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Matemática Numérica II

5 Problema de Valor de Contorno 5.2 Método de Elementos Finitos 5.4 Problemas Não-Lineares

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5.3 Método de Volumes Finitos

O Método de Volumes Finitos (MVF) é um método de discretização apropriado para problemas conservativos. Consideramos o seguinte problema linear de valor de contorno (PVC)

	$\displaystyle-u_{xx}=f(x),\leavevmode\nobreak\ a<x<b,$		(5.70a)
	$\displaystyle u(a)=0,$		(5.70b)
	$\displaystyle u(b)=0.$		(5.70c)

onde a incógnita é $u=u(x)$ com dada fonte $f=f(x)$ . A Eq. (5.3) pode ser reescrita na forma conservativa

\operatorname{div}(\boldsymbol{F})=f,

(5.71)

onde $\boldsymbol{F}=-u_{x}$

1. Discretização Espacial.

Assumimos uma malha do domínio $[a,b]$ da forma

a=x_{\frac{1}{2}}<x_{1}<x_{\frac{3}{2}}<\cdots<x_{i-\frac{1}{2}}<x_{i}<x_{i+% \frac{1}{2}}<\cdots<x_{n}<x_{n+\frac{1}{2}}=b,

(5.72)

onde $h=(b-a)/n$ , $x_{i-\frac{1}{2}}=a+(i-1)h$ , $h^{-}=h^{+}=h/2$ , $i=1,2,\dotsc,n$ . Também denotamos $K_{i}=\left(x_{i-\frac{1}{2}},x_{i+\frac{1}{2}}\right)$ a $i$ -ésima célula da malha.

2. Discretização das Equações.

No MVF, as incógnitas $u_{i}$ , $i=1,2,\dotsc,n$ , são as aproximações para o valor médio de $u$ nas células $K_{i}$ , i.e.

u_{i}=\frac{1}{|K_{i}|}\int_{a}^{b}u(x)\,dx.

(5.73)

O problema discreto para $u_{i}$ é obtido tomando a média da Eq. na célula $K_{i}$ , donde temos

	$\displaystyle-\frac{1}{h}\int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}}u_{xx}\,% dx=\frac{1}{h}\int_{K_{i}}f\,dx,$		(5.74a)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{h}% \left[-u_{x}\left(x_{i+\frac{1}{2}}\right)+u_{x}\left(x_{i-\frac{1}{2}}\right)% \right]=\frac{1}{h}\int_{K_{i}}f\,dx$		(5.74b)

Por fórmula de diferenças finitas central, temos

u_{x}\left(x_{i+\frac{1}{2}}\right)=\frac{u_{i}-u_{i-1}}{h}+O(h)

(5.75)

u_{x}\left(x_{i-\frac{1}{2}}\right)=\frac{u_{i+1}-u_{i}}{h}+O(h)

(5.76)

Com isso, obtemos as equações

\frac{1}{h}\left(-\frac{u_{i+1}-u_{i}}{h}+\frac{u_{i}-u_{i-1}}{h}\right)=\frac% {1}{h}\int_{K_{i}}f\,dx,

(5.77)

Rearranjando os termos e aproximando a integral de $f$ pela regra do ponto médio, obtemos

-\frac{1}{h^{2}}u_{i-1}+\frac{2}{h^{2}}u_{i}-\frac{1}{h^{2}}u_{i+1}=f_{i},

(5.78)

onde $f_{i}:=f(x_{i})$ e $i=2,3,\dotsc,n-1$ .

