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Cálculo I

4 Integração 4.1 Noção de integral 4.3 Regras Básicas de Integração

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4.2 Propriedades de integração

Na Seção 4.1, vimos que a integral definida de uma dada função $f$ em um intervalo $[a,b]$ está associada à área (líquida) entre seu gráfico e as retas $y=0$ , $x=a$ e $x=b$ . Veja a Figura 4.2.

Com base nesta noção geométrica, podemos inferir as seguintes propriedades de integração para funções integráveis $f$ e $g$ :

a)

Integral degenerada

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{a}f(% x)\,dx=0$ (4.23)
b)

Multiplicação por escalar

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}k% \cdot f(x)\,dx=k\cdot\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ (4.24)
c)

Soma/subtração

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}% \left[f(x)\pm g(x)\right]\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\pm\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ (4.25)
d)

Sobreposição/concatenação de intervalos

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}f(% x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx$ (4.26)
e)

Cotas inferior e superior

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\min_{x\in[a,b% ]}\{f(x)\}\cdot(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\max_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\cdot(% b-a)$ (4.27)

Exemplo 4.2.1.

Sejam $f$ e $g$ funções integráveis tais que

	$\displaystyle\int_{-1}^{4}f(x)\,dx=2,$		(4.28)
	$\displaystyle\int_{4}^{5}f(x)\,dx=3,$		(4.29)
	$\displaystyle\int_{-1}^{4}g(x)\,dx=-1.$		(4.30)

Então, vejamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int_{4}^{-1}g(x)\,dx$ $\displaystyle=-\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (4.31)

$\displaystyle=-(-1)=1.$ (4.32)
b)

$\int_{-1}^{-1}4f(x)\,dx=0.$ (4.33)
c)

$\displaystyle\int_{-1}^{4}-2g(x)\,dx$ $\displaystyle=-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (4.34)

$\displaystyle=2.$ (4.35)
d)

$\displaystyle\int_{-1}^{4}\left[f(x)-2g(x)\right]\,dx$ $\displaystyle=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx-\int_{-1}^{4}2g(x)\,dx$ (4.36)

$\displaystyle=2-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (4.37)

$\displaystyle=2+2=4.$ (4.38)
e)

$\displaystyle\int_{-1}^{5}f(x)\,dx$ $\displaystyle=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx+\int_{4}^{5}f(x)\,dx$ (4.39)

$\displaystyle=2+3=5.$ (4.40)

Exemplo 4.2.2.

Lembrando que $-1\leq\operatorname{sen}x\leq 1$ , temos da propriedade e) acima que

		$\displaystyle 2\pi\min_{x\in[-\pi,\pi]}\{\operatorname{sen}(x)\}\leq\int_{-\pi% }^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx\leq 2\pi\max_{x\in[\nobreak\hskip 0.0pt% \nobreak\hskip 0.0ptpi,\pi]}\{\operatorname{sen}(x)\}$		(4.41)
		$\displaystyle\Rightarrow-2\pi\leq\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx% \leq 2\pi.$		(4.41)

4.2.1 Teorema do valor médio

Com base na noção de integral, define-se a média de uma função $f$ no intervalo $[a,b]$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{b-a}% \int_{a}^{b}f(x)\,dx,

(4.42)

no caso de $f$ ser integrável neste intervalo.

Teorema 4.2.1.

(Teorema do valor médio para integrais) Se $f$ for contínua em $[a,b]$ , então existe $c\in[a,b]$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}f(c)=\frac{1}{% b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(4.43)

Demonstração.

Vejamos uma ideia da demonstração. Da propriedade de integração e) acima, temos

\min_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\max_{x\in[a,% b]}\{f(x)\}.

(4.44)

Agora, pelo Teorema do valor intermediário (Teorema 1.6.1), temos $f$ assume todos os valores entre seus valores mínimo e máximo. Logo, existe $c\in[a,b]$ tal que

f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(4.45)

∎

Exemplo 4.2.3.

