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3.3 Teorema do valor médio
O teorema do valor médio é uma aplicação do teorema de Rolle.
3.3.1 Teorema de Rolle
O Teorema de Rolle fornece uma condição suficiente para que uma dada função diferenciável tenha derivada nula em pelo menos um ponto.
Figura 3.8: Ilustração do Teorema de Rolle.
Teorema 3.3.1.
(Teorema de Rolle)
Seja uma função contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto . Se
(3.51)
então existe pelo menos um ponto crítico tal que
(3.52)
Demonstração.
A ideia da demonstração é uma consequência dos teoremas 25 e 3.2.2. O primeiro, que existem pontos de mínimo e máximos globais , i.e.
(3.53)
Se , então é uma função contínua, donde segue que para todo . Agora, se , então ou é um extremo local. Sem perda de generalidade, supomos que seja o mínimo local. Neste caso, o teorema 3.2.2 nos garante que .
∎
Exemplo 3.3.1.
O polinômio tem pelo menos um ponto crítico no intervalo e no intervalo . De fato,temos e, pelo teorema de Rolle, segue que existe pelo menos um ponto tal que . Analogamente, como também , segue do teorema que existe pelo menos um ponto crítico no intervalo . Veja o esboço do gráfico de na Figura 3.9.
Figura 3.9: Esboço do gráfico de .
De fato, como todo polinômio é derivável em toda parte, podemos calcular os pontos críticos como segue.
(3.54)
(3.55)
(3.56)
Podemos usar os seguintes comandos2626endnote: 26Veja a Observação 3.0.1. para computar os pontos críticos de e plotar seu gráfico:
>>> p = x**3 - 4*x**2 + 3*x + 1
>>> pc = solve(p.diff()); pc
[-sqrt(7)/3 + 4/3, sqrt(7)/3 + 4/3]
>>> plot(p,(x,-0.5,3.5))
Exemplo 3.3.2.
Vejamos os seguintes casos em que o Teorema de Rolle não se aplica:
a)
A função
(3.57)
é tal que , entretanto sua derivada no intervalo . Ou seja, a condição da ser contínua no intervalo fechado associado é necessária no teorema de Rolle. Veja a Figura 3.10 para o esboço do gráfico desta função.
Figura 3.10: Esboço do gráfico da função referente ao Exemplo 3.3.2 a).
b)
Não existe ponto tal que a derivada da seja nula. Entretanto, notemos que e contínua no intervalo fechado . O teorema de Rolle não se aplica neste caso, pois não é derivável no intervalo , mais especificamente, no ponto . Veja a Figura 3.11.
Figura 3.11: Esboço do gráfico da função referente ao Exemplo 3.3.2 b).
3.3.2 Teorema do valor médio
O teorema do valor médio é uma generalização do teorema de Rolle.
Figura 3.12: Ilustração do Teorema do valor médio.
Teorema 3.3.2.
(Teorema do valor médio2727endnote: 27Também conhecido como Teorema de Lagrange.)
Seja uma função contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto . Então, existe pelo menos um ponto tal que
(3.58)
Demonstração.
O resultado segue da aplicação do Teorema de Rolle LABEL:teo:rolle a seguinte função
(3.59)
De fato, é contínua em , diferenciável em e . Logo, existe tal que
(3.60)
(3.61)
(3.62)
∎
Observação 3.3.1.
Em um contexto de aplicação, o Teorema do valor médio relaciona a taxa de variação média da função em um intervalo com a taxa de variação instantânea da função em um ponto interior deste intervalo.
Exemplo 3.3.3.
A função é contínua no intervalo e diferenciável no intervalo . Logo, segue do teorema do valor médio que existe pelo menos um ponto tal que
(3.63)
De fato, e, portanto, tomando , temos .
Corolário 3.3.1.
(Funções com derivadas nulas são constantes)
Se para todos os pontos em um intervalo , então é constante neste intervalo.
Demonstração.
De fato, sejam e, sem perda de generalidade, . Então, temos é contínua no intervalo e diferenciável em . Segue do teorema do valor médio que existe tal que
(3.64)
Como , temos . Ou seja, a função vale sempre o mesmo valor para quaisquer dois pontos no intervalo , logo é constante neste intervalo.
∎
Corolário 3.3.2.
(Função com a mesma derivada diferem por uma constante)
Se para todos os pontos em um intervalo aberto , então , constante, para todo .
Demonstração.
Segue, imediatamente, da aplicação do corolário anterior à função .
∎
Corolário 3.3.3.
(Monotonicidade e o sinal da derivada)
Suponha que seja contínua em e derivável em .
a)
Se para todo , então é crescente2828endnote: 28 é função crescente em um intervalo , quando em implica . em .
b)
Se para todo , então é decrescente2929endnote: 29 é função decrescente em um intervalo , quando em implica . em .
Demonstração.
Vamos demonstrar o item a), i.e. se para todo , então é crescente em . Sejam com . Observamos que é contínua em e diferenciável em . Logo, pelo Teorema do valor médio 27, temos que existe tal que
(3.65)
ou, equivalentemente,
(3.66)
Como para todo e , concluímos que , i.e.
