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Pré-Cálculo

1 Números reais 1.1 Conjuntos numéricos 1.3 Conjunto dos números reais

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1.2 Conjunto dos números racionais

Nesta seção, vamos estudar alguns aspectos fundamentais sobre o conjunto dos números racionais.

1.2.1 Números naturais

Os números naturais são os números de contagem

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\},

(1.40)

onde as reticências denotam a sequência dos números (consulte a Figura 1.7 para uma representação geométrica).

Refer to caption — Figura 1.7: Representação geométrica dos números naturais.

O conjunto dos números naturais pode ser construído dos axiomas de Peano²²endnote: ²Giuseppe Peano, 1858 - 1932, matemático italiano. Fonte: Giuseppe Peano

a)

todo número natural $m$ tem um sucessor $m+1$ ;
b)

números que têm o mesmo sucessor são iguais;
c)

$0$ é o único número natural que não é sucessor de nenhum outro;
d)

Se um subconjunto $A$ de números naturais contém o $0$ e contém o sucessor de cada um de seus elementos, então $A=\mathbb{N}$ ³³endnote: ³Axioma do Princípio da Indução..

Código 12: Python

⬇

1from sympy import S

2print('0 in N?', 0 in S.Naturals0)

3print('1 in N?', 1 in S.Naturals0)

4print('-1 in N?', -1 in S.Naturals0)

0 in N? True

1 in N? True

-1 in N? False

Operações de adição e multiplicação

Nos números naturais $m,n\in\mathbb{N}$ estão bem definidas as operações usuais de:

a)

adição

$m+n=m+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{ vezes}}$ (1.41)
b)

multiplicação

$m\cdot n=\underbrace{m+m+\cdots+m}_{n\text{ vezes}}$ (1.42)

Exemplo 1.2.1.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$2+1=3$

Código 13: Python

⬇

12 + 1

⬇

3
b)

$1+2=3$
c)

$10+5=15$
d)

$3\cdot 2=6$

Código 14: Python

⬇

13 * 2

⬇

6
e)

$2\cdot 3=6$

Propriedades das operações

Sendo $m,n,p\in\mathbb{N}$ , temos ainda as seguintes propriedades fundamentais:

•

$0$ é o elemento neutro da adição

$m+0=m.$ (1.43)

Código 15: Python

⬇

1from sympy import Symbol

2m = Symbol('m', natural0=True)

3print('m + 0 = m?', m + 0 == m)

⬇

m + 0 = m? True
•

comutatividade da adição

$m+n=n+m$ (1.44)

Código 16: Python

⬇

1from sympy import symbols

2m, n = symbols('m, n', natural0=True)

3print('m + n = n + m?', m + n == n + m)

⬇

m + n = n + m? True
•

associatividade da adição

$m+(n+p)=(m+n)+p$ (1.45)
•

$1$ é o elemento neutro da multiplicação

$m\cdot 1=m.$ (1.46)
•

comutatividade da multiplicação

$m\cdot n=n\cdot m$ (1.47)
•

associatividade da multiplicação

$m\cdot(n\cdot p)=(m\cdot n)\cdot p$ (1.48)

Exemplo 1.2.2.

Verificamos as propriedades acima para casos específicos.

a)

Elemento neutro da adição

$5+0=5$ (1.49)
b)

Comutatividade da adição

$2+3=3+2$ (1.50)
c)

Associatividade da adição

$\displaystyle 2+(3+4)=2+7$ $\displaystyle=9$ (1.51)

$\displaystyle(2+3)+4=5+4$ $\displaystyle=9$ (1.52)
d)

Elemento neutro da multiplicação

$3\cdot 1=3$ (1.53)
e)

Comutatividade da multiplicação

$5\cdot 2=2\cdot 5=10$ (1.54)
f)

Associatividade da multiplicação

$\displaystyle 2\cdot(3\cdot 4)=2\cdot 12$ $\displaystyle=24$ (1.55)

$\displaystyle(2\cdot 3)\cdot 4=6\cdot 4$ $\displaystyle=24$ (1.56)

1.2.2 Números inteiros

O conjuntos dos números inteiros é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathbb{Z}=\{% \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}.

(1.57)

Os números com sinal negativo “ $-$ ” são definidos como sendo opostos aos respectivos números naturais. Mais precisamente, o oposto de um número $m$ é denotado por $-m$ e é tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m+(-m)=0.