Seja $f$ uma função contínua em $[a,b]$ , $a\neq b$ , e

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=0,

(4.46)

então $f$ possui pelo menos um zero neste intervalo. De fato, do Teorema do valor médio para integrais, temos que existe $c\in[a,b]$ tal que

	$\displaystyle f(c)$	$\displaystyle=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$		(4.47)
		$\displaystyle=\frac{1}{b-a}\cdot 0=0.$		(4.48)

4.2.2 Teorema fundamental do cálculo, parte I

Seja $f$ uma função integrável e $F$ a função definida por

F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,

(4.49)

para algum número real $a$ dado.

Teorema 4.2.2.

(Teorema fundamental do cálculo, parte I) Se $f$ é contínua em $[a,b]$ , então é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$ a função

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}F(x)=\int_{a}^% {x}f(t)\,dt

(4.50)

sendo

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}F^{\prime}(x)=% \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).

(4.51)

Demonstração.

Vejamos a ideia da demonstração. Da definição de derivada, temos

$\displaystyle F^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$	(4.52)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left[\int_{a}^{x+h}f(x)\,dx-\int_{a}^{x% }f(x)\,dx\right]$	(4.53)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx.$	(4.54)

Agora, do Teorema do valor médio para integrais (Teorema 4.2.1), temos que existe $c_{h}\in[x,x+h]$ tal que

	$\displaystyle f(c_{h})$	$\displaystyle=\frac{1}{x+h-x}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx$		(4.55)
		$\displaystyle=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx.$		(4.56)

Notemos que $c_{h}\to x$ quando $h\to 0$ e, portanto, temos

$\displaystyle F^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx$	(4.57)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}f(c_{h})$	(4.58)
	$\displaystyle=f(x).$	(4.59)

∎

Exemplo 4.2.4.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\frac{d}{dx}\int_{1}^{x}t^{2}\,dt=x^{2}.$ (4.60)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x,t

3sym.diff(sym.integrate(t**2, (t, 1, x)))
```
x**2
```
b)

$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\operatorname{sen}(t)\,dt=\operatorname{sen}(x)$ (4.61)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x,t

3sym.diff(sym.integrate(sym.sin(t), (t, 0, x)))

sin(x)

4.2.3 Integral indefinida

A parte I do Teorema fundamental do cálculo (Teorema 4.2.2), mostra que a integral de uma função $f$ (contínua) é uma função $F$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}F^{\prime}(x)=% f(x).

(4.62)

Dizemos que $F$ é uma primitiva da função $f$ .

Observamos que se $F$ é uma primitiva de $f$ , então

G(x)=F(x)+C

(4.63)

também é primitiva de $f$ para qualquer constante $C$ , i.e.

$\displaystyle G^{\prime}(x)$	$\displaystyle=(F(x)+C)^{\prime}$	(4.64)
	$\displaystyle=F^{\prime}(x)+(C)^{\prime}$	(4.65)
	$\displaystyle=f(x)+0$	(4.66)
	$\displaystyle=f(x).$	(4.67)

Mais ainda, do Corolário 3.3.2 do Teorema do valor médio para derivadas, temos que quaisquer duas primitivas de uma mesma função diferem-se apenas uma constante.

Com isso, definimos a integral indefinida de $f$ em relação a $x$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int f(x)\,dx=% F(x)+C,

(4.68)

onde $F$ é qualquer primitiva de $f$ e $C$ uma constante indeterminada.

Exemplo 4.2.5.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\int\,dx=x+C$ (4.69)
b)

$\int 2x\,dx=x^{2}+C$ (4.70)
c)

$\int\cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x)+C$ (4.71)
d)

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$ (4.72)

Com o Python+SymPy, podemos computar as integrais indefinidas acima com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : x = symbols('x')

3 >>> # a)

4 >>> integrate(1, x)

5 >>>

6 x

7 # b)

8 In : integrate(2*x, x)

9 >>>

10 x**2

11 # c)

12 In : integrate(cos(x), x)

13 >>>

14 sin(x)

15 # d)

16 In : integrate(exp(x), x)

17 exp(x)

4.2.4 Teorema fundamental do cálculo, parte II

Teorema 4.2.3.

