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Matemática Numérica II

3 Integração

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3.6 Quadraturas gaussianas com pesos

Em revisão

A quadratura gaussiana estudada na seção anterior (Seção 3.5) é um caso particular de quadraturas de máximo grau de exatidão para integrais da forma

∫abf⁢(x)⁢w⁢(x)⁢𝑑x, (3.126)

onde w⁢(x) é positiva e contínua, chamada de função peso. Como anteriormente, os nodos xi, i=1,2,…,n, da quadratura gaussiana de n pontos são as raízes do polinômio pn⁢(x) que é ortogonal a todos os polinômios de grau menor que n. Aqui, isto significa

∫abq⁢(x)⁢pn⁢(x)⁢w⁢(x)⁢𝑑x=0, (3.127)

para todo polinômio q⁢(x) de grau menor que n.

3.6.1 Quadratura de Gauss-Chebyshev

Em revisão

Quadraturas de Gauss-Chebyshev são quadraturas gaussianas para integrais da forma

∫−11f⁢(x)⁢(1−x2)−1/2⁢𝑑x. (3.128)

Neste caso, na quadratura gaussiana de n pontos os nodos xi são as raízes do n-ésimo polinômio de Chebyshev Tn⁢(x). Pode-se mostrar (veja, por exemplo, [3, Cap. 7, Sec. 4.1]) que o conjunto de pontos desta quadratura são dados por

xi =cos⁡(2⁢i−12⁢n⁢π), (3.129)
wi =πn. (3.130)
Exemplo 3.6.1.

Considere o problema de aproximar a integral

∫−11e−x21−x2⁢𝑑x. (3.131)

Usando a quadratura de Gauss-Chebyshev de n pontos temos:

  • •

    n=1:

    ∫−11e−x21−x2⁢𝑑x≈π⁢e−cos(π/2)2=π. (3.132)
  • •

    n=2:

    ∫−11e−x21−x2⁢𝑑x ≈π2⁢e−cos(π/4)2+π2⁢e−cos(3π/4)2 (3.133)
    =1,90547. (3.134)
  • •

    n=3:

    ∫−11e−x21−x2⁢𝑑x ≈π3⁢e−cos(π/6)2+π3⁢e−cos(π/2)2+π3⁢e−cos(5π/6)2 (3.135)
    =2,03652. (3.136)
n I~
1 3,14159
2 1,90547
3 2,03652
4 2,02581
5 2,02647
6 2,02644
10 2,02644
Tabela 3.7: Resultados referentes ao Exemplo 3.6.1.

Na Tabela 3.7, temos as aproximações I~ da integral computadas com a quadratura de Gauss-Chebyshev com diferentes números de pontos.

3.6.2 Quadratura de Gauss-Laguerre

Em revisão

Quadraturas de Gauss-Laguerre são quadraturas gaussianas para integrais da forma

∫0∞f⁢(x)⁢e−x⁢𝑑x. (3.137)

Neste caso, na quadratura gaussiana de n pontos os nodos xi são as raízes do n-ésimo polinômio de Laguerre Ln⁢(x) e os pesos por

wi=−1n⁢[Ln′⁢(xi)]2,i=1,2,…,n. (3.138)

Na Tabela 3.8, temos os pontos da quadratura de Gauss-Laguerre para diversos valores de n.

Tabela 3.8: Pontos da quadratura de Gauss-Laguerre.
n xi wi
1 1,0000000⁢e+00 1,0000000⁢e+00
2 3,4142136⁢e+00 1,4644661⁢e−01
5,8578644⁢e−01 8,5355339⁢e−01
3 6,2899451⁢e+00 1,0389257⁢e−02
2,2942804⁢e+00 2,7851773⁢e−01
4,1577456⁢e−01 7,1109301⁢e−01
4 9,3950709⁢e+00 5,3929471⁢e−04
4,5366203⁢e+00 3,8887909⁢e−02
1,7457611⁢e+00 3,5741869⁢e−01
3,2254769⁢e−01 6,0315410⁢e−01
5 1,2640801⁢e+01 2,3369972⁢e−05
7,0858100⁢e+00 3,6117587⁢e−03
3,5964258⁢e+00 7,5942450⁢e−02
1,4134031⁢e+00 3,9866681⁢e−01
2,6356032⁢e−01 5,2175561⁢e−01
Exemplo 3.6.2.