(1.58)

Os números inteiros podem ser representados geometricamente como pontos sobre uma reta (consultemos a Figura 1.8). No centro, coloca-se o zero, à direita colocam-se os números positivos em ordem e igualmente espaçados. À esquerda do zero, colocam-se os números negativos, opostos aos respectivos números positivos.

Código 17: Python

⬇

1from sympy import S

2print('5 in Z?', 5 in S.Integers)

3print('0 in Z?', 0 in S.Integers)

4print('-3 in Z?', -3 in S.Integers)

5print('2.5 in Z?', 2.5 in S.Integers)

5 in Z? True

0 in Z? True

-3 in Z? True

2.5 in Z? False

Exemplo 1.2.3.

Consideramos os seguintes casos:

a)

$-1$ é o oposto de $1$ :

$1+(-1)=0$ (1.59)
b)

$2$ é o oposto de $-2$ :

$-2+2=0$ (1.60)

Os números inteiros contém os números naturais (consultemos a Figura 1.9), i.e.

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}.

(1.61)

Ainda, as operações de adição e multiplicação podem ser imediatamente estendidas para os números inteiros, assim como suas propriedades de elemento neutro, comutatividade e associatividade.

Código 18: Python

⬇

1from sympy import S

2print(S.Naturals.is_subset(S.Integers))

True

Operação de Subtração

Com a definição de oposto, podemos definir a operação de subtração de dois números inteiros da seguinte forma

	$\displaystyle m-n=m+(-n)$		(1.62)
	$\displaystyle\text{}\quad=-n+m,$		(1.63)

sendo a operação de adição definida usualmente.

Código 19: Python

⬇

1from sympy import symbols

2m, n = symbols('m n', integer=True)

3print('m-n = n-m?', m-n == -n+m)

m-n = n-m? True

Exemplo 1.2.4.

	$\displaystyle 2-3=2+(-3)$		(1.64)
	$\displaystyle\text{}\quad=-3+2=-1$		(1.65)

Código 20: Python

⬇

12 - 3

-1

Valor absoluto

Dado um número $p\in\mathbb{Z}$ , definimos o seu valor absoluto⁴⁴endnote: ⁴Também, chamado de módulo. pelo número inteiro

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}|p|=\left\{% \begin{array}[]{ll}p&,p\geq 0,\\ -p&,p<0.\end{array}\right.

(1.66)

Exemplo 1.2.5.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$|3|=3$
b)

$|-2|=-(-2)=2$
c)

$|0|=0$

Código 21: Python

⬇

1from sympy import Abs, Symbol

2print('|3| =', Abs(3))

3print('|-2| =', Abs(2))

4print('|0| =', Abs(0))

5m = Symbol('m', integer=True, nonnegative=True)

6print('m >= 0, |-m| = ', Abs(-m))

|3| = 3

|-2| = 2

|0| = 0

m >= 0, |-m| = m

Para qualquer $p\in\mathbb{Z}$ , temos as seguintes propriedades:

a)

$|p|\geq 0$
b)

$|p|=0\Leftrightarrow p=0$
c)

$|p|=|-p|$
d)

$|p|<q\Leftrightarrow-q<p<q$
e)

$|p|>q\Leftrightarrow-p<-q\text{ ou }p>q$

1.2.3 Números racionais

O conjunto dos números racionais é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathbb{Q}=% \left\{\frac{p}{q}:\leavevmode\nobreak\ p\in\mathbb{Z}\text{ e }q\in\mathbb{Z}% ^{*}\right\},

(1.67)

sendo $\mathbb{Z}^{*}=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ . O quociente $p/q$ é definido como sendo o resultado da operação de divisão de $p$ por $q$ , i.e.

\frac{p}{q}=x\Leftrightarrow p=x\cdot q.

(1.68)

Observação 1.2.1.(Divisão por zero)

Não está definida a divisão por zero! Note que não existe $x$ tal que

\frac{p}{0}=x\Leftrightarrow p=0\cdot x.

(1.69)

Também, $0/0$ não está bem definido. Neste caso, temos uma indeterminação matemática⁵⁵endnote: ⁵Indeterminação matemática é um conceito do cálculo de limites., de fato não existe um único número $x$ tal que

\frac{0}{0}=x\Leftrightarrow 0=0\cdot x.

(1.70)

A operação de adição de números racionais fica, então

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{a}{b}+% \frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}

(1.71)

Observação 1.2.2.(Divisão em Python)

No Python, a operação de divisão é feita com o operador / e retorna um número decimal. Para obter o quociente de dois números inteiros, usamos a função S() do módulo sympy.