(Teorema fundamental do cálculo, parte II) Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e $F$ é qualquer primitiva de $f$ , então

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

(4.73)

Demonstração.

Vejamos a ideia da demonstração. A parte I do Teorema fundamental do cálculo (Teorema 4.2.2), nos garante a existência de

G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt.

(4.74)

Seja, então, $F$ uma primitiva qualquer de $f$ . Logo,

$\displaystyle F(b)-F(a)$	$\displaystyle=[G(b)+C]-[G(a)+C]$	(4.75)
	$\displaystyle=G(b)-G(a)$	(4.76)
	$\displaystyle=\int_{a}^{b}f(t)\,dx-\int_{a}^{a}f(t)\,dt$	(4.77)
	$\displaystyle=\int_{a}^{b}f(t)\,dx.$	(4.78)

∎

Exemplo 4.2.6.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}\,dx$ $\displaystyle=\left.x\right|_{0}^{1}$ (4.79)

$\displaystyle=1-0=1$ (4.80)
b)

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\,dx$ $\displaystyle=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}$ (4.81)

$\displaystyle=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}$ (4.82)
c)

$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$ $\displaystyle=\left.\operatorname{sen}(x)\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{% 2}}$ (4.83)

$\displaystyle=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\operatorname{sen}% \left(-\frac{\pi}{2}\right)$ (4.84)

$\displaystyle=2$ (4.85)

Com o Python+SymPy, podemos computar as integrais indefinidas acima com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> # a)

4 >>> integrate(1, (x,0,1))

5 1

6 ..: # b)

7 In : integrate(x, (x,0,1))

8 1/2

9 ..: c)

10 In : integrate(cos(x), (x,-pi/2,pi/2))

11 2

Observação 4.2.1.

(Permutação dos limites de integração.) Do Teorema fundamental do cálculo, parte II, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}f(% x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx.

(4.86)

Ou seja, o valor da integral definida muda de sinal ao permutarmos seus limites de integração. De fato, se $F$ é uma primitiva de $f$ , então

$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx$	$\displaystyle=F(b)-F(a)$	(4.87)
	$\displaystyle=-\left[F(a)-F(b)\right]$	(4.88)
	$\displaystyle=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx.$	(4.89)

Exemplo 4.2.7.

Temos que

\int_{0}^{1}dx=\left.x\right|_{0}^{1}=1-0=1.

(4.90)

Agora,

\int_{1}^{0}dx=\left.x\right|_{1}^{0}=0-1=-1.

(4.91)

Conforme esperado, temos

\int_{0}^{1}dx=-\int_{1}^{0}dx.

(4.92)

4.2.5 Exercícios resolvidos

ER 4.2.1.

Calcule

\int_{1}^{\sqrt{e}}x-\frac{1}{x}\,dx.

(4.93)

Solução.

Primeiramente, notemos que

	$\displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C,$		(4.94)
	$\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x+C.$		(4.95)

Então, usando as propriedades de integração, temos

$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{e}}x-\frac{1}{x}\,dx$	$\displaystyle=\int_{1}^{\sqrt{e}}x\,dx-\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{1}{x}\,dx$	(4.96)
	$\displaystyle=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{\sqrt{e}}-\left[\ln x\right]_{% 1}^{\sqrt{e}}$	(4.97)
	$\displaystyle=\left[\frac{(\sqrt{e})^{2}}{2}-\frac{1}{2}\right]-\left[\ln\sqrt% {e}-\ln 1\right]$	(4.98)
	$\displaystyle=\frac{e}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln(e)-0$	(4.99)
	$\displaystyle=\frac{e}{2}-1.$	(4.100)

Com o Python+SymPy, podemos computar essa integral definida com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate((x - 1/x), (x,1,sqrt(E)))

4 -1 + E/2

ER 4.2.2.