Na célula $K_{1}$ , tomamos a aproximação

	$\displaystyle u_{x}\left(x_{\frac{1}{2}}\right)$	$\displaystyle=\frac{u_{1}-u_{\frac{1}{2}}}{h/2}+O\left(h\right),$		(5.79a)
		$\displaystyle==\frac{u_{1}}{h/2}+O\left(h\right).$		(5.79b)

Aplicando na Eq. (5.74b), obtemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{h}% \left(-\frac{u_{2}-u_{1}}{h}+\frac{u_{1}}{h/2}\right)=\frac{1}{h}\int_{K_{i}}f% \,dx,

(5.80)

Analogamente, integrando na célula $K_{n}$ de fronteira, obtemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{h}% \left(\frac{u_{n}}{h/2}+\frac{u_{n}-u_{n-1}}{h}\right)=\frac{1}{h}\int_{K_{i}}% f\,dx.

(5.81)

Por fim, obtemos o problema discreto

	$\displaystyle\frac{3}{h^{2}}u_{1}-\frac{1}{h^{2}}u_{2}=f_{1},$		(5.82a)
	$\displaystyle-\frac{1}{h^{2}}u_{i-1}+\frac{2}{h^{2}}u_{i}-\frac{1}{h^{2}}u_{i+% 1}=f_{i},$		(5.82b)
	$\displaystyle-\frac{1}{h^{2}}u_{n-1}+\frac{3}{h^{2}}u_{n}=f_{n},$		(5.82c)

para $i=2,3,\dotsc,n-1$ .

3. Resolução do Problema Discreto.

A resolução do problema discreto se resume a computar a solução do sistema linear (5.3). Sua forma matricial é $A\boldsymbol{u}=\boldsymbol{b}$ , onde a matriz de coeficientes $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}$ tem elementos da diagonal são

	$\displaystyle a_{1,1}=\frac{3}{h^{2}},$		(5.83a)
	$\displaystyle a_{i,i}=\frac{2}{h^{2}},\leavevmode\nobreak\ 2\leq i\leq n-1,$		(5.83b)
	$\displaystyle a_{n,n}=\frac{3}{h^{2}},$		(5.83c)

e os demais $a_{i,j}$ para $i\neq j$

a_{i,j}=\left\{\begin{array}[]{ll}-\frac{1}{h^{2}}&,j=i-1\leavevmode\nobreak\ % \text{ou}\leavevmode\nobreak\ j=i+1,\\ 0&,\text{noutros casos}\end{array}\right.

(5.84)

O vetor dos termos constantes é $\boldsymbol{b}=(b_{i}=f_{i})_{i=1}^{n}$ , $f_{i}=f(x_{i})$ e o vetor das incógnitas é $u=(u_{i})_{i=1}^{n}$ , sendo $u_{i}$ a aproximação do valor médio de $u$ na célula $K_{i}$ , $i=1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 5.3.1.

Consideramos o seguinte PVC

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}=\pi^{2}\operatorname{sen}(\pi x),\leavevmode% \nobreak\ 0<x<1,$		(5.85)
	$\displaystyle u(0)=0,$		(5.86)
	$\displaystyle u(1)=0.$		(5.87)

A solução analítica deste problema é $u(x)=\operatorname{sen}(\pi x)$ .

Refer to caption — Figura 5.3: Resultado referente ao Exemplo 5.3.1.

Resolvendo este sistema com $h=10^{-1}$ obtemos a solução numérica apresentada na Figura 5.3.

Código 18: pvc_mvf.py

⬇

1import numpy as np

3# fonte

4def f(x):

5 return np.pi**2*np.sin(np.pi*x)

7# malha

8n = 10

9h = 1./n

10xx = np.linspace(h/2, 1.-h/2, n)

12# prob. discreto

13A = np.zeros((n,n))

14b = np.empty(n)

16# c.c. x = 0

17A[0,0] = 3./h**2

18A[0,1] = -1./h**2

19b[0] = f(xx[0])

21# pts internos

22for i in range(1,n-1):

23 A[i,i-1] = -1./h**2

24 A[i,i] = 2./h**2

25 A[i,i+1] = -1./h**2

26 b[i] = f(xx[i])

28# c.c. x = 1

29A[n-1,n-2] = -1./h**2

30A[n-1,n-1] = 3./h**2

31b[n-1] = f(xx[n-1])

33# resol prob disc

34u = npla.solve(A, b)

36xx = np.concatenate(([0.],xx,[1.]))