Exemplo 1.2.6.

	$\displaystyle\frac{2}{5}+\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 4+3\cdot 5}{5\cdot 4}$		(1.72)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{8+15}{20}$		(1.73)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{23}{20}$		(1.74)

Código 22: Python

⬇

1from sympy import S

2S(2)/5 + S(3)/4

23/20

A operação de multiplicação fica, então

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{a}{b}% \cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.

(1.75)

Exemplo 1.2.7.

	$\displaystyle\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2}=\frac{\cancel{2}\cdot 3}{5\cdot% \cancel{2}}$		(1.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{3}{5}$		(1.77)

Código 23: Python

⬇

1from sympy import S

2S(2)/5 * S(3)/2

3/5

Observação 1.2.3.(Os números racionais, inteiros ou naturais)

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}

(1.78)

Isso segue do fato de que se $m\in\mathbb{Z}$ , então

m=\frac{m}{1}.

(1.79)

Os números racionais também herdam as propriedades de elemento neutro, comutatividade e associatividade nas operações de adição e multiplicação.

Operação de Potenciação

Outra operação fundamental é a operação de potenciação. A potenciação de um número racional $p/q\neq 0$ por um número natural $n$ é definida por

\left(\frac{p}{q}\right)^{n}=\underbrace{\frac{p}{q}\cdot\frac{p}{q}\cdot% \cdots\cdot\frac{p}{q}}_{n\text{ vezes}},

(1.80)

sendo $(p/q)^{0}=1$ . Ainda, definimos o inverso de um número racional $p/q$ por

\left(\frac{p}{q}\right)^{-1}=\frac{q}{p}.

(1.81)

Mais precisamente, o inverso de um número $x\neq 0$ é denotado por $x^{-1}$ e é tal que

x\cdot x^{-1}=1.

(1.82)

Com a escolha acima, vemos que $(p/q)^{-1}=q/p$ , pois

$\displaystyle\frac{p}{q}\cdot\frac{q}{p}$	$\displaystyle=\frac{p\cdot q}{q\cdot p}$	(1.83)
	$\displaystyle=\frac{q\cdot p}{q\cdot p}$	(1.84)
	$\displaystyle=\frac{q}{q}\cdot\frac{p}{p}$	(1.85)
	$\displaystyle=1\cdot 1=1.$	(1.86)

Exemplo 1.2.8.

Verifiquemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\left(\frac{3}{2}\right)^{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot% \frac{3}{2}$ (1.87)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{9}{4}\cdot\frac{3}{2}$ (1.88)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{27}{8}$ (1.89)
b)

$\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ (1.90)

$\displaystyle\text{}\quad=4\cdot 2$ (1.91)

$\displaystyle\text{}\quad=8$ (1.92)
c)

$\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}=\frac{2}{3}$ (1.93)

No Python, o operador de potenciação é **. Os casos acima podem ser computados como segue

⬇

1 In : from sympy import S

2 In : (S(3)/2)**3

3 Out: 27/8

4 In : 2**3

5 Out: 8

6 In : (S(3)/2)**-1

7 Out: 2/3

Sendo $a,b\in\mathbb{Q}$ e $n,m\in\mathbb{N}$ , temos as seguintes propriedades fundamentais da operação de potenciação⁶⁶endnote: ⁶Estas propriedades são válidas desde que as operações estejam bem definidas. Por exemplo, a segunda propriedade elencada somente é válida no caso de $a\neq 0$ .:

•

$a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$
•

$\displaystyle a^{-m}=\left(a^{m}\right)^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{m}$
•

$\displaystyle a^{m\cdot n}=\left(a^{m}\right)^{n}=\left(a^{n}\right)^{m}$
•

$\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}$

Observação 1.2.4.(Potências de zero não bem definidas)

As seguintes potenciações não estão bem definidas:

•

$0^{-1}$ não existe.

$0^{-1}=\frac{1}{0}\nexists$ (1.94)

O símbolo $\exists$ lê-se existe e o $\nexists$ lê-se não existe.
•

$0^{0}$ não está bem definida.