Calcule a área entre o gráfico de $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ e as retas $y=0$ , $x=-\pi/2$ e $x=\pi/2$ .

Solução.

Lembrando que a integral definida está associada a área sob o gráfico do integrando, temos que a área desejada pode ser calculada por

A=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\operatorname{sen}(x)\,dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}% \operatorname{sen}(x)\,dx,

(4.101)

pois $\operatorname{sen}(x)<0$ para $x\in(-\pi/2,0)$ e $\operatorname{sen}(x)>0$ para $x\in(0,\pi/2)$ . Também, observamos que

\int\operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x)+C.

(4.102)

Logo, do Teorema fundamental do cálculo segue que

$\displaystyle A$	$\displaystyle=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\operatorname{sen}(x)\,dx+\int_{0}^{% \frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(x)\,dx$	(4.103)
	$\displaystyle=-\left[-\cos(x)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}+\left[-\cos(x)\right% ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$	(4.104)
	$\displaystyle=-[-1-0]+[-0-(-1)]=2.$	(4.105)

Com o Python+SymPy, podemos computar essa integral definida com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> A = -integrate(sin(x), (x,-pi/2,0))

4 >>> A += integrate(sin(x), (x,0,pi/2))

5 >>> A

6 2

ER 4.2.3.

Encontre a função $y=y(x)$ tal que

\frac{dy}{dx}=x,

(4.106)

e $y(0)=1$ .

Solução.

Integrando ambos os lados da equação diferencial em relação a $x$ , temos

	$\displaystyle\int\frac{dy}{dx}\,dx=\int x\,dx$		(4.107)
	$\displaystyle y=\frac{x^{2}}{2}+C$		(4.108)

Agora, da condição $y(0)=1$ , segue

	$\displaystyle y(0)=1$		(4.110)
	$\displaystyle\frac{0^{2}}{2}+C=1$		(4.111)
	$\displaystyle C=1.$		(4.112)

Concluímos que $y=x^{2}/2+1$ . Com o Python+SymPy, podemos resolver esta computar essa integral definida com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> y = Function('y')

3 >>> x = symbols('x')

4 >>> dsolve(Eq(diff(y(x),x), x), y(x), ics={y(0):1})

5 Eq(y(x), x**2/2 + 1)

4.2.6 Exercícios

E. 4.2.1.

Sejam $f$ e $g$ tais que

	$\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)\,dx=-2,\quad\int_{-1}^{0}f(x)\,dx=\frac{1}{2},$		(4.113)
	$\displaystyle\int_{-2}^{0}g(x)\,dx=1.$		(4.114)

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{-1}f(x)-51\cdot g(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-2}^{0}2g(x)-\frac{1}{2}f(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx$

Resposta.

a) $0$ ; b) $3$ ; c) $-5/2$

E. 4.2.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{2}2\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-3}^{-1}1-x\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{2}{x}\,dx$

Resposta.

a) $6$ ; b) $6$ ; c) $2$

E. 4.2.3.

Calcule a área entre o gráfico de $f(x)=x^{2}-1$ e as retas $y=0$ , $x=0$ e $x=2$ .

Resposta.

$4/3$

E. 4.2.4.

Encontre a função $y=y(x)$ tal que

\frac{dy}{dx}=\cos(x),

(4.115)

e $y(\pi)=1$ .

Resposta.

$y=\operatorname{sen}(x)+1$

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Cálculo I

4 Integração 4.1 Noção de integral 4.3 Regras Básicas de Integração

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4.2 Propriedades de integração

Com base nesta noção geométrica, podemos inferir as seguintes propriedades de integração para funções integráveis $f$ e $g$ :

a)

Integral degenerada

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{a}f(% x)\,dx=0$ (4.23)
b)

Multiplicação por escalar

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}k% \cdot f(x)\,dx=k\cdot\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ (4.24)
c)

Soma/subtração

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}% \left[f(x)\pm g(x)\right]\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\pm\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ (4.25)
d)

Sobreposição/concatenação de intervalos

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}f(% x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx$ (4.26)
e)

Cotas inferior e superior

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\min_{x\in[a,b% ]}\{f(x)\}\cdot(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\max_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\cdot(% b-a)$ (4.27)

Exemplo 4.2.1.

