Cálculo II

4 Cálculo vetorial 4 Cálculo vetorial 4.2 Cálculo de funções vetoriais

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4.1 Funções vetoriais

Funções vetoriais associam a cada valor de um parâmetro um vetor, permitindo descrever curvas no plano ou no espaço. Nesta seção, estudaremos sua representação por componentes e veremos como parametrizações simples descrevem retas e circunferências.

4.1.1 Funções de valores vetoriais a uma variável real

Uma função $\bm{f}:D\to\mathbb{R}^{3}$ , com $D\subseteq\mathbb{R}$ , é chamada de função vetorial de uma variável real. A função $\bm{f}$ pode ser representada como

	$\displaystyle\bm{f}(t)=\left(f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\right)$		(4.1)
	$\displaystyle\text{}\quad=f_{1}(t)\bm{i}+f_{2}(t)\bm{j}+f_{3}(t)\bm{k},$		(4.2)

para todo $t\in D$ , onde suas componentes $f_{1}$ , $f_{2}$ e $f_{3}$ são funções reais de uma variável real. O domínio de $\bm{f}$ é o conjunto dos números reais $t\in D$ para os quais as funções $f_{1}$ , $f_{2}$ e $f_{3}$ estão definidas.

Exemplo 4.1.1.

A função vetorial de uma variável real

\displaystyle\bm{f}(t)=\operatorname{sen}(t)\bm{i}+(2t-e^{-t})\bm{j}+\ln(t)\bm% {k}

(4.3)

tem como componentes as funções reais

	$\displaystyle f_{1}(t)=\operatorname{sen}(t),$		(4.4)
	$\displaystyle f_{2}(t)=2t-e^{-t},$		(4.5)
	$\displaystyle f_{3}(t)=\ln(t).$		(4.6)

O domínio de $\bm{f}$ é $t>0$ , pois a função $\ln(t)$ não está definida para $t\leq 0$ . A Figura 4.1 mostra o gráfico da função vetorial $\bm{f}$ .

Refer to caption — Figura 4.1: Gráfico da função vetorial de uma variável real $\bm{f}(t)=(\operatorname{sen}(t),(2t-e^{-t}),\ln(t))$ .

Uma função vetorial de uma variável real da forma

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\bm{f}(t)=R\cos(t)\bm{i}+R% \operatorname{sen}(t)\bm{j}+z_{0}\bm{k},

(4.7)

onde $R>0$ e $z_{0}$ são constantes, representa uma circunferência de raio $R$ no plano $z=z_{0}$ .

Exemplo 4.1.2.(Circunferência)

O gráfico da função vetorial de uma variável real

\displaystyle\bm{f}(t)=\cos(t)\bm{i}+\operatorname{sen}(t)\bm{j}

(4.8)

é uma circunferência de raio $1$ no plano $x y$ . A Figura 4.2 mostra essa curva.

De fato, as componentes da função vetorial $\bm{f}$ são as funções reais

	$\displaystyle x(t)=\cos(t),$		(4.9)
	$\displaystyle y(t)=\operatorname{sen}(t),$		(4.10)

e temos que

\displaystyle x^{2}(t)+y^{2}(t)=\cos^{2}(t)+\operatorname{sen}^{2}(t)=1,

(4.11)

que é a equação de uma circunferência de raio $1$ no plano $x y$ .

Uma função vetorial de uma variável real da forma

\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\bm{f}(t)=\bm{r}_{0}+t\bm{v},

(4.12)

onde $\bm{r}_{0}$ é um vetor (posição) e $\bm{v}$ é um vetor (direção), representa uma reta que passa pelo ponto de posição $\bm{r}_{0}$ e tem direção do vetor $\bm{v}$ .

Exemplo 4.1.3.(Reta)

O gráfico da função vetorial de uma variável real

\displaystyle\bm{f}(t)=(1,-1,1)+t(2,1,-1)

(4.13)

é uma reta que passa pelo ponto de posição $(1,-1,1)$ e tem direção do vetor $(2,1,-1)$ . A Figura 4.3 mostra essa curva.

4.1.2 Exercícios

E. 4.1.1.

Determine as componentes e o domínio da função vetorial de uma variável real

\displaystyle\bm{f}(t)=\sqrt{4-t^{2}}\bm{i}+\ln(t+1)\bm{j}+\frac{1}{t-2}\bm{k}.

(4.14)

As componentes são $f_{1}(t)=\sqrt{4-t^{2}}$ , $f_{2}(t)=\ln(t+1)$ e $f_{3}(t)=\frac{1}{t-2}$ . O domínio é $-1<t<2$ .

E. 4.1.2.

Escreva a função vetorial de uma variável real que representa a circunferência de raio $2$ no plano $z=-1$ .

$\bm{f}(t)=2\cos(t)\bm{i}+2\operatorname{sen}(t)\bm{j}-\bm{k}$

E. 4.1.3.

Escreva a função vetorial de uma variável real que representa a reta que passa pelos pontos $P(1,-2,1)$ e $Q(-1,0,2)$ .

$\bm{f}(t)=(1,-2,1)+t(-2,2,1)$

E. 4.1.4.

A função vetorial de uma variável real

\displaystyle\bm{f}(t)=\cos(t)\bm{i}+\operatorname{sen}(t)\bm{j}+t\bm{k}

(4.15)

representa:

a)

uma circunferência?
b)

uma reta?
c)

uma hélice?

c) uma hélice

E. 4.1.5.

A função vetorial de uma variável real

\displaystyle\bm{f}(t)=3\cos(t)\bm{i}+3\operatorname{sen}(t)\bm{j}+2\bm{k}

(4.16)

representa qual curva? Determine seu raio, o plano que a contém e sua equação cartesiana.

A curva é uma circunferência de raio $3$ , contida no plano $z=2$ . Sua equação cartesiana é $x^{2}+y^{2}=9$ , $z=2$ .

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4.1 Funções vetoriais

4.1.1 Funções de valores vetoriais a uma variável real

Exemplo 4.1.1.

Exemplo 4.1.2.(Circunferência)

Exemplo 4.1.3.(Reta)

4.1.2 Exercícios

E. 4.1.1.

E. 4.1.2.

E. 4.1.3.

E. 4.1.4.

E. 4.1.5.

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