$\displaystyle 0^{0}=0^{1-1}$ (1.95)

$\displaystyle\text{}\quad=0^{1}\cdot 0^{-1}$ (1.96)

$\displaystyle\text{}\quad=0\cdot\cancelto{\nexists}{\frac{1}{0}}$ (1.97)

Enquanto que para $x\neq 0$ temos $x^{0}=1$ , $0^{0}$ não está bem definida! Trata-se de uma indeterminação, conceito introduzido em um curso de Cálculo. Por outro lado, há situações em que adota-se a convenção de que $0^{0}=1$ . Este é o caso da linguagem Python e várias outras. Em Python, temos

⬇

1 >>> 0**0

2 1

Observação 1.2.5.

No SymPy, o conjunto dos números racionais é definido por S.Rationals e uma variável simbólica racional pode ser definida com

⬇

1 from sympy import *

2 a = Symbols('a', rational=True)

Observação 1.2.6.(Razão irredutível)

A representatividade de números racionais não é única. Por exemplo,

\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{14}{21}=\cdots

(1.98)

Isto nos motiva a introduzir o conceito de razão irredutível. Dizemos que $p/q$ é uma razão irredutível, quando $p$ e $q$ não têm divisor comum⁷⁷endnote: ⁷Um número $m\in\mathbb{N}^{*}$ é divisor de $n\in\mathbb{Z}$ , quando $m/n\in\mathbb{Z}$ .. Por exemplo, $2/3$ é uma razão irredutível, enquanto $4/6$ não é, pois $4$ e $6$ têm $2$ como divisor comum.

1.2.4 Exercícios

E. 1.2.1.

Sejam $m,n,p,q\in\mathbb{N}$ . Argumente se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:

a)

$m=0+m$
b)

$m+(n+p)=(n+p)+m$
c)

$m+n+p=(n+m)+p$
d)

$(m+n)+(q+p)=(m+p)+(q+n)$
e)

$1\cdot m\neq m\cdot 1$
f)

$(m\cdot n)\cdot p=(n\cdot p)\cdot m$

a) V; b) V; c) V; d) V; e) F; f) V

E. 1.2.2.

Sejam $m,n,p,q\in\mathbb{Z}$ . Argumente se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:

a)

$n-p=p-n$
b)

$(m-n)+p=(m+p)-n$
c)

$-(-m)=m$

a) F; b) V; c) V

E. 1.2.3.

Mostre que

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d},

(1.99)

onde $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ e $b,d\neq 0$ .

Dica: $a=bx$ e $c=dy$ , então $x+y=?$

E. 1.2.4.

O mínimo múltiplo comum dos números de dois números inteiros $c, d$ é denotado por $\operatorname{mmc}(c,d)$ e é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de $c$ e $d$ . Sendo, ainda, $a,b\in\mathbb{Z}$ e $c,d\neq 0$ , Mostre que

\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a\cdot\frac{\operatorname{mmc}(c,d)}{c}+b\cdot% \frac{\operatorname{mmc}(c,d)}{d}}{\operatorname{mmc}(c,d)}.

(1.100)

Qual a vantagem em usar o $\operatorname{mmc}$ para calcular a soma de frações? No SymPy, pode-se utilizar o método sympy.ilcm. Verifique!

Dica: $\displaystyle\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{c\cdot d}$

E. 1.2.5.

Mostre que

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},

(1.101)

onde $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ e $b,d\neq 0$ .

Dica: $a=bx$ e $c=dy$ , então $x\cdot y=?$

E. 1.2.6.

Sejam $p,q\in\mathbb{Q}$ , $q\neq 0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$ . Argumente sobre a veracidade das seguintes afirmações.

a)

$q^{m-n}=\frac{q^{m}}{q^{n}}$
b)

$\displaystyle\left(\frac{p}{q}\right)^{m}=\frac{p^{m}}{q}$
c)

$q^{-m\cdot n}=\frac{q^{n}}{q^{m}}$

a) V; b) F; c) F

E. 1.2.7.

$1+1=1$ ? Encontre o erro nos seguintes cálculos:

$\displaystyle a$	$\displaystyle=b$	(1.102)
$\displaystyle a^{2}$	$\displaystyle=ab$	(1.103)
$\displaystyle a^{b}-b^{2}$	$\displaystyle=ab-b^{2}$	(1.104)
$\displaystyle(a+b)(a-b)$	$\displaystyle=b(a-b)$	(1.105)
$\displaystyle a+b$	$\displaystyle=b$	(1.106)

Escolhendo, por exemplo, $a=1$ e $b=1$ , esta última fornece $1+1=1$ !