37u = np.concatenate(([0.],u,[0.]))

5.3.1 Exercícios

E. 5.3.1.

Considere o PVC

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}=\pi^{2}\cos(\pi x),\leavevmode\nobreak\ 0<x<1,$		(5.88)
	$\displaystyle u(0)=1,$		(5.89)
	$\displaystyle u(1)=-1.$		(5.90)

A solução analítica deste problema é $u(x)=\cos(\pi x)$ . Use o MVF para computar aproximações numéricas $\tilde{\boldsymbol{u}}_{h}$ com tamanhos de malha $h=10^{-1}$ , $10^{-2}$ , $10^{-3}$ , $10^{-4}$ e verifique o erro absoluto $\varepsilon_{h,\text{abs}}:=\|\tilde{\boldsymbol{u}}_{h}-\boldsymbol{u}\|$ .

E. 5.3.2.

Considere o PVC

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}=2,\leavevmode\nobreak\ -1<x<1,$		(5.91)
	$\displaystyle u(-1)=0,$		(5.92)
	$\displaystyle u(1)=0.$		(5.93)

A solução analítica deste problema é $u(x)=1-x^{2}$ . Use o MVF com $n=20$ subintervalos na malha e verifique o erro absoluto $\varepsilon_{\text{abs}}:=\|\tilde{\boldsymbol{u}}_{h}-\boldsymbol{u}\|$ .

E. 5.3.3.

Considere o seguinte PVC

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}+u^{\prime}=f(x),\leavevmode\nobreak\ -1<x<1,$		(5.94a)
	$\displaystyle u(-1)=0,$		(5.94b)
	$\displaystyle u^{\prime}(1)=0,$		(5.94c)

onde

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}1&,x\leq 0\\ 0&,x>0\end{array}\right.

(5.95)

Use uma aproximação adequada pelo MVF para obter o valor aproximado de $u(0)$ com precisão de $2$ dígitos significativos.

Resposta.

$7,2\mathrm{e}\!-\!1$

E. 5.3.4.

Considere o PVC

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}=\pi^{2}\cos(\pi x),\leavevmode\nobreak\ 0<x<1,$		(5.96)
	$\displaystyle u(0)=1,$		(5.97)
	$\displaystyle u^{\prime}(1)=0.$		(5.98)

A solução analítica deste problema é $u(x)=\cos(\pi x)$ . Aplique o MVF para computar uma aproximação numérica com erro absoluto de no máximo $10^{-3}$ na norma $L^{2}$ .

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Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Matemática Numérica II

5 Problema de Valor de Contorno 5.2 Método de Elementos Finitos 5.4 Problemas Não-Lineares

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5.3 Método de Volumes Finitos

O Método de Volumes Finitos (MVF) é um método de discretização apropriado para problemas conservativos. Consideramos o seguinte problema linear de valor de contorno (PVC)

	$\displaystyle-u_{xx}=f(x),\leavevmode\nobreak\ a<x<b,$		(5.70a)
	$\displaystyle u(a)=0,$		(5.70b)
	$\displaystyle u(b)=0.$		(5.70c)

onde a incógnita é $u=u(x)$ com dada fonte $f=f(x)$ . A Eq. (5.3) pode ser reescrita na forma conservativa

\operatorname{div}(\boldsymbol{F})=f,

(5.71)

onde $\boldsymbol{F}=-u_{x}$

1. Discretização Espacial.

Assumimos uma malha do domínio $[a,b]$ da forma

a=x_{\frac{1}{2}}<x_{1}<x_{\frac{3}{2}}<\cdots<x_{i-\frac{1}{2}}<x_{i}<x_{i+% \frac{1}{2}}<\cdots<x_{n}<x_{n+\frac{1}{2}}=b,

(5.72)

onde $h=(b-a)/n$ , $x_{i-\frac{1}{2}}=a+(i-1)h$ , $h^{-}=h^{+}=h/2$ , $i=1,2,\dotsc,n$ . Também denotamos $K_{i}=\left(x_{i-\frac{1}{2}},x_{i+\frac{1}{2}}\right)$ a $i$ -ésima célula da malha.

