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2.4 Mudança de base

Sejam $B=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ e $C=(\vec{r},\vec{s},\vec{t})$ bases do espaço $V$ . Conhecendo as coordenadas de um vetor na base $C$ , queremos determinar suas coordenadas na base $B$ . Consultemos a Figura 2.10 para uma representação gráfica do problema.

Refer to caption — Figura 2.10: Representação gráfica do problema de mudança de base.

Para fazermos a mudança de base, vamos escrever o vetor $\vec{z}$ em termos da base $C$ e, em seguida, em termos da base $B$ . Temos

	$\displaystyle\vec{z}=(z_{1},z_{2},z_{3})_{C}$		(2.145)
	$\displaystyle\text{}\quad=z_{1}\vec{r}+z_{2}\vec{s}+z_{3}\vec{t}.$		(2.146)

Agora, tendo $\vec{r}=(r_{1},r_{2},r_{3})_{B}$ , $\vec{s}=(s_{1},s_{2},s_{3})_{B}$ e $\vec{t}=(t_{1},t_{2},t_{3})_{B}$ , então

	$\displaystyle(z_{1},z_{2},z_{3})_{C}=z_{1}(r_{1},r_{2},r_{3})_{B}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+z_{2}(s_{1},s_{2},s_{3})_{B}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+z_{3}(t_{1},t_{2},t_{3})_{B}$		(2.147)
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{(r_{1}z_{1}+s_{1}z_{2}+t_{1}z_{3})}_{z_{% 1}^{\prime}}\vec{u}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\underbrace{(r_{2}z_{1}+s_{2}z_{2}+t_{2}z_{3})}_{z_% {2}^{\prime}}\vec{v}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\underbrace{(r_{3}z_{1}+s_{3}z_{2}+t_{3}z_{3})}_{z_% {3}^{\prime}}\vec{w}$		(2.148)

o que é equivalente a

\begin{bmatrix}z_{1}^{\prime}\\ z_{2}^{\prime}\\ z_{3}^{\prime}\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}r_{1}&s_{1}&t_{1}\\ r_{2}&s_{2}&t_{2}\\ r_{3}&s_{3}&t_{3}\end{bmatrix}}_{M_{CB}}\begin{bmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}\end{bmatrix},

(2.149)

onde $\vec{z}=(z_{1}^{\prime},z_{2}^{\prime},z_{3}^{\prime})_{B}$ .

A matriz $M_{CB}$ é chamada de matriz de mudança de base de $C$ para $B$ . Como os vetores $\vec{r}$ , $\vec{s}$ e $\vec{t}$ são l.i., temos que $M_{CB}$ tem determinante não nulo e, portanto, é invertível. Logo, multiplicando por $M_{CB}^{-1}$ pela esquerda em (2.149), temos

\begin{bmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}r_{1}&s_{1}&t_{1}\\ r_{2}&s_{2}&t_{2}\\ r_{3}&s_{3}&t_{3}\end{bmatrix}^{-1}}_{M_{BC}}\begin{bmatrix}z_{1}^{\prime}\\ z_{2}^{\prime}\\ z_{3}^{\prime}\end{bmatrix},

(2.150)

ou seja

M_{BC}=(M_{CB})^{-1}.

(2.151)

Exemplo 2.4.1.

Sejam dadas as bases $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ e $C=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ , com $\vec{u}=(1,2,0)_{B}$ , $\vec{v}=(2,0,-1)_{B}$ e $\vec{w}=(-1,-3,1)_{B}$ . Seja, ainda, o vetor $\vec{z}=(1,-2,1)_{B}$ . Vamos encontrar as coordenadas de $\vec{z}$ na base $C$ .

Há duas formas de proceder.

Método 1.

A primeira consiste em resolver, de forma direta, a seguinte equação

(1,-2,1)_{B}=(x,y,z)_{C}.

(2.152)

Esta é equivalente a

	$\displaystyle\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}=x\vec{u}+y\vec{v}+z\vec{w}$		(2.153)
	$\displaystyle\text{}\quad=x(1,2,0)_{B}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+y(2,0,-1)_{B}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+z(-1,-3,1)_{B}$		(2.154)
	$\displaystyle\text{}\quad=x(\vec{a}+2\vec{b})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+y(2\vec{a}-\vec{c})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+z(-\vec{a}-3\vec{b}+\vec{c})$		(2.155)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x+2y-z)\vec{a}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+(2x-3z)\vec{b}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+(-y+z)\vec{c}$		(2.156)

Isto nos leva ao seguinte sistema linear

\left\{\begin{array}[]{l}x+2y-z=1\\ 2x-3z=-2\\ -y+z=1\end{array}\right.