Sejam $f$ e $g$ funções integráveis tais que

	$\displaystyle\int_{-1}^{4}f(x)\,dx=2,$		(4.28)
	$\displaystyle\int_{4}^{5}f(x)\,dx=3,$		(4.29)
	$\displaystyle\int_{-1}^{4}g(x)\,dx=-1.$		(4.30)

Então, vejamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int_{4}^{-1}g(x)\,dx$ $\displaystyle=-\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (4.31)

$\displaystyle=-(-1)=1.$ (4.32)
b)

$\int_{-1}^{-1}4f(x)\,dx=0.$ (4.33)
c)

$\displaystyle\int_{-1}^{4}-2g(x)\,dx$ $\displaystyle=-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (4.34)

$\displaystyle=2.$ (4.35)
d)

$\displaystyle\int_{-1}^{4}\left[f(x)-2g(x)\right]\,dx$ $\displaystyle=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx-\int_{-1}^{4}2g(x)\,dx$ (4.36)

$\displaystyle=2-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (4.37)

$\displaystyle=2+2=4.$ (4.38)
e)

$\displaystyle\int_{-1}^{5}f(x)\,dx$ $\displaystyle=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx+\int_{4}^{5}f(x)\,dx$ (4.39)

$\displaystyle=2+3=5.$ (4.40)

Exemplo 4.2.2.

Lembrando que $-1\leq\operatorname{sen}x\leq 1$ , temos da propriedade e) acima que

		$\displaystyle 2\pi\min_{x\in[-\pi,\pi]}\{\operatorname{sen}(x)\}\leq\int_{-\pi% }^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx\leq 2\pi\max_{x\in[\nobreak\hskip 0.0pt% \nobreak\hskip 0.0ptpi,\pi]}\{\operatorname{sen}(x)\}$		(4.41)
		$\displaystyle\Rightarrow-2\pi\leq\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx% \leq 2\pi.$		(4.41)

4.2.1 Teorema do valor médio

Com base na noção de integral, define-se a média de uma função $f$ no intervalo $[a,b]$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{1}{b-a}% \int_{a}^{b}f(x)\,dx,

(4.42)

no caso de $f$ ser integrável neste intervalo.

Teorema 4.2.1.

(Teorema do valor médio para integrais) Se $f$ for contínua em $[a,b]$ , então existe $c\in[a,b]$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}f(c)=\frac{1}{% b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(4.43)

Demonstração.

Vejamos uma ideia da demonstração. Da propriedade de integração e) acima, temos

\min_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\max_{x\in[a,% b]}\{f(x)\}.

(4.44)

Agora, pelo Teorema do valor intermediário (Teorema 1.6.1), temos $f$ assume todos os valores entre seus valores mínimo e máximo. Logo, existe $c\in[a,b]$ tal que

f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(4.45)

∎

Exemplo 4.2.3.

Seja $f$ uma função contínua em $[a,b]$ , $a\neq b$ , e

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=0,

(4.46)

então $f$ possui pelo menos um zero neste intervalo. De fato, do Teorema do valor médio para integrais, temos que existe $c\in[a,b]$ tal que

	$\displaystyle f(c)$	$\displaystyle=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$		(4.47)
		$\displaystyle=\frac{1}{b-a}\cdot 0=0.$		(4.48)

4.2.2 Teorema fundamental do cálculo, parte I

Seja $f$ uma função integrável e $F$ a função definida por

F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,

(4.49)

para algum número real $a$ dado.

Teorema 4.2.2.

(Teorema fundamental do cálculo, parte I) Se $f$ é contínua em $[a,b]$ , então é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$ a função

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}F(x)=\int_{a}^% {x}f(t)\,dt

(4.50)

sendo

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}F^{\prime}(x)=% \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).

(4.51)

Demonstração.