(3.67)
Com isso, mostramos que se com , então , i.e. é crescente em .
A demonstração do item b) é análoga, consulte o Exercício 3.3.6.
∎
Exemplo 3.3.4.
Vamos estudar a monotonicidade da função polinomial . Na Figura 3.13, temos o esboço de seu gráfico.
Figura 3.13: Esboço do gráfico de .
Podemos usar o Corolário 3.3.3 para estudarmos a monotonicidade (i.e. intervalos de crescimento ou decrescimento). Isto é, fazemos o estudo de sinal da derivada de . Calculamos
(3.68)
Logo, temos
Ou seja, no conjunto e no conjunto . Concluímos que é crescente nos intervalos e , enquanto que é decrescente no intervalo .
Exemplo 3.3.5.
A função exponencial é crescente em toda parte. De fato, temos
(3.69)
para todo .
3.3.3 Exercícios resolvidos
ER 3.3.1.
Um carro percorreu 150 km em 1h30min. Mostre que em algum momento o carro estava a uma velocidade maior que 80 km/h.
Solução 0.
Seja a função distância percorrida pelo carro e o tempo, em horas, contado do início do percurso. Do teorema do valor médio, exite tempo tal que
(3.70)
Ou seja, em algum momento o carro atingiu a velocidade de 100 km/h.
ER 3.3.2.
Estude a monotonicidade da função gaussiana .
Solução 0.
Para estudarmos a monotonicidade de uma função, podemos fazer o estudo de sinal de sua derivada. Neste caso, temos
(3.71)
Assim, vemos que
Concluímos que é crescente no intervalo e decrescente no intervalo .
3.3.4 Exercícios
E. 3.3.1.
Estude a monotonicidade de .
Resposta 0.
Decrescente: ; Crescente:
E. 3.3.2.
Estude a monotonicidade de .
Resposta 0.
Decrescente: ; Crescente: ;
E. 3.3.3.
Estude a monotonicidade de .
Resposta 0.
Crescente:
E. 3.3.4.
Estude a monotonicidade de .
Resposta 0.
Crescente: ; Decrescente de
E. 3.3.5.
Demonstre que um polinômio cúbico pode ter no máximo raízes reais.
Resposta 0.
Dica: use o teorema de Rolle.
E. 3.3.6.
Seja contínua em e derivável em . Mostre que se para todo , então é decrescente em .
Resposta 0.
Dica: consulte a demonstração do item a) do Corolário 3.3.3.
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3.3 Teorema do valor médio
O teorema do valor médio é uma aplicação do teorema de Rolle.
3.3.1 Teorema de Rolle
O Teorema de Rolle fornece uma condição suficiente para que uma dada função diferenciável tenha derivada nula em pelo menos um ponto.
Figura 3.8: Ilustração do Teorema de Rolle.
Teorema 3.3.1.
(Teorema de Rolle)
Seja uma função contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto . Se
(3.51)
então existe pelo menos um ponto crítico tal que
(3.52)
Demonstração.
A ideia da demonstração é uma consequência dos teoremas 25 e 3.2.2. O primeiro, que existem pontos de mínimo e máximos globais , i.e.
(3.53)
Se , então é uma função contínua, donde segue que para todo . Agora, se , então ou é um extremo local. Sem perda de generalidade, supomos que seja o mínimo local. Neste caso, o teorema 3.2.2 nos garante que .
∎
Exemplo 3.3.1.
O polinômio tem pelo menos um ponto crítico no intervalo e no intervalo . De fato,temos e, pelo teorema de Rolle, segue que existe pelo menos um ponto tal que . Analogamente, como também , segue do teorema que existe pelo menos um ponto crítico no intervalo . Veja o esboço do gráfico de na Figura 3.9.
Figura 3.9: Esboço do gráfico de .
De fato, como todo polinômio é derivável em toda parte, podemos calcular os pontos críticos como segue.
(3.54)
(3.55)
(3.56)
Podemos usar os seguintes comandos2626endnote: 26Veja a Observação 3.0.1. para computar os pontos críticos de e plotar seu gráfico:
>>> p = x**3 - 4*x**2 + 3*x + 1
>>> pc = solve(p.diff()); pc
[-sqrt(7)/3 + 4/3, sqrt(7)/3 + 4/3]
>>> plot(p,(x,-0.5,3.5))
Exemplo 3.3.2.
Vejamos os seguintes casos em que o Teorema de Rolle não se aplica:
a)
A função
(3.57)
é tal que , entretanto sua derivada no intervalo . Ou seja, a condição da ser contínua no intervalo fechado associado é necessária no teorema de Rolle. Veja a Figura 3.10 para o esboço do gráfico desta função.
Figura 3.10: Esboço do gráfico da função referente ao Exemplo 3.3.2 a).
b)
Não existe ponto tal que a derivada da seja nula. Entretanto, notemos que e contínua no intervalo fechado . O teorema de Rolle não se aplica neste caso, pois não é derivável no intervalo , mais especificamente, no ponto . Veja a Figura 3.11.