Na Tabela 3.9, temos as aproximações I~ da integral I=∫0∞sen⁡(x)⁢e−x⁢𝑑x obtidas pela quadratura de Gauss-Laguerre com diferentes pontos n.

n I~
1 8,41471⁢e−01
2 4,32459⁢e−01
3 4,96030⁢e−01
4 5,04879⁢e−01
5 4,98903⁢e−01
Tabela 3.9: Resultados referentes ao Exemplo 3.6.1.

3.6.3 Quadratura de Gauss-Hermite

Em revisão

Quadraturas de Gauss-Hermite são quadraturas gaussianas para integrais da forma

∫−∞∞f⁢(x)⁢e−x2⁢𝑑x. (3.139)

Seus nodos xi, i=1,2,…,n são as raízes do n-ésimo polinômio de Hermite e os pesos são dados por

wi=2n+1⁢n!⁢π[Hn′⁢(xi)]2. (3.140)

Na Tabela 3.10, temos os pontos da quadratura de Gauss-Hermite para diversos valores de n.

Tabela 3.10: Pontos da quadratura de Gauss-Hermite.
n xi wi
1 0,0000000⁢e+00 1,7724539⁢e+00
2 −7,0710678⁢e−01 8,8622693⁢e−01
7,0710678⁢e−01 8,8622693⁢e−01
3 −1,2247449⁢e+00 2,9540898⁢e−01
1,2247449⁢e+00 2,9540898⁢e−01
0,0000000⁢e+00 1,1816359⁢e+00
4 −1,6506801⁢e+00 8,1312835⁢e−02
1,6506801⁢e+00 8,1312835⁢e−02
−5,2464762⁢e−01 8,0491409⁢e−01
5,2464762⁢e−01 8,0491409⁢e−01
5 −2,0201829⁢e+00 1,9953242⁢e−02
2,0201829⁢e+00 1,9953242⁢e−02
−9,5857246⁢e−01 3,9361932⁢e−01
9,5857246⁢e−01 3,9361932⁢e−01
0,0000000⁢e+00 9,4530872⁢e−01
Exemplo 3.6.3.

Na Tabela 3.11, temos as aproximações I~ da integral I=∫−∞∞x⁢sen⁡(x)⁢e−x2⁢𝑑x obtidas pela quadratura de Gauss-Hermite com diferentes pontos n.

n I~
1 0,00000⁢e+00
2 8,14199⁢e−01
3 6,80706⁢e−01
4 6,90650⁢e−01
5 6,90178⁢e−01
Tabela 3.11: Resultados referentes ao Exemplo 3.6.3.

Exercícios

Em revisão

E. 3.6.1.

Aproxime

∫−11sen⁡(x+2)−e−x21−x2⁢𝑑x (3.141)

usando a quadratura de Gauss-Chebyshev com:

  1. a)

    n=1 ponto.

  2. b)

    n=2 pontos.

  3. c)

    n=3 pontos.

  4. d)

    n=4 pontos.

  5. e)

    n=5 pontos.

Resposta.

a) −2,84951⁢E−01; b) 2,66274⁢e−01; c) 1,49496⁢e−01; d) 1,60085⁢e−01; e) 1,59427⁢e−01.

E. 3.6.2.

Aproxime

∫0∞(sen⁡(x+2)−e−x2)⁢e−x⁢𝑑x (3.142)

usando a quadratura de Gauss-Laguerre com:

  1. a)

    n=3 pontos.

  2. b)

    n=4 pontos.

  3. c)

    n=5 pontos.

Resposta.

a) −1,03618⁢e−1; b) −5,56446⁢e−2; c) −4,19168⁢e−2

E. 3.6.3.

Aproxime

∫−∞∞sen⁡(x+2)⁢e−x2−e−2⁢x2⁢d⁢x (3.143)

usando a quadratura de Gauss-Hermite com:

  1. a)

    n=3 pontos.

  2. b)

    n=4 pontos.

  3. c)

    n=5 pontos.