Vejamos a ideia da demonstração. Da definição de derivada, temos

$\displaystyle F^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$	(4.52)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left[\int_{a}^{x+h}f(x)\,dx-\int_{a}^{x% }f(x)\,dx\right]$	(4.53)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx.$	(4.54)

Agora, do Teorema do valor médio para integrais (Teorema 4.2.1), temos que existe $c_{h}\in[x,x+h]$ tal que

	$\displaystyle f(c_{h})$	$\displaystyle=\frac{1}{x+h-x}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx$		(4.55)
		$\displaystyle=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx.$		(4.56)

Notemos que $c_{h}\to x$ quando $h\to 0$ e, portanto, temos

$\displaystyle F^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx$	(4.57)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}f(c_{h})$	(4.58)
	$\displaystyle=f(x).$	(4.59)

∎

Exemplo 4.2.4.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\frac{d}{dx}\int_{1}^{x}t^{2}\,dt=x^{2}.$ (4.60)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x,t

3sym.diff(sym.integrate(t**2, (t, 1, x)))
```
x**2
```
b)

$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\operatorname{sen}(t)\,dt=\operatorname{sen}(x)$ (4.61)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x,t

3sym.diff(sym.integrate(sym.sin(t), (t, 0, x)))

sin(x)

4.2.3 Integral indefinida

A parte I do Teorema fundamental do cálculo (Teorema 4.2.2), mostra que a integral de uma função $f$ (contínua) é uma função $F$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}F^{\prime}(x)=% f(x).

(4.62)

Dizemos que $F$ é uma primitiva da função $f$ .

Observamos que se $F$ é uma primitiva de $f$ , então

G(x)=F(x)+C

(4.63)

também é primitiva de $f$ para qualquer constante $C$ , i.e.

$\displaystyle G^{\prime}(x)$	$\displaystyle=(F(x)+C)^{\prime}$	(4.64)
	$\displaystyle=F^{\prime}(x)+(C)^{\prime}$	(4.65)
	$\displaystyle=f(x)+0$	(4.66)
	$\displaystyle=f(x).$	(4.67)

Mais ainda, do Corolário 3.3.2 do Teorema do valor médio para derivadas, temos que quaisquer duas primitivas de uma mesma função diferem-se apenas uma constante.

Com isso, definimos a integral indefinida de $f$ em relação a $x$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int f(x)\,dx=% F(x)+C,

(4.68)

onde $F$ é qualquer primitiva de $f$ e $C$ uma constante indeterminada.

Exemplo 4.2.5.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\int\,dx=x+C$ (4.69)
b)

$\int 2x\,dx=x^{2}+C$ (4.70)
c)

$\int\cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x)+C$ (4.71)
d)

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$ (4.72)

Com o Python+SymPy, podemos computar as integrais indefinidas acima com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : x = symbols('x')

3 >>> # a)

4 >>> integrate(1, x)

5 >>>

6 x

7 # b)

8 In : integrate(2*x, x)

9 >>>

10 x**2

11 # c)

12 In : integrate(cos(x), x)

13 >>>

14 sin(x)

15 # d)

16 In : integrate(exp(x), x)

17 exp(x)

4.2.4 Teorema fundamental do cálculo, parte II

Teorema 4.2.3.

(Teorema fundamental do cálculo, parte II) Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e $F$ é qualquer primitiva de $f$ , então

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

(4.73)

Demonstração.

Vejamos a ideia da demonstração. A parte I do Teorema fundamental do cálculo (Teorema 4.2.2), nos garante a existência de

G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt.

