Pré-Cálculo

2 Equações e inequações 2.1 Equações 3 Funções

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2.2 Inequações

Uma inequação é uma sentença matemática que expressa uma relação de desigualdade entre duas expressões matemáticas. São exemplos de inequações

	$\displaystyle E_{\text{esq}}\neq E_{\text{dir}}$		(2.76)
	$\displaystyle E_{\text{esq}}<E_{\text{dir}}$		(2.77)
	$\displaystyle E_{\text{esq}}\leq E_{\text{dir}}$		(2.78)
	$\displaystyle E_{\text{esq}}>E_{\text{dir}}$		(2.79)
	$\displaystyle E_{\text{esq}}\geq E_{\text{dir}}$		(2.80)

Assim como equações, inequações são usadas para descrever propriedades ou restrições sobre uma ou mais incógnitas. Neste caso, a solução é o conjunto de valores que a incógnita pode assumir de forma a satisfazer a inequação.

Exemplo 2.2.1.

São exemplos de inequações envolvendo incógnitas:

a)

Inequação de primeiro grau

$2x+3>5$ (2.81)
b)

Inequação de segundo grau

$x^{2}\leq x-3$ (2.82)
c)

Inequação racional

$\frac{2x+3}{x^{2}}\geq\frac{5}{x-3}$ (2.83)

Não existe um procedimento geral para calcular a solução de uma inequação, mas o chamado estudo de sinal pode ser uma estratégia adequada em várias situações. Na sequência, vamos aplicá-la na resolução de algumas inequações.

2.2.1 Inequações de primeiro grau

Inequações de primeiro grau são aquelas em que a incógnita aparece apenas na potência 1. Ou seja, qualquer inequação que possa ser escrita na seguinte forma

ax+b\gtreqless 0,

(2.84)

onde $a,b\in\mathbb{R}$ , $a\neq 0$ , são coeficientes/parâmetros dados e $x$ é a incógnita.

Para resolvê-la, podemos usar o estudo de sinal da expressão⁶⁶6Lembremos a tricotomia dos números reais. Consulte a Subseção 1.3.3. $ax+b$ . Para que seja nula, temos

	$\displaystyle ax+b=0$		(2.85)
	$\displaystyle x=-\frac{b}{a}.$		(2.86)

Com isso, observamos que no caso de ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}a>0}$ , temos que

x\mathrel{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}>}-\frac{b}{a}% \Rightarrow ax+b\mathrel{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}>}0

(2.87)

x\mathrel{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}<}-\frac{b}{a}% \Rightarrow ax+b\mathrel{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}<}0.

(2.88)

Consultemos a Figura 2.1.

Figura 2.1: Representação geométrica do estudo do sinal de $ax+b$ , com $a>0$ .

Agora, no caso de ${\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}a<0}$ , temos

x\mathrel{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}>}-\frac{b}{a}% \Rightarrow ax+b\mathrel{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}<}0

(2.89)

x\mathrel{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}<}-\frac{b}{a}% \Rightarrow ax+b\mathrel{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}>}0.

(2.90)

Consultemos a Figura 2.2.

Figura 2.2: Representação geométrica do estudo do sinal de $ax+b$ , com $a<0$ .

Exemplo 2.2.2.

Vamos resolver

4+x\geq-x

(2.91)

Primeiramente, vamos reescrever a inequação no formato da (2.84). Para tanto, calculamos

	$\displaystyle 4+x\boldsymbol{+x}\geq-x\boldsymbol{+x}$		(2.92)
	$\displaystyle 4+2x\geq 0$		(2.93)
	$\displaystyle 2x+4\geq 0$		(2.94)

Agora, fazemos o estudo de sinal de $2x+3$ . Temos

2x+4=0\Rightarrow x=-2.

(2.95)

Daí, segue que

x>-2\Rightarrow 2x+4>0

(2.96)

x<-2\Rightarrow 2x+4<0

(2.97)

Consultemos a Figura 2.3. Logo, concluímos que a solução é $x\in[-2,\infty)$ .