E. 1.2.8.

Seja $p,q\in\mathbb{Q}$ . Mostre as seguintes propriedades:

a)

$|p|\geq 0$
b)

$|p|=|-p|$
c)

$|p|<q\Leftrightarrow-q<p<q$
d)

$|p|>q\Leftrightarrow-p<-q\text{ ou }p>q$

Dica: Por definição, para $p\geq 0$ tem-se $|p|=p$ e, para $p<0$ tem-se $|p|=-1$ . Consulte (1.66).

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1 Números reais 1.1 Conjuntos numéricos 1.3 Conjunto dos números reais

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1.2 Conjunto dos números racionais

Nesta seção, vamos estudar alguns aspectos fundamentais sobre o conjunto dos números racionais.

1.2.1 Números naturais

Os números naturais são os números de contagem

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\},

(1.40)

onde as reticências denotam a sequência dos números (consulte a Figura 1.7 para uma representação geométrica).

O conjunto dos números naturais pode ser construído dos axiomas de Peano²²endnote: ²Giuseppe Peano, 1858 - 1932, matemático italiano. Fonte: Giuseppe Peano

a)

todo número natural $m$ tem um sucessor $m+1$ ;
b)

números que têm o mesmo sucessor são iguais;
c)

$0$ é o único número natural que não é sucessor de nenhum outro;
d)

Se um subconjunto $A$ de números naturais contém o $0$ e contém o sucessor de cada um de seus elementos, então $A=\mathbb{N}$ ³³endnote: ³Axioma do Princípio da Indução..

Código 12: Python

⬇

1from sympy import S

2print('0 in N?', 0 in S.Naturals0)

3print('1 in N?', 1 in S.Naturals0)

4print('-1 in N?', -1 in S.Naturals0)

0 in N? True

1 in N? True

-1 in N? False

Operações de adição e multiplicação

Nos números naturais $m,n\in\mathbb{N}$ estão bem definidas as operações usuais de:

a)

adição

$m+n=m+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{ vezes}}$ (1.41)
b)

multiplicação

$m\cdot n=\underbrace{m+m+\cdots+m}_{n\text{ vezes}}$ (1.42)

Exemplo 1.2.1.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$2+1=3$

Código 13: Python

⬇

12 + 1

⬇

3
b)

$1+2=3$
c)

$10+5=15$
d)

$3\cdot 2=6$

Código 14: Python

⬇

13 * 2

⬇

6
e)

$2\cdot 3=6$

Propriedades das operações

Sendo $m,n,p\in\mathbb{N}$ , temos ainda as seguintes propriedades fundamentais:

•

$0$ é o elemento neutro da adição

$m+0=m.$ (1.43)

Código 15: Python

⬇

1from sympy import Symbol

2m = Symbol('m', natural0=True)

3print('m + 0 = m?', m + 0 == m)

⬇

m + 0 = m? True
•

comutatividade da adição

$m+n=n+m$ (1.44)

Código 16: Python

⬇

1from sympy import symbols

2m, n = symbols('m, n', natural0=True)

3print('m + n = n + m?', m + n == n + m)

⬇

m + n = n + m? True
•

associatividade da adição

$m+(n+p)=(m+n)+p$ (1.45)
•

$1$ é o elemento neutro da multiplicação

$m\cdot 1=m.$ (1.46)
•

comutatividade da multiplicação

$m\cdot n=n\cdot m$ (1.47)
•

associatividade da multiplicação

$m\cdot(n\cdot p)=(m\cdot n)\cdot p$ (1.48)

Exemplo 1.2.2.

Verificamos as propriedades acima para casos específicos.

a)

Elemento neutro da adição

$5+0=5$ (1.49)
b)

Comutatividade da adição

$2+3=3+2$ (1.50)
c)

Associatividade da adição

$\displaystyle 2+(3+4)=2+7$ $\displaystyle=9$ (1.51)

$\displaystyle(2+3)+4=5+4$ $\displaystyle=9$ (1.52)
d)

Elemento neutro da multiplicação

$3\cdot 1=3$ (1.53)
e)

Comutatividade da multiplicação

$5\cdot 2=2\cdot 5=10$ (1.54)
f)

Associatividade da multiplicação

$\displaystyle 2\cdot(3\cdot 4)=2\cdot 12$ $\displaystyle=24$ (1.55)

$\displaystyle(2\cdot 3)\cdot 4=6\cdot 4$ $\displaystyle=24$ (1.56)

1.2.2 Números inteiros

O conjuntos dos números inteiros é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathbb{Z}=\{% \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}.