(4.74)

Seja, então, $F$ uma primitiva qualquer de $f$ . Logo,

$\displaystyle F(b)-F(a)$	$\displaystyle=[G(b)+C]-[G(a)+C]$	(4.75)
	$\displaystyle=G(b)-G(a)$	(4.76)
	$\displaystyle=\int_{a}^{b}f(t)\,dx-\int_{a}^{a}f(t)\,dt$	(4.77)
	$\displaystyle=\int_{a}^{b}f(t)\,dx.$	(4.78)

∎

Exemplo 4.2.6.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}\,dx$ $\displaystyle=\left.x\right|_{0}^{1}$ (4.79)

$\displaystyle=1-0=1$ (4.80)
b)

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\,dx$ $\displaystyle=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}$ (4.81)

$\displaystyle=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}$ (4.82)
c)

$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$ $\displaystyle=\left.\operatorname{sen}(x)\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{% 2}}$ (4.83)

$\displaystyle=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\operatorname{sen}% \left(-\frac{\pi}{2}\right)$ (4.84)

$\displaystyle=2$ (4.85)

Com o Python+SymPy, podemos computar as integrais indefinidas acima com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> # a)

4 >>> integrate(1, (x,0,1))

5 1

6 ..: # b)

7 In : integrate(x, (x,0,1))

8 1/2

9 ..: c)

10 In : integrate(cos(x), (x,-pi/2,pi/2))

11 2

Observação 4.2.1.

(Permutação dos limites de integração.) Do Teorema fundamental do cálculo, parte II, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}f(% x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx.

(4.86)

Ou seja, o valor da integral definida muda de sinal ao permutarmos seus limites de integração. De fato, se $F$ é uma primitiva de $f$ , então

$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx$	$\displaystyle=F(b)-F(a)$	(4.87)
	$\displaystyle=-\left[F(a)-F(b)\right]$	(4.88)
	$\displaystyle=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx.$	(4.89)

Exemplo 4.2.7.

Temos que

\int_{0}^{1}dx=\left.x\right|_{0}^{1}=1-0=1.

(4.90)

Agora,

\int_{1}^{0}dx=\left.x\right|_{1}^{0}=0-1=-1.

(4.91)

Conforme esperado, temos

\int_{0}^{1}dx=-\int_{1}^{0}dx.

(4.92)

4.2.5 Exercícios resolvidos

ER 4.2.1.

Calcule

\int_{1}^{\sqrt{e}}x-\frac{1}{x}\,dx.

(4.93)

Solução.

Primeiramente, notemos que

	$\displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C,$		(4.94)
	$\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x+C.$		(4.95)

Então, usando as propriedades de integração, temos

$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{e}}x-\frac{1}{x}\,dx$	$\displaystyle=\int_{1}^{\sqrt{e}}x\,dx-\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{1}{x}\,dx$	(4.96)
	$\displaystyle=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{\sqrt{e}}-\left[\ln x\right]_{% 1}^{\sqrt{e}}$	(4.97)
	$\displaystyle=\left[\frac{(\sqrt{e})^{2}}{2}-\frac{1}{2}\right]-\left[\ln\sqrt% {e}-\ln 1\right]$	(4.98)
	$\displaystyle=\frac{e}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln(e)-0$	(4.99)
	$\displaystyle=\frac{e}{2}-1.$	(4.100)

Com o Python+SymPy, podemos computar essa integral definida com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate((x - 1/x), (x,1,sqrt(E)))

4 -1 + E/2

ER 4.2.2.

Calcule a área entre o gráfico de $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ e as retas $y=0$ , $x=-\pi/2$ e $x=\pi/2$ .

Solução.

Lembrando que a integral definida está associada a área sob o gráfico do integrando, temos que a área desejada pode ser calculada por

A=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\operatorname{sen}(x)\,dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}% \operatorname{sen}(x)\,dx,

(4.101)

pois $\operatorname{sen}(x)<0$ para $x\in(-\pi/2,0)$ e $\operatorname{sen}(x)>0$ para $x\in(0,\pi/2)$ . Também, observamos que

\int\operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x)+C.