(2.157)

Resolvendo este sistema, obtemos $x=7/5$ , $y=3/5$ e $z=8/5$ , i.e.

\vec{z}=\left(\frac{7}{5},\frac{3}{5},\frac{8}{5}\right)_{C}.

(2.158)

Método 2.

Outra maneira de obter as coordenadas de $\vec{z}$ na base $C$ é usar a matriz de mudança de base. A matriz de mudança da base $C$ para a base $B$ é

	$\displaystyle M_{CB}=\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\ u_{2}&v_{2}&w_{2}\\ u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{bmatrix}$		(2.159)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{bmatrix}1&2&-1\\ 2&0&-3\\ 0&-1&1\end{bmatrix}.$		(2.160)

Entretanto, neste exemplo, queremos fazer a mudança de $B$ para $C$ . Portanto, calculamos a matriz de mudança de base $M_{BC}$ . Segue:

	$\displaystyle M_{BC}=M_{CB}^{-1}$		(2.161)
	$\displaystyle M_{BC}=\begin{bmatrix}1&2&-1\\ 2&0&-3\\ 0&-1&1\end{bmatrix}^{-1}$		(2.162)
	$\displaystyle M_{BC}=\begin{bmatrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\ \frac{2}{5}&-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\ \frac{2}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{bmatrix}$		(2.163)

Com esta matriz e denotando $\vec{z}=(x,y,z)_{C}$ , temos

	$\displaystyle\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}&\frac{6}{5}% \\ \frac{2}{5}&-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\ \frac{2}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{bmatrix}}_{M_{BC}}\begin{bmatrix}1\\ -2\\ 1\end{bmatrix}$		(2.164)
	$\displaystyle\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7/5\\ 3/5\\ 8/5\end{bmatrix}$		(2.165)

Logo, temos

\vec{z}=\left(\frac{7}{5},\frac{3}{5},\frac{8}{5}\right)_{C}.

(2.166)

2.4.1 Exercícios resolvidos

ER 2.4.1.

Sejam $B$ e $C$ bases dadas do espaço $V$ . Sabendo que a matriz de mudança de base de $B$ para $C$ é

M=\begin{bmatrix}1&0&-1\\ -1&1&0\\ 2&3&1\end{bmatrix},

(2.167)

calcule a matriz de mudança de base de $C$ para $B$ .

Resolução.

Sejam $M_{BC}=M$ a matriz de mudança de base de $B$ para $C$ e $M_{CB}$ a matriz de mudança de base de $C$ para $B$ . Temos

	$\displaystyle M_{CB}=M_{BC}^{-1}$		(2.168)
	$\displaystyle M_{CB}=M^{-1}$		(2.169)
	$\displaystyle M_{CB}=\begin{bmatrix}1&0&-1\\ -1&1&0\\ 2&3&1\end{bmatrix}^{-1}$		(2.170)
	$\displaystyle M_{CB}=\begin{bmatrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\ -\frac{5}{6}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{bmatrix}$		(2.171)

ER 2.4.2.

Fixadas as mesmas bases do ER.2.4.1, determine as coordenadas do vetor $\vec{u}$ na base $C$ , sabendo que $\vec{u}=(2,-1,-3)_{B}$ .

Resolução.

Denotando $[\vec{u}]_{C}=(x,y,z)_{C}$ , temos

	$\displaystyle[\vec{u}]_{C}=M_{BC}[\vec{u}]_{B}$		(2.172)
	$\displaystyle\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&-1\\ -1&1&0\\ 2&3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\ 1\\ -3\end{bmatrix}$		(2.173)
	$\displaystyle\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\ -3\\ -2\end{bmatrix}$		(2.174)

Logo, $[\vec{u}]_{C}=(5,-3,-2)_{C}$ .

ER 2.4.3.

Considere dadas as bases $A$ , $B$ e $C$ . Sejam, também, $M_{AB}$ a matriz de mudança de base de $A$ para $B$ e $M_{BC}$ a matriz de mudança de base de $B$ para $C$ . Determine a matriz de mudança de base de $A$ para $C$ em função das matrizes $M_{AB}$ e $M_{BC}$ .

Resolução.

Para um vetor $\vec{u}$ qualquer, temos

	$\displaystyle\vec{u}_{B}=M_{AB}\vec{u}_{A}$		(2.175)
	$\displaystyle\vec{u}_{C}=M_{BC}\vec{u}_{B}$		(2.176)

Logo, temos

	$\displaystyle\vec{u}_{C}=M_{BC}\left(M_{AB}\vec{u}_{A}\right)$		(2.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(M_{BC}M_{AB}\right)\vec{u}_{A}.$		(2.178)

Concluímos que $M_{AC}=M_{BC}M_{AB}$ .

