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Matemática Numérica II

3 Integração 3.6 Quadraturas gaussianas com pesos 4 Problema de Valor Inicial

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3.7 Método de Monte Carlo

Em revisão

O método de Monte Carlo é uma técnica não determinística para a aproximação de integrais. Mais especificamente, o método compreende a aproximação

\int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx\frac{(b-a)}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}),

(3.144)

onde $x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n}$ são pontos de uma sequência aleatória em $[a,b]$ . Aqui, não vamos entrar em detalhes sobre a escolha desta sequência e, sem mais justificativas, assumiremos uma sequência de pontos uniformemente distribuídos no intervalo de integração.

Exemplo 3.7.1.

Na tabela 3.12 temos aproximações $\tilde{I}$ computadas para

I=\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx

(3.145)

usando o método de Monte Carlo com diferentes números de pontos $n$ . Aqui, os pontos foram gerados no GNU Octave pela sequência quasi-randômica obtida da função $\verb+rand+$ inicializada com seed=0.

$n$	$\tilde{I}$	$\|I-\tilde{I}\|$
$10$	$2,53304\mathrm{e}\!-\!01$	$6,3\mathrm{e}\!-\!02$
$100$	$3,03149\mathrm{e}\!-\!01$	$1,3\mathrm{e}\!-\!02$
$1000$	$3,08415\mathrm{e}\!-\!01$	$7,6\mathrm{e}\!-\!03$
$10000$	$3,16385\mathrm{e}\!-\!01$	$3,2\mathrm{e}\!-\!04$
$100000$	$3,15564\mathrm{e}\!-\!01$	$5,0\mathrm{e}\!-\!04$

Tabela 3.12: Resultados referentes ao Exemplo 3.7.1.

Exercícios

Em revisão

E. 3.7.1.

Use o método de Monte Carlo para obter uma aproximação de

\int_{-1}^{1}\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}\,dx

(3.146)

com precisão de $10^{-2}$ .

Resposta.

$1,2\mathrm{e}\!-\!1$

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Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

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Em revisão

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\int_{a}^{b}f(x)\,dx\approx\frac{(b-a)}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}),

(3.144)

Exemplo 3.7.1.

Na tabela 3.12 temos aproximações $\tilde{I}$ computadas para

I=\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx

(3.145)

$n$	$\tilde{I}$	$\|I-\tilde{I}\|$
$10$	$2,53304\mathrm{e}\!-\!01$	$6,3\mathrm{e}\!-\!02$
$100$	$3,03149\mathrm{e}\!-\!01$	$1,3\mathrm{e}\!-\!02$
$1000$	$3,08415\mathrm{e}\!-\!01$	$7,6\mathrm{e}\!-\!03$
$10000$	$3,16385\mathrm{e}\!-\!01$	$3,2\mathrm{e}\!-\!04$
$100000$	$3,15564\mathrm{e}\!-\!01$	$5,0\mathrm{e}\!-\!04$

Tabela 3.12: Resultados referentes ao Exemplo 3.7.1.

Exercícios

Em revisão

E. 3.7.1.

Use o método de Monte Carlo para obter uma aproximação de

\int_{-1}^{1}\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}\,dx

(3.146)

com precisão de $10^{-2}$ .

Resposta.

$1,2\mathrm{e}\!-\!1$

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Pedro H A Konzen

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