(4.102)

Logo, do Teorema fundamental do cálculo segue que

$\displaystyle A$	$\displaystyle=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\operatorname{sen}(x)\,dx+\int_{0}^{% \frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(x)\,dx$	(4.103)
	$\displaystyle=-\left[-\cos(x)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}+\left[-\cos(x)\right% ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$	(4.104)
	$\displaystyle=-[-1-0]+[-0-(-1)]=2.$	(4.105)

Com o Python+SymPy, podemos computar essa integral definida com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> A = -integrate(sin(x), (x,-pi/2,0))

4 >>> A += integrate(sin(x), (x,0,pi/2))

5 >>> A

6 2

ER 4.2.3.

Encontre a função $y=y(x)$ tal que

\frac{dy}{dx}=x,

(4.106)

e $y(0)=1$ .

Solução.

Integrando ambos os lados da equação diferencial em relação a $x$ , temos

	$\displaystyle\int\frac{dy}{dx}\,dx=\int x\,dx$		(4.107)
	$\displaystyle y=\frac{x^{2}}{2}+C$		(4.108)

Agora, da condição $y(0)=1$ , segue

	$\displaystyle y(0)=1$		(4.110)
	$\displaystyle\frac{0^{2}}{2}+C=1$		(4.111)
	$\displaystyle C=1.$		(4.112)

Concluímos que $y=x^{2}/2+1$ . Com o Python+SymPy, podemos resolver esta computar essa integral definida com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> y = Function('y')

3 >>> x = symbols('x')

4 >>> dsolve(Eq(diff(y(x),x), x), y(x), ics={y(0):1})

5 Eq(y(x), x**2/2 + 1)

4.2.6 Exercícios

E. 4.2.1.

Sejam $f$ e $g$ tais que

	$\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)\,dx=-2,\quad\int_{-1}^{0}f(x)\,dx=\frac{1}{2},$		(4.113)
	$\displaystyle\int_{-2}^{0}g(x)\,dx=1.$		(4.114)

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{-1}f(x)-51\cdot g(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-2}^{0}2g(x)-\frac{1}{2}f(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx$

Resposta.

a) $0$ ; b) $3$ ; c) $-5/2$

E. 4.2.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{2}2\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-3}^{-1}1-x\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{2}{x}\,dx$

Resposta.

a) $6$ ; b) $6$ ; c) $2$

E. 4.2.3.

Calcule a área entre o gráfico de $f(x)=x^{2}-1$ e as retas $y=0$ , $x=0$ e $x=2$ .

Resposta.

$4/3$

E. 4.2.4.

Encontre a função $y=y(x)$ tal que

\frac{dy}{dx}=\cos(x),

(4.115)

e $y(\pi)=1$ .

Resposta.

$y=\operatorname{sen}(x)+1$

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Pedro H A Konzen

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	$\displaystyle\int_{4}^{-1}g(x)\,dx$	$\displaystyle=-\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$		(4.31)
		$\displaystyle=-(-1)=1.$		(4.32)

	$\displaystyle\int_{-1}^{4}-2g(x)\,dx$	$\displaystyle=-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$		(4.34)
		$\displaystyle=2.$		(4.35)

$\displaystyle\int_{-1}^{4}\left[f(x)-2g(x)\right]\,dx$	$\displaystyle=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx-\int_{-1}^{4}2g(x)\,dx$	(4.36)
	$\displaystyle=2-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$	(4.37)
	$\displaystyle=2+2=4.$	(4.38)

	$\displaystyle\int_{-1}^{5}f(x)\,dx$	$\displaystyle=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx+\int_{4}^{5}f(x)\,dx$		(4.39)
		$\displaystyle=2+3=5.$		(4.40)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}\,dx$	$\displaystyle=\left.x\right\|_{0}^{1}$		(4.79)
		$\displaystyle=1-0=1$		(4.80)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x\,dx$	$\displaystyle=\left.\frac{x^{2}}{2}\right\|_{0}^{1}$		(4.81)
		$\displaystyle=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}$		(4.82)

$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$	$\displaystyle=\left.\operatorname{sen}(x)\right\|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{% 2}}$	(4.83)
	$\displaystyle=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\operatorname{sen}% \left(-\frac{\pi}{2}\right)$	(4.84)
	$\displaystyle=2$	(4.85)