Resposta.

a) −1,31347; b) −1,23313; c) −1,26007

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3.6 Quadraturas gaussianas com pesos

Em revisão

A quadratura gaussiana estudada na seção anterior (Seção 3.5) é um caso particular de quadraturas de máximo grau de exatidão para integrais da forma

∫abf⁢(x)⁢w⁢(x)⁢𝑑x, (3.126)

onde w⁢(x) é positiva e contínua, chamada de função peso. Como anteriormente, os nodos xi, i=1,2,…,n, da quadratura gaussiana de n pontos são as raízes do polinômio pn⁢(x) que é ortogonal a todos os polinômios de grau menor que n. Aqui, isto significa

∫abq⁢(x)⁢pn⁢(x)⁢w⁢(x)⁢𝑑x=0, (3.127)

para todo polinômio q⁢(x) de grau menor que n.

3.6.1 Quadratura de Gauss-Chebyshev

Em revisão

Quadraturas de Gauss-Chebyshev são quadraturas gaussianas para integrais da forma

∫−11f⁢(x)⁢(1−x2)−1/2⁢𝑑x. (3.128)

Neste caso, na quadratura gaussiana de n pontos os nodos xi são as raízes do n-ésimo polinômio de Chebyshev Tn⁢(x). Pode-se mostrar (veja, por exemplo, [3, Cap. 7, Sec. 4.1]) que o conjunto de pontos desta quadratura são dados por

xi =cos⁡(2⁢i−12⁢n⁢π), (3.129)
wi =πn. (3.130)
Exemplo 3.6.1.

Considere o problema de aproximar a integral

∫−11e−x21−x2⁢𝑑x. (3.131)

Usando a quadratura de Gauss-Chebyshev de n pontos temos:

  • •

    n=1:

    ∫−11e−x21−x2⁢𝑑x≈π⁢e−cos(π/2)2=π. (3.132)
  • •

    n=2:

    ∫−11e−x21−x2⁢𝑑x ≈π2⁢e−cos(π/4)2+π2⁢e−cos(3π/4)2 (3.133)
    =1,90547. (3.134)
  • •

    n=3:

    ∫−11e−x21−x2⁢𝑑x ≈π3⁢e−cos(π/6)2+π3⁢e−cos(π/2)2+π3⁢e−cos(5π/6)2 (3.135)
    =2,03652. (3.136)
n I~
1 3,14159
2 1,90547
3 2,03652
4 2,02581
5 2,02647
6 2,02644
10 2,02644
Tabela 3.7: Resultados referentes ao Exemplo 3.6.1.

Na Tabela 3.7, temos as aproximações I~ da integral computadas com a quadratura de Gauss-Chebyshev com diferentes números de pontos.

3.6.2 Quadratura de Gauss-Laguerre

Em revisão

Quadraturas de Gauss-Laguerre são quadraturas gaussianas para integrais da forma

∫0∞f⁢(x)⁢e−x⁢𝑑x. (3.137)

Neste caso, na quadratura gaussiana de n pontos os nodos xi são as raízes do n-ésimo polinômio de Laguerre Ln⁢(x) e os pesos por

wi=−1n⁢[Ln′⁢(xi)]2,i=1,2,…,n. (3.138)

Na Tabela 3.8, temos os pontos da quadratura de Gauss-Laguerre para diversos valores de n.

Tabela 3.8: Pontos da quadratura de Gauss-Laguerre.
n xi wi
1 1,0000000⁢e+00 1,0000000⁢e+00
2 3,4142136⁢e+00 1,4644661⁢e−01
5,8578644⁢e−01 8,5355339⁢e−01
3 6,2899451⁢e+00 1,0389257⁢e−02
2,2942804⁢e+00 2,7851773⁢e−01
4,1577456⁢e−01 7,1109301⁢e−01
4 9,3950709⁢e+00 5,3929471⁢e−04
4,5366203⁢e+00 3,8887909⁢e−02
1,7457611⁢e+00 3,5741869⁢e−01
3,2254769⁢e−01 6,0315410⁢e−01
5 1,2640801⁢e+01 2,3369972⁢e−05
7,0858100⁢e+00 3,6117587⁢e−03
3,5964258⁢e+00 7,5942450⁢e−02
1,4134031⁢e+00 3,9866681⁢e−01
2,6356032⁢e−01 5,2175561⁢e−01
Exemplo 3.6.2.