2.4.2 Exercícios

E. 2.4.1.

Sejam $A$ e $B$ bases dadas de $V$ (espaço tridimensional). Sabendo que $\vec{v}=(-2,0,1)_{A}$ e que a matriz de mudança de base

M_{AB}=\begin{bmatrix}1&0&-1\\ 0&2&-1\\ -1&1&0\end{bmatrix},

(2.179)

determine $\vec{v}_{B}$ , i.e. as coordenadas de $\vec{v}$ na base $B$ .

$\vec{v}=(-3,-1,2)_{B}$

E. 2.4.2.

Sejam $A$ e $B$ bases dadas de $V$ (espaço tridimensional). Sabendo que $\vec{v}=(-2,0,1)_{B}$ e que a matriz de mudança de base

M_{AB}=\begin{bmatrix}1&0&-1\\ 0&2&-1\\ -1&1&0\end{bmatrix},

(2.180)

determine $\vec{v}_{A}$ , i.e. as coordenadas de $\vec{v}$ na base $A$ .

$\vec{v}=(0,1,2)_{A}$

E. 2.4.3.

Sejam $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ e $C=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ bases de $V$ com

	$\displaystyle\vec{u}=(0,1,1)_{B}$		(2.181)
	$\displaystyle\vec{v}=(1,0,1)_{B}$		(2.182)
	$\displaystyle\vec{w}=(2,1,-1)_{B}$		(2.183)

Forneça a matriz de mudança de base $M_{CB}$ .

$\displaystyle\begin{bmatrix}0&1&2\\ 1&0&1\\ 1&1&-1\end{bmatrix}$

E. 2.4.4.

Sejam $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ e $C=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ bases de $V$ com

	$\displaystyle\vec{a}=(0,1,1)_{C}$		(2.184)
	$\displaystyle\vec{b}=(1,0,1)_{C}$		(2.185)
	$\displaystyle\vec{c}=(2,1,-1)_{C}$		(2.186)

Forneça a matriz de mudança de base $M_{CB}$ .

$\displaystyle\begin{bmatrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{bmatrix}$

E. 2.4.5.

Sejam $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ e $C=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ bases de $V$ com

	$\displaystyle\vec{u}=(0,1,1)_{B}$		(2.187)
	$\displaystyle\vec{v}=(1,0,1)_{B}$		(2.188)
	$\displaystyle\vec{w}=(2,1,-1)_{B}$		(2.189)

Sabendo que $\vec{d}=(0,-1,2)_{C}$ , forneça $\vec{d}_{B}$ , i.e. as coordenadas do vetor $\vec{d}$ na base $B$ .

$\displaystyle\left[\begin{matrix}3\\ 2\\ -3\end{matrix}\right]$

E. 2.4.6.

Sejam $B=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ e $C=(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ bases de $V$ com

	$\displaystyle\vec{u}=(0,1,1)_{B}$		(2.190)
	$\displaystyle\vec{v}=(1,0,1)_{B}$		(2.191)
	$\displaystyle\vec{w}=(2,1,-1)_{B}$		(2.192)

Sabendo que $\vec{d}=(1,-2,1)_{B}$ , forneça $\vec{d}_{C}$ , i.e. as coordenadas do vetor $\vec{d}$ na base $C$ .

$\displaystyle\left[\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\ 2\\ -\frac{1}{2}\end{matrix}\right]$

E. 2.4.7.

Considere dadas as bases $A$ , $B$ e $C$ do espaço tridimensional $V$ . Sejam, também, $M_{AB}$ a matriz de mudança de base de $A$ para $B$ e $M_{CB}$ a matriz de mudança de base de $C$ para $B$ . Determine a matriz de mudança de base de $A$ para $C$ em função das matrizes $M_{AB}$ e $M_{CB}$ .

$M_{AC}=M_{CB}^{-1}M_{AB}$

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2.4 Mudança de base

Exemplo 2.4.1.

2.4.1 Exercícios resolvidos

ER 2.4.1.

Resolução.

ER 2.4.2.

Resolução.

ER 2.4.3.

Resolução.

2.4.2 Exercícios

E. 2.4.1.

E. 2.4.2.

E. 2.4.3.

E. 2.4.4.

E. 2.4.5.

E. 2.4.6.

E. 2.4.7.

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