Figura 3.11: Esboço do gráfico da função referente ao Exemplo 3.3.2 b).
3.3.2 Teorema do valor médio
O teorema do valor médio é uma generalização do teorema de Rolle.
Figura 3.12: Ilustração do Teorema do valor médio.
Teorema 3.3.2.
(Teorema do valor médio2727endnote: 27Também conhecido como Teorema de Lagrange.)
Seja uma função contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto . Então, existe pelo menos um ponto tal que
(3.58)
Demonstração.
O resultado segue da aplicação do Teorema de Rolle LABEL:teo:rolle a seguinte função
(3.59)
De fato, é contínua em , diferenciável em e . Logo, existe tal que
(3.60)
(3.61)
(3.62)
∎
Observação 3.3.1.
Em um contexto de aplicação, o Teorema do valor médio relaciona a taxa de variação média da função em um intervalo com a taxa de variação instantânea da função em um ponto interior deste intervalo.
Exemplo 3.3.3.
A função é contínua no intervalo e diferenciável no intervalo . Logo, segue do teorema do valor médio que existe pelo menos um ponto tal que
(3.63)
De fato, e, portanto, tomando , temos .
Corolário 3.3.1.
(Funções com derivadas nulas são constantes)
Se para todos os pontos em um intervalo , então é constante neste intervalo.
Demonstração.
De fato, sejam e, sem perda de generalidade, . Então, temos é contínua no intervalo e diferenciável em . Segue do teorema do valor médio que existe tal que
(3.64)
Como , temos . Ou seja, a função vale sempre o mesmo valor para quaisquer dois pontos no intervalo , logo é constante neste intervalo.
∎
Corolário 3.3.2.
(Função com a mesma derivada diferem por uma constante)
Se para todos os pontos em um intervalo aberto , então , constante, para todo .
Demonstração.
Segue, imediatamente, da aplicação do corolário anterior à função .
∎
Corolário 3.3.3.
(Monotonicidade e o sinal da derivada)
Suponha que seja contínua em e derivável em .
a)
Se para todo , então é crescente2828endnote: 28 é função crescente em um intervalo , quando em implica . em .
b)
Se para todo , então é decrescente2929endnote: 29 é função decrescente em um intervalo , quando em implica . em .
Demonstração.
Vamos demonstrar o item a), i.e. se para todo , então é crescente em . Sejam com . Observamos que é contínua em e diferenciável em . Logo, pelo Teorema do valor médio 27, temos que existe tal que
(3.65)
ou, equivalentemente,
(3.66)
Como para todo e , concluímos que , i.e.
(3.67)
Com isso, mostramos que se com , então , i.e. é crescente em .
A demonstração do item b) é análoga, consulte o Exercício 3.3.6.
∎
Exemplo 3.3.4.
Vamos estudar a monotonicidade da função polinomial . Na Figura 3.13, temos o esboço de seu gráfico.
Figura 3.13: Esboço do gráfico de .
Podemos usar o Corolário 3.3.3 para estudarmos a monotonicidade (i.e. intervalos de crescimento ou decrescimento). Isto é, fazemos o estudo de sinal da derivada de . Calculamos
(3.68)
Logo, temos
Ou seja, no conjunto e no conjunto . Concluímos que é crescente nos intervalos e , enquanto que é decrescente no intervalo .
Exemplo 3.3.5.
A função exponencial é crescente em toda parte. De fato, temos
(3.69)
para todo .
3.3.3 Exercícios resolvidos
ER 3.3.1.
Um carro percorreu 150 km em 1h30min. Mostre que em algum momento o carro estava a uma velocidade maior que 80 km/h.
Solução 0.
Seja a função distância percorrida pelo carro e o tempo, em horas, contado do início do percurso. Do teorema do valor médio, exite tempo tal que
(3.70)
Ou seja, em algum momento o carro atingiu a velocidade de 100 km/h.
ER 3.3.2.
Estude a monotonicidade da função gaussiana .
Solução 0.
Para estudarmos a monotonicidade de uma função, podemos fazer o estudo de sinal de sua derivada. Neste caso, temos
(3.71)
Assim, vemos que
Concluímos que é crescente no intervalo e decrescente no intervalo .
3.3.4 Exercícios
E. 3.3.1.
Estude a monotonicidade de .
Resposta 0.
Decrescente: ; Crescente:
E. 3.3.2.
Estude a monotonicidade de .
Resposta 0.
Decrescente: ; Crescente: ;
E. 3.3.3.
Estude a monotonicidade de .
Resposta 0.
Crescente:
E. 3.3.4.
Estude a monotonicidade de .
Resposta 0.
Crescente: ; Decrescente de
E. 3.3.5.
Demonstre que um polinômio cúbico pode ter no máximo raízes reais.
Resposta 0.
Dica: use o teorema de Rolle.
E. 3.3.6.
Seja contínua em e derivável em . Mostre que se para todo , então é decrescente em .
Resposta 0.
Dica: consulte a demonstração do item a) do Corolário 3.3.3.
Envie seu comentário
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!