Com o SymPy, podemos computar a solução deste problema com os seguintes comandos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> solve_univariate_inequality(4 + x >= -x, x)

4 (-2 <= x) & (x < oo)

Em alguns casos, é possível calcular a solução apenas a partir de manipulações algébricas.

Exemplo 2.2.3.

Vamos resolver

-2x<4

(2.98)

Começamos multiplicando ambos os lados da inequação por $-1$ para obtermos⁷⁷7Notemos que a desigualdade se inverte ao multiplicarmos a inequação por um número negativo.

2x>-4

(2.99)

Agora, multiplicamos por $\frac{1}{2}$ , como segue

	$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2x>\frac{1}{2}\cdot(-4)$		(2.100)
	$\displaystyle\text{}\quad x>-2.$		(2.101)

Donde, temos a solução $x\in(-2,\infty)$ .

Verifique usando o SymPy!

2.2.2 Produtos ou quocientes

Inequações envolvendo produtos ou quocientes de expressões de primeiro grau podemos ser resolvidas fazendo-se o estudo de sinal.

Exemplo 2.2.4.

Vamos resolver

(x-1)(2-x)<0.

(2.102)

Figura 2.4: Estudo do sinal de $(x-1)(2-x)$ .

Para tanto, fazemos os estudos de sinais do primeiro fator $(x-1)$ e do segundo fator $(x+1)$ . Em seguida, fazemos o estudo de sinal do produto $(x-1)(x+1)$ . Neste caso, obtemos a Figura 2.4. Com isso, temos que a solução é $x\in(-\infty,1)\cup(2,\infty)$ .

Verifique usando o SymPy!

No caso de quocientes, devemos nos atentar para o fato de que o denominador não seja nulo.

Exemplo 2.2.5.

Vamos resolver

\frac{x-1}{2-x}\geq 0.

(2.103)

Figura 2.5: Estudo do sinal de $(x-1)/(2-x)$ .

Para tanto, fazemos os estudos de sinais do primeiro fator $(x-1)$ e do segundo fator $(x+1)$ . Em seguida, fazemos o estudo de sinal do quociente $(x-1)(x+1)$ . Neste caso, obtemos a Figura 2.5. Com isso, temos que a solução é $x\in[1,2)$ .

Verifique usando o SymPy!

2.2.3 Exercícios

E. 2.2.1.

Resolva as seguintes inequações

a)

$x-1<0$
b)

$2-x\geq 0$
c)

$2-2x>5$
d)

$3x+2\leq 3-x$

a) $(-\infty,1)$ ; b) $(-\infty,2]$ ; c) $(-3/2,\infty)$ ; d) $(-\infty,1/4]$

E. 2.2.2.

Resolva as seguintes inequações

1.

$(x-2)(x+1)>0$
2.

$(x-2)(1-x)\geq 0$
3.

$(x-2)(1-x)<0$
4.

$(5x-2)(1-3x)\leq 0$

a) $(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$ ; b) $[1,2]$ ; c) $(-\infty,1)\cup(2,\infty)$ ; d) $(-\infty,1/3]\cup[2/5,\infty)$

E. 2.2.3.

Resolva as seguintes inequações

1.

$(x-2)/(x+1)>0$
2.

$(x-2)/(1-x)\geq 0$
3.

$(x-2)/(1-x)<0$
4.

$(5x-2)/(1-3x)\leq 0$

a) $(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$ ; b) $(1,2]$ ; c) $(-\infty,1)\cup(2,\infty)$ ; d) $(-\infty,1/3)\cup[2/5,\infty)$

E. 2.2.4.

Resolva a seguinte inequação

x^{2}-4<0

(2.104)

$(-2,2)$

E. 2.2.5.

Resolva a seguinte inequação

\frac{x^{2}+x-2}{x+2}\geq 0

(2.105)

$[1,\infty)$

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2.2 Inequações

Exemplo 2.2.1.

2.2.1 Inequações de primeiro grau

Exemplo 2.2.2.

Exemplo 2.2.3.

2.2.2 Produtos ou quocientes

Exemplo 2.2.4.

Exemplo 2.2.5.

2.2.3 Exercícios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

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