(1.57)

Os números com sinal negativo “ $-$ ” são definidos como sendo opostos aos respectivos números naturais. Mais precisamente, o oposto de um número $m$ é denotado por $-m$ e é tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m+(-m)=0.

(1.58)

Código 17: Python

⬇

1from sympy import S

2print('5 in Z?', 5 in S.Integers)

3print('0 in Z?', 0 in S.Integers)

4print('-3 in Z?', -3 in S.Integers)

5print('2.5 in Z?', 2.5 in S.Integers)

5 in Z? True

0 in Z? True

-3 in Z? True

2.5 in Z? False

Exemplo 1.2.3.

Consideramos os seguintes casos:

a)

$-1$ é o oposto de $1$ :

$1+(-1)=0$ (1.59)
b)

$2$ é o oposto de $-2$ :

$-2+2=0$ (1.60)

Os números inteiros contém os números naturais (consultemos a Figura 1.9), i.e.

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}.

(1.61)

Ainda, as operações de adição e multiplicação podem ser imediatamente estendidas para os números inteiros, assim como suas propriedades de elemento neutro, comutatividade e associatividade.

Código 18: Python

⬇

1from sympy import S

2print(S.Naturals.is_subset(S.Integers))

True

Operação de Subtração

Com a definição de oposto, podemos definir a operação de subtração de dois números inteiros da seguinte forma

	$\displaystyle m-n=m+(-n)$		(1.62)
	$\displaystyle\text{}\quad=-n+m,$		(1.63)

sendo a operação de adição definida usualmente.

Código 19: Python

⬇

1from sympy import symbols

2m, n = symbols('m n', integer=True)

3print('m-n = n-m?', m-n == -n+m)

m-n = n-m? True

Exemplo 1.2.4.

	$\displaystyle 2-3=2+(-3)$		(1.64)
	$\displaystyle\text{}\quad=-3+2=-1$		(1.65)

Código 20: Python

⬇

12 - 3

-1

Valor absoluto

Dado um número $p\in\mathbb{Z}$ , definimos o seu valor absoluto⁴⁴endnote: ⁴Também, chamado de módulo. pelo número inteiro

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}|p|=\left\{% \begin{array}[]{ll}p&,p\geq 0,\\ -p&,p<0.\end{array}\right.

(1.66)

Exemplo 1.2.5.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$|3|=3$
b)

$|-2|=-(-2)=2$
c)

$|0|=0$

Código 21: Python

⬇

1from sympy import Abs, Symbol

2print('|3| =', Abs(3))

3print('|-2| =', Abs(2))

4print('|0| =', Abs(0))

5m = Symbol('m', integer=True, nonnegative=True)

6print('m >= 0, |-m| = ', Abs(-m))

|3| = 3

|-2| = 2

|0| = 0

m >= 0, |-m| = m

Para qualquer $p\in\mathbb{Z}$ , temos as seguintes propriedades:

a)

$|p|\geq 0$
b)

$|p|=0\Leftrightarrow p=0$
c)

$|p|=|-p|$
d)

$|p|<q\Leftrightarrow-q<p<q$
e)

$|p|>q\Leftrightarrow-p<-q\text{ ou }p>q$

1.2.3 Números racionais

O conjunto dos números racionais é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathbb{Q}=% \left\{\frac{p}{q}:\leavevmode\nobreak\ p\in\mathbb{Z}\text{ e }q\in\mathbb{Z}% ^{*}\right\},

(1.67)

sendo $\mathbb{Z}^{*}=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ . O quociente $p/q$ é definido como sendo o resultado da operação de divisão de $p$ por $q$ , i.e.

\frac{p}{q}=x\Leftrightarrow p=x\cdot q.

(1.68)

Observação 1.2.1.(Divisão por zero)

Não está definida a divisão por zero! Note que não existe $x$ tal que

\frac{p}{0}=x\Leftrightarrow p=0\cdot x.

(1.69)

\frac{0}{0}=x\Leftrightarrow 0=0\cdot x.

(1.70)

A operação de adição de números racionais fica, então

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{a}{b}+% \frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}

(1.71)

Observação 1.2.2.(Divisão em Python)

No Python, a operação de divisão é feita com o operador / e retorna um número decimal. Para obter o quociente de dois números inteiros, usamos a função S() do módulo sympy.

Exemplo 1.2.6.