2. Discretização das Equações.

No MVF, as incógnitas $u_{i}$ , $i=1,2,\dotsc,n$ , são as aproximações para o valor médio de $u$ nas células $K_{i}$ , i.e.

u_{i}=\frac{1}{|K_{i}|}\int_{a}^{b}u(x)\,dx.

(5.73)

O problema discreto para $u_{i}$ é obtido tomando a média da Eq. na célula $K_{i}$ , donde temos

	$\displaystyle-\frac{1}{h}\int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}}u_{xx}\,% dx=\frac{1}{h}\int_{K_{i}}f\,dx,$		(5.74a)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{h}% \left[-u_{x}\left(x_{i+\frac{1}{2}}\right)+u_{x}\left(x_{i-\frac{1}{2}}\right)% \right]=\frac{1}{h}\int_{K_{i}}f\,dx$		(5.74b)

Por fórmula de diferenças finitas central, temos

u_{x}\left(x_{i+\frac{1}{2}}\right)=\frac{u_{i}-u_{i-1}}{h}+O(h)

(5.75)

u_{x}\left(x_{i-\frac{1}{2}}\right)=\frac{u_{i+1}-u_{i}}{h}+O(h)

(5.76)

Com isso, obtemos as equações

\frac{1}{h}\left(-\frac{u_{i+1}-u_{i}}{h}+\frac{u_{i}-u_{i-1}}{h}\right)=\frac% {1}{h}\int_{K_{i}}f\,dx,

(5.77)

Rearranjando os termos e aproximando a integral de $f$ pela regra do ponto médio, obtemos

-\frac{1}{h^{2}}u_{i-1}+\frac{2}{h^{2}}u_{i}-\frac{1}{h^{2}}u_{i+1}=f_{i},

(5.78)

onde $f_{i}:=f(x_{i})$ e $i=2,3,\dotsc,n-1$ .

Na célula $K_{1}$ , tomamos a aproximação

	$\displaystyle u_{x}\left(x_{\frac{1}{2}}\right)$	$\displaystyle=\frac{u_{1}-u_{\frac{1}{2}}}{h/2}+O\left(h\right),$		(5.79a)
		$\displaystyle==\frac{u_{1}}{h/2}+O\left(h\right).$		(5.79b)

Aplicando na Eq. (5.74b), obtemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{h}% \left(-\frac{u_{2}-u_{1}}{h}+\frac{u_{1}}{h/2}\right)=\frac{1}{h}\int_{K_{i}}f% \,dx,

(5.80)

Analogamente, integrando na célula $K_{n}$ de fronteira, obtemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{h}% \left(\frac{u_{n}}{h/2}+\frac{u_{n}-u_{n-1}}{h}\right)=\frac{1}{h}\int_{K_{i}}% f\,dx.

(5.81)

Por fim, obtemos o problema discreto

	$\displaystyle\frac{3}{h^{2}}u_{1}-\frac{1}{h^{2}}u_{2}=f_{1},$		(5.82a)
	$\displaystyle-\frac{1}{h^{2}}u_{i-1}+\frac{2}{h^{2}}u_{i}-\frac{1}{h^{2}}u_{i+% 1}=f_{i},$		(5.82b)
	$\displaystyle-\frac{1}{h^{2}}u_{n-1}+\frac{3}{h^{2}}u_{n}=f_{n},$		(5.82c)

para $i=2,3,\dotsc,n-1$ .

