalo, com $t_{i}^{*}\in[t_{i-1},t_{i}]$ para $i=1,2,\ldots,n$ . Como consequência, quando existem, a integral pode ser calculada como a integral de cada componente da função vetorial, i.e.

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{a}^{b}\bm{f}(t)dt=% \left[\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt\right]\bm{i}+\left[\int_{a}^{b}f_{2}(t)dt\right]% \bm{j}+\left[\int_{a}^{b}f_{3}(t)dt\right]\bm{k}.

(4.47)

Exemplo 4.2.6.

Seja $\bm{f}(t)=\operatorname{sen}(\pi t)\bm{i}+(2t-e^{-t})\bm{j}+\frac{1}{t}\bm{k}$ . A integral definida de $\bm{f}$ no intervalo $[1,2]$ é

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\bm{f}(t)dt=\left[\int_{1}^{2}\operatorname{sen}(\pi t% )dt\right]\bm{i}+\left[\int_{1}^{2}(2t-e^{-t})dt\right]\bm{j}+\left[\int_{1}^{% 2}\frac{1}{t}dt\right]\bm{k}$		(4.48)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t)\right]_{1}^{2}\bm{i}% +\left[t^{2}+e^{-t}\right]_{1}^{2}\bm{j}+\left[\ln(t)\right]_{1}^{2}\bm{k}$		(4.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(-\frac{1}{\pi}\cos(2\pi)+\frac{1}{\pi}\cos(\pi% )\right)\bm{i}+\left(4+e^{-2}-1-e^{-1}\right)\bm{j}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\left(\ln(2)-\ln(1)\right)\bm{k}$		(4.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{2}{\pi}\bm{i}+\left(3+e^{-2}-e^{-1}\right)\bm% {j}+\ln(2)\bm{k}.$		(4.51)

Quando todas as integrais envolvidas existem, valem as seguintes regras de integração para funções vetoriais de uma variável real:

a)

Multiplicação por escalar

$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{a}^{b}c\bm{f}(t)dt=c% \int_{a}^{b}\bm{f}(t)dt.$ (4.52)
b)

Soma/diferença de funções vetoriais

$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int_{a}^{b}[\bm{f}(t)\pm% \bm{g}(t)]dt=\int_{a}^{b}\bm{f}(t)dt\pm\int_{a}^{b}\bm{g}(t)dt.$ (4.53)

A antiderivada de uma função vetorial $\bm{f}(t)$ é a função vetorial $\bm{F}(t)$ tal que

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\bm{F}^{\prime}(t)=\bm{f}(t).

(4.54)

Com isso, a integral indefinida de $\bm{f}(t)$ fica definida como

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\int\bm{f}(t)dt=\bm{F}(t)+% \bm{c},

(4.55)

onde $\bm{c}$ é um vetor constante.

Exemplo 4.2.7.

	$\displaystyle\int(\operatorname{sen}(t)\bm{i}+2t\bm{j}+\frac{1}{t}\bm{k})dt=% \left[\int\operatorname{sen}(t)\,dt\right]\bm{i}+\left[\int 2t\,dt\right]\bm{j% }+\left[\int\frac{1}{t}\,dt\right]\bm{k}$		(4.56)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-\cos(t)+c_{1})\bm{i}+(t^{2}+c_{2})\bm{j}+(\ln\|t\|+c% _{3})\bm{k},$		(4.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(t)\bm{i}+t^{2}\bm{j}+\ln\|t\|\bm{k}+\bm{c}.$		(4.58)

4.2.5 Exercícios

E. 4.2.1.

Calcule o limite da função vetorial

\displaystyle\bm{f}(t)=\frac{t^{2}-1}{t-1}\bm{i}+\sqrt{t+3}\bm{j}+e^{t}\bm{k}

quando $t$ tende a $1$ .

$\displaystyle\lim_{t\to 1}\bm{f}(t)=2\bm{i}+2\bm{j}+e\bm{k}$ .

E. 4.2.2.

Considere a função vetorial

\displaystyle\bm{g}(t)=\frac{t^{2}-1}{t-1}\bm{i}+\ln(t)\bm{j}+(t+1)\bm{k},% \quad t>0,\ t\neq 1.

Determine $\lim_{t\to 1}\bm{g}(t)$ e o valor que deve ser atribuído a $\bm{g}(1)$ para que a função estendida seja contínua em $t=1$ .

$\displaystyle\lim_{t\to 1}\bm{g}(t)=2\bm{i}+2\bm{k}$ . Deve-se definir $\bm{g}(1)=2\bm{i}+2\bm{k}$ .

E. 4.2.3.

Seja $\bm{f}(t)=\cos(t)\bm{i}+t^{2}\bm{j}+\ln(t)\bm{k}$ . Determine $\bm{f}^{\prime}(t)$ , o vetor tangente em $t=1$ e uma equação vetorial da reta tangente nesse ponto.

$\bm{f}^{\prime}(t)=-\operatorname{sen}(t)\bm{i}+2t\bm{j}+\frac{1}{t}\bm{k}$ e $\bm{f}^{\prime}(1)=-\operatorname{sen}(1)\bm{i}+2\bm{j}+\bm{k}$ . Como $\bm{f}(1)=\cos(1)\bm{i}+\bm{j}$ , uma equação da reta tangente é $\bm{r}(t)=(\cos(1),1,0)+t(-\operatorname{sen}(1),2,1)$ .

E. 4.2.4.

Sejam $p(t)=t^{2}$ , $\bm{u}(t)=t\bm{i}+t^{2}\bm{j}+\bm{k}$ e $\bm{v}(t)=\bm{i}+t\bm{j}+t^{2}\bm{k}$ . Calcule as derivadas de $p(t)\bm{u}(t)$ , $\bm{u}(t)\cdot\bm{v}(t)$ e $\bm{u}(t)\times\bm{v}(t)$ .

$\displaystyle\frac{d}{dt}[p(t)\bm{u}(t)]=3t^{2}\bm{i}+4t^{3}\bm{j}+2t\bm{k}$ , $\displaystyle\frac{d}{dt}[\bm{u}(t)\cdot\bm{v}(t)]=1+2t+3t^{2}$ e $\displaystyle\frac{d}{dt}[\bm{u}(t)\times\bm{v}(t)]=(4t^{3}-1)\bm{i}-3t^{2}\bm% {j}$ .

E. 4.2.5.

Seja $\bm{f}(t)=\cos(t)\bm{i}+2t\bm{j}+e^{t}\bm{k}$ . Calcule $\int\bm{f}(t)\,dt$ e $\int_{0}^{1}\bm{f}(t)\,dt$ .

$\displaystyle\int\bm{f}(t)\,dt=\operatorname{sen}(t)\bm{i}+t^{2}\bm{j}+e^{t}% \bm{k}+\bm{c}$ e $\displaystyle\int_{0}^{1}\bm{f}(t)\,dt=\operatorname{sen}(1)\bm{i}+\bm{j}+(e-1% )\bm{k}$ .

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