	$\displaystyle\frac{2}{5}+\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 4+3\cdot 5}{5\cdot 4}$		(1.72)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{8+15}{20}$		(1.73)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{23}{20}$		(1.74)

Código 22: Python

⬇

1from sympy import S

2S(2)/5 + S(3)/4

23/20

A operação de multiplicação fica, então

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{a}{b}% \cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.

(1.75)

Exemplo 1.2.7.

	$\displaystyle\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2}=\frac{\cancel{2}\cdot 3}{5\cdot% \cancel{2}}$		(1.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{3}{5}$		(1.77)

Código 23: Python

⬇

1from sympy import S

2S(2)/5 * S(3)/2

3/5

Observação 1.2.3.(Os números racionais, inteiros ou naturais)

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}

(1.78)

Isso segue do fato de que se $m\in\mathbb{Z}$ , então

m=\frac{m}{1}.

(1.79)

Os números racionais também herdam as propriedades de elemento neutro, comutatividade e associatividade nas operações de adição e multiplicação.

Operação de Potenciação

Outra operação fundamental é a operação de potenciação. A potenciação de um número racional $p/q\neq 0$ por um número natural $n$ é definida por

\left(\frac{p}{q}\right)^{n}=\underbrace{\frac{p}{q}\cdot\frac{p}{q}\cdot% \cdots\cdot\frac{p}{q}}_{n\text{ vezes}},

(1.80)

sendo $(p/q)^{0}=1$ . Ainda, definimos o inverso de um número racional $p/q$ por

\left(\frac{p}{q}\right)^{-1}=\frac{q}{p}.

(1.81)

Mais precisamente, o inverso de um número $x\neq 0$ é denotado por $x^{-1}$ e é tal que

x\cdot x^{-1}=1.

(1.82)

Com a escolha acima, vemos que $(p/q)^{-1}=q/p$ , pois

$\displaystyle\frac{p}{q}\cdot\frac{q}{p}$	$\displaystyle=\frac{p\cdot q}{q\cdot p}$	(1.83)
	$\displaystyle=\frac{q\cdot p}{q\cdot p}$	(1.84)
	$\displaystyle=\frac{q}{q}\cdot\frac{p}{p}$	(1.85)
	$\displaystyle=1\cdot 1=1.$	(1.86)

Exemplo 1.2.8.

Verifiquemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\left(\frac{3}{2}\right)^{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot% \frac{3}{2}$ (1.87)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{9}{4}\cdot\frac{3}{2}$ (1.88)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{27}{8}$ (1.89)
b)

$\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ (1.90)

$\displaystyle\text{}\quad=4\cdot 2$ (1.91)

$\displaystyle\text{}\quad=8$ (1.92)
c)

$\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}=\frac{2}{3}$ (1.93)

No Python, o operador de potenciação é **. Os casos acima podem ser computados como segue

⬇

1 In : from sympy import S

2 In : (S(3)/2)**3

3 Out: 27/8

4 In : 2**3

5 Out: 8

6 In : (S(3)/2)**-1

7 Out: 2/3

•

$a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$
•

$\displaystyle a^{-m}=\left(a^{m}\right)^{-1}=\left(a^{-1}\right)^{m}$
•

$\displaystyle a^{m\cdot n}=\left(a^{m}\right)^{n}=\left(a^{n}\right)^{m}$
•

$\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}$

Observação 1.2.4.(Potências de zero não bem definidas)

As seguintes potenciações não estão bem definidas:

•

$0^{-1}$ não existe.

$0^{-1}=\frac{1}{0}\nexists$ (1.94)

O símbolo $\exists$ lê-se existe e o $\nexists$ lê-se não existe.
•

$0^{0}$ não está bem definida.

$\displaystyle 0^{0}=0^{1-1}$ (1.95)

$\displaystyle\text{}\quad=0^{1}\cdot 0^{-1}$ (1.96)

$\displaystyle\text{}\quad=0\cdot\cancelto{\nexists}{\frac{1}{0}}$ (1.97)

⬇

1 >>> 0**0

2 1

Observação 1.2.5.