3. Resolução do Problema Discreto.

	$\displaystyle a_{1,1}=\frac{3}{h^{2}},$		(5.83a)
	$\displaystyle a_{i,i}=\frac{2}{h^{2}},\leavevmode\nobreak\ 2\leq i\leq n-1,$		(5.83b)
	$\displaystyle a_{n,n}=\frac{3}{h^{2}},$		(5.83c)

e os demais $a_{i,j}$ para $i\neq j$

a_{i,j}=\left\{\begin{array}[]{ll}-\frac{1}{h^{2}}&,j=i-1\leavevmode\nobreak\ % \text{ou}\leavevmode\nobreak\ j=i+1,\\ 0&,\text{noutros casos}\end{array}\right.

(5.84)

Exemplo 5.3.1.

Consideramos o seguinte PVC

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}=\pi^{2}\operatorname{sen}(\pi x),\leavevmode% \nobreak\ 0<x<1,$		(5.85)
	$\displaystyle u(0)=0,$		(5.86)
	$\displaystyle u(1)=0.$		(5.87)

A solução analítica deste problema é $u(x)=\operatorname{sen}(\pi x)$ .

Resolvendo este sistema com $h=10^{-1}$ obtemos a solução numérica apresentada na Figura 5.3.

Código 18: pvc_mvf.py

⬇

1import numpy as np

3# fonte

4def f(x):

5 return np.pi**2*np.sin(np.pi*x)

7# malha

8n = 10

9h = 1./n

10xx = np.linspace(h/2, 1.-h/2, n)

12# prob. discreto

13A = np.zeros((n,n))

14b = np.empty(n)

16# c.c. x = 0

17A[0,0] = 3./h**2

18A[0,1] = -1./h**2

19b[0] = f(xx[0])

21# pts internos

22for i in range(1,n-1):

23 A[i,i-1] = -1./h**2

24 A[i,i] = 2./h**2

25 A[i,i+1] = -1./h**2

26 b[i] = f(xx[i])

28# c.c. x = 1

29A[n-1,n-2] = -1./h**2

30A[n-1,n-1] = 3./h**2

31b[n-1] = f(xx[n-1])

33# resol prob disc

34u = npla.solve(A, b)

36xx = np.concatenate(([0.],xx,[1.]))

37u = np.concatenate(([0.],u,[0.]))

5.3.1 Exercícios

E. 5.3.1.

Considere o PVC

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}=\pi^{2}\cos(\pi x),\leavevmode\nobreak\ 0<x<1,$		(5.88)
	$\displaystyle u(0)=1,$		(5.89)
	$\displaystyle u(1)=-1.$		(5.90)

E. 5.3.2.

Considere o PVC

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}=2,\leavevmode\nobreak\ -1<x<1,$		(5.91)
	$\displaystyle u(-1)=0,$		(5.92)
	$\displaystyle u(1)=0.$		(5.93)

E. 5.3.3.

Considere o seguinte PVC

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}+u^{\prime}=f(x),\leavevmode\nobreak\ -1<x<1,$		(5.94a)
	$\displaystyle u(-1)=0,$		(5.94b)
	$\displaystyle u^{\prime}(1)=0,$		(5.94c)

onde

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}1&,x\leq 0\\ 0&,x>0\end{array}\right.

(5.95)

Use uma aproximação adequada pelo MVF para obter o valor aproximado de $u(0)$ com precisão de $2$ dígitos significativos.

Resposta.

$7,2\mathrm{e}\!-\!1$

E. 5.3.4.

Considere o PVC

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}=\pi^{2}\cos(\pi x),\leavevmode\nobreak\ 0<x<1,$		(5.96)
	$\displaystyle u(0)=1,$		(5.97)
	$\displaystyle u^{\prime}(1)=0.$		(5.98)

A solução analítica deste problema é $u(x)=\cos(\pi x)$ . Aplique o MVF para computar uma aproximação numérica com erro absoluto de no máximo $10^{-3}$ na norma $L^{2}$ .

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Pedro H A Konzen

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