Na Tabela 3.9, temos as aproximações I~ da integral I=∫0∞sen⁡(x)⁢e−x⁢𝑑x obtidas pela quadratura de Gauss-Laguerre com diferentes pontos n.

n I~
1 8,41471⁢e−01
2 4,32459⁢e−01
3 4,96030⁢e−01
4 5,04879⁢e−01
5 4,98903⁢e−01
Tabela 3.9: Resultados referentes ao Exemplo 3.6.1.

3.6.3 Quadratura de Gauss-Hermite

Em revisão

Quadraturas de Gauss-Hermite são quadraturas gaussianas para integrais da forma

∫−∞∞f⁢(x)⁢e−x2⁢𝑑x. (3.139)

Seus nodos xi, i=1,2,…,n são as raízes do n-ésimo polinômio de Hermite e os pesos são dados por

wi=2n+1⁢n!⁢π[Hn′⁢(xi)]2. (3.140)

Na Tabela 3.10, temos os pontos da quadratura de Gauss-Hermite para diversos valores de n.

Tabela 3.10: Pontos da quadratura de Gauss-Hermite.
n xi wi
1 0,0000000⁢e+00 1,7724539⁢e+00
2 −7,0710678⁢e−01 8,8622693⁢e−01
7,0710678⁢e−01 8,8622693⁢e−01
3 −1,2247449⁢e+00 2,9540898⁢e−01
1,2247449⁢e+00 2,9540898⁢e−01
0,0000000⁢e+00 1,1816359⁢e+00
4 −1,6506801⁢e+00 8,1312835⁢e−02
1,6506801⁢e+00 8,1312835⁢e−02
−5,2464762⁢e−01 8,0491409⁢e−01
5,2464762⁢e−01 8,0491409⁢e−01
5 −2,0201829⁢e+00 1,9953242⁢e−02
2,0201829⁢e+00 1,9953242⁢e−02
−9,5857246⁢e−01 3,9361932⁢e−01
9,5857246⁢e−01 3,9361932⁢e−01
0,0000000⁢e+00 9,4530872⁢e−01
Exemplo 3.6.3.

Na Tabela 3.11, temos as aproximações I~ da integral I=∫−∞∞x⁢sen⁡(x)⁢e−x2⁢𝑑x obtidas pela quadratura de Gauss-Hermite com diferentes pontos n.

n I~
1 0,00000⁢e+00
2 8,14199⁢e−01
3 6,80706⁢e−01
4 6,90650⁢e−01
5 6,90178⁢e−01
Tabela 3.11: Resultados referentes ao Exemplo 3.6.3.

Exercícios

Em revisão

E. 3.6.1.

Aproxime

∫−11sen⁡(x+2)−e−x21−x2⁢𝑑x (3.141)

usando a quadratura de Gauss-Chebyshev com:

  1. a)

    n=1 ponto.

  2. b)

    n=2 pontos.

  3. c)

    n=3 pontos.

  4. d)

    n=4 pontos.

  5. e)

    n=5 pontos.

Resposta.

a) −2,84951⁢E−01; b) 2,66274⁢e−01; c) 1,49496⁢e−01; d) 1,60085⁢e−01; e) 1,59427⁢e−01.

E. 3.6.2.

Aproxime

∫0∞(sen⁡(x+2)−e−x2)⁢e−x⁢𝑑x (3.142)

usando a quadratura de Gauss-Laguerre com:

  1. a)

    n=3 pontos.

  2. b)

    n=4 pontos.

  3. c)

    n=5 pontos.

Resposta.

a) −1,03618⁢e−1; b) −5,56446⁢e−2; c) −4,19168⁢e−2

E. 3.6.3.

Aproxime

∫−∞∞sen⁡(x+2)⁢e−x2−e−2⁢x2⁢d⁢x (3.143)

usando a quadratura de Gauss-Hermite com:

  1. a)

    n=3 pontos.

  2. b)

    n=4 pontos.

  3. c)

    n=5 pontos.

Resposta.

a) −1,31347; b) −1,23313; c) −1,26007

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Pedro H A Konzen
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