No SymPy, o conjunto dos números racionais é definido por S.Rationals e uma variável simbólica racional pode ser definida com

⬇

1 from sympy import *

2 a = Symbols('a', rational=True)

Observação 1.2.6.(Razão irredutível)

A representatividade de números racionais não é única. Por exemplo,

\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{14}{21}=\cdots

(1.98)

1.2.4 Exercícios

E. 1.2.1.

Sejam $m,n,p,q\in\mathbb{N}$ . Argumente se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:

a)

$m=0+m$
b)

$m+(n+p)=(n+p)+m$
c)

$m+n+p=(n+m)+p$
d)

$(m+n)+(q+p)=(m+p)+(q+n)$
e)

$1\cdot m\neq m\cdot 1$
f)

$(m\cdot n)\cdot p=(n\cdot p)\cdot m$

a) V; b) V; c) V; d) V; e) F; f) V

E. 1.2.2.

Sejam $m,n,p,q\in\mathbb{Z}$ . Argumente se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:

a)

$n-p=p-n$
b)

$(m-n)+p=(m+p)-n$
c)

$-(-m)=m$

a) F; b) V; c) V

E. 1.2.3.

Mostre que

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d},

(1.99)

onde $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ e $b,d\neq 0$ .

Dica: $a=bx$ e $c=dy$ , então $x+y=?$

E. 1.2.4.

\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a\cdot\frac{\operatorname{mmc}(c,d)}{c}+b\cdot% \frac{\operatorname{mmc}(c,d)}{d}}{\operatorname{mmc}(c,d)}.

(1.100)

Qual a vantagem em usar o $\operatorname{mmc}$ para calcular a soma de frações? No SymPy, pode-se utilizar o método sympy.ilcm. Verifique!

Dica: $\displaystyle\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{c\cdot d}$

E. 1.2.5.

Mostre que

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},

(1.101)

onde $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ e $b,d\neq 0$ .

Dica: $a=bx$ e $c=dy$ , então $x\cdot y=?$

E. 1.2.6.

Sejam $p,q\in\mathbb{Q}$ , $q\neq 0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$ . Argumente sobre a veracidade das seguintes afirmações.

a)

$q^{m-n}=\frac{q^{m}}{q^{n}}$
b)

$\displaystyle\left(\frac{p}{q}\right)^{m}=\frac{p^{m}}{q}$
c)

$q^{-m\cdot n}=\frac{q^{n}}{q^{m}}$

a) V; b) F; c) F

E. 1.2.7.

$1+1=1$ ? Encontre o erro nos seguintes cálculos:

$\displaystyle a$	$\displaystyle=b$	(1.102)
$\displaystyle a^{2}$	$\displaystyle=ab$	(1.103)
$\displaystyle a^{b}-b^{2}$	$\displaystyle=ab-b^{2}$	(1.104)
$\displaystyle(a+b)(a-b)$	$\displaystyle=b(a-b)$	(1.105)
$\displaystyle a+b$	$\displaystyle=b$	(1.106)

Escolhendo, por exemplo, $a=1$ e $b=1$ , esta última fornece $1+1=1$ !

E. 1.2.8.

Seja $p,q\in\mathbb{Q}$ . Mostre as seguintes propriedades:

a)

$|p|\geq 0$
b)

$|p|=|-p|$
c)

$|p|<q\Leftrightarrow-q<p<q$
d)

$|p|>q\Leftrightarrow-p<-q\text{ ou }p>q$

Dica: Por definição, para $p\geq 0$ tem-se $|p|=p$ e, para $p<0$ tem-se $|p|=-1$ . Consulte (1.66).

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Pedro H A Konzen

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	$\displaystyle 2+(3+4)=2+7$	$\displaystyle=9$		(1.51)
	$\displaystyle(2+3)+4=5+4$	$\displaystyle=9$		(1.52)

	$\displaystyle 2\cdot(3\cdot 4)=2\cdot 12$	$\displaystyle=24$		(1.55)
	$\displaystyle(2\cdot 3)\cdot 4=6\cdot 4$	$\displaystyle=24$		(1.56)

	$\displaystyle\left(\frac{3}{2}\right)^{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot% \frac{3}{2}$		(1.87)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{9}{4}\cdot\frac{3}{2}$		(1.88)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{27}{8}$		(1.89)

	$\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$		(1.90)
	$\displaystyle\text{}\quad=4\cdot 2$		(1.91)
	$\displaystyle\text{}\quad=8$		(1.92)

	$\displaystyle 0^{0}=0^{1-1}$		(1.95)
	$\displaystyle\text{}\quad=0^{1}\cdot 0^{-1}$		(1.96)
	$\displaystyle\text{}\quad=0\cdot\cancelto{\nexists}{\frac{1}{0}}$		(1.97)