Pré-Cálculo

2 Equações e inequações 2 Equações e inequações 2.2 Inequações

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2.1 Equações

Uma equação é uma declaração de que duas expressões são iguais. Escrevemos

E_{\text{esq}}=E_{\text{dir}}

(2.1)

para estabelecer que a expressão à esquerda $E_{\text{esq}}$ é igual a expressão à direita $E_{\text{dir}}$ .

Exemplo 2.1.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$2^{2}=4$
b)

$2x-1=0$
c)

$e^{x+y}=e^{x}e^{y}$
d)

$\displaystyle\frac{x^{2}-1}{x+1}=x-1$

No Python, podemos declarar as equações com a função https://docs.sympy.org/latest/modules/core.html?highlight=equality#sympy.core.%relational.EqualityEq. Os casos são implementados como segue:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> Eq(2**2, 4)

3 True

4 >>> x = Symbol('x')

5 >>> Eq(2*x - 1, 0)

6 Eq(2*x - 1, 0)

7 >>> y = Symbol('y')

8 >>> Eq(exp(x+y), exp(x)*exp(y))

9 Eq(exp(x + y), exp(x)*exp(y))

10 >>> Eq((x**2-1)/(x+1), x-1)

11 Eq((x**2 - 1)/(x + 1), x - 1)

2.1.1 Solução de uma equação

Equação é uma poderosa ferramenta matemática para impor uma condição sobre uma ou mais incógnitas (ou variáveis). Por exemplo, quando escrevemos

2^{x}=4

(2.2)

estamos impondo que a incógnita $x$ seja aquela a satisfazer esta equação. No caso, $x=2$ satisfaz a equação, pois ao substituirmos $x$ por $2$ nela, obtemos

\displaystyle 2^{2}=4\Leftrightarrow 4=4.

(2.3)

Usualmente, dizemos que $x=2$ é solução da equação. O procedimento de encontrar a(s) solução(ões) de uma equação é chamado de resolução da equação, i.e. o procedimento de resolver a equação.

Observação 2.1.1.

Uma equação pode ter uma única solução, várias soluções, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Exemplo 2.1.2.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$x-1=0$ tem solução única $x=1$ .
b)

$y^{2}-1=0$ têm soluções $y=-1$ ou $y=1$ .
c)

$x^{2}=-1$ não tem solução.
d)

$(u+1)^{2}=u^{2}+2u+1$ , qualquer $u\in\mathbb{R}$ é solução.

No Python, podemos resolver estas equações com o comando solve ou solveset. Estudemos as seguintes entradas e saídas:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol('x', real=True)

3 >>> solve(x-1, domain=S.Reals)

4 [1]

5 >>> solveset(x-1, domain=S.Reals)

6 FiniteSet(1)

7 >>> y,u = symbols('y,u', real=True)

8 >>> solve(y**2-1, domain=S.Reals)

9 [-1, 1]

10 >>> solve(Eq(x**2, -1), domain=S.Reals)

11 []

12 >>> solveset(Eq(x**2, -1), domain=S.Reals)

13 EmptySet

14 >>> solveset(Eq((u+1)**2, u**2 + 2*u + 1), domain=S.Reals)

15 Reals

Não existe um procedimento único para a resolução de equações em geral. Em síntese, a resolução, quando possível, é obtida da aplicação das seguintes propriedades. Sendo $E_{1}$ , $E_{2}$ e $E_{3}$ expressões matemáticas, temos

•

Simetria

$\begin{gathered}E_{1}={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0,0,1}E_{2}}\\ \Leftrightarrow\\ {\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}E_{2}}=E_{1}% \end{gathered}$ (2.4)
•

Cancelamento por adição

$\begin{gathered}E_{1}=E_{2}\\ \Leftrightarrow\\ E_{1}+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}E_{3}}% =E_{2}+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}E_{3}% }\end{gathered}$ (2.5)
•

Cancelamento por multiplicação¹¹1Somente no caso de $E_{3}\in\mathbb{R}^{*}$

$\begin{gathered}E_{1}=E_{2}\\ \Leftrightarrow\\ E_{1}\cdot{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}E_% {3}}=E_{2}\cdot{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}E_{3}}\end{gathered}$ (2.6)

As operações acima reescrevem a equação original $E_{1}=E_{2}$ em equações equivalentes, i.e. equações que têm as mesmas soluções.

Exemplo 2.1.3.

Estudemos os casos a seguir.

a)

$\displaystyle-1=x$ (2.7)

$\displaystyle x=-1$ (2.8)
b)

$\displaystyle x-2=1$ (2.9)

$\displaystyle x-2{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}+2}=1{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}+2}$ (2.10)

$\displaystyle x=3$ (2.11)
c)

$\displaystyle 2x=4$ (2.12)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\frac{1}{2}\cdot}2x={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0,0,1}\frac{1}{2}\cdot}4$ (2.13)

$\displaystyle 1\cdot x=2$ (2.14)

$\displaystyle x=2$ (2.15)

2.1.2 Equações lineares

Equação algébricas lineares de uma incógnita são aquelas que podem ser escritas na seguinte forma

ax+b=0,

(2.16)

onde, são conhecidos (dados) os coeficientes $a\in\mathbb{R}^{*}$ e $b\in\mathbb{R}$ . Sua resolução pode ser feita da seguinte forma

	$\displaystyle ax+b=0$		(2.17)
	$\displaystyle ax+b{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}-b}=0{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-b}$		(2.18)
	$\displaystyle ax=-b$		(2.19)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\frac{1}{a}\cdot}ax={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0,0,1}\frac{1}{a}\cdot}(-b)$		(2.20)
	$\displaystyle 1\cdot x=-\frac{b}{a}$		(2.21)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }x=-\frac{b}{a}}$		(2.22)

Exemplo 2.1.4.

Vamos resolver

2x-4=5-x

(2.23)

Esta é uma equação linear, pois

	$\displaystyle 2x-4{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}-5}=5-x{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }-5}$		(2.24)
	$\displaystyle 2x-9=-x$		(2.25)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }x}+2x-9={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x}-x$		(2.26)
	$\displaystyle 3x-9=0$		(2.27)

Logo, a solução é

x=\frac{9}{3}=3.

(2.29)

No Python, podemos resolver esta equação com

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol('x', real=True)

3 >>> solve(Eq(2*x - 4, 5 - x), domain=S.Reals)

4 [3]

2.1.3 Equação quadrática

Uma equação algébrica quadrática de um incógnita é aquela que pode ser escrita na forma

ax^{2}+bx+c=0,

(2.30)

com $a\in\mathbb{R}^{*}$ e $b,c\in\mathbb{R}$ .

Para resolver tal equação, vamos, primeiro, lembrar que

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},

(2.31)

para quaisquer $a,b\in\mathbb{R}$ . A ideia é usar desta identidade²²2Identidade é o nome dado a uma equação que é satisfeita para todos os possíveis valores de sua(s) incógnita(s). para reduzirmos a equação em duas equações lineares.

Começamos reescrevendo (2.30) da seguinte forma

	$\displaystyle ax^{2}+bx+c{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}-c}=0{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}-c}$		(2.32)
	$\displaystyle ax^{2}+bx=-c$		(2.33)
	$\displaystyle\left(ax^{2}+bx\right){\cdot\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]% {pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{1}{a}}=-c{\cdot\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{1}{a}}$		(2.34)
	$\displaystyle x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$		(2.35)

Agora, vamos completar os quadrados do lado direito para usarmos a identidade (2.31). Fazemos

	$\displaystyle x^{2}+\frac{b}{a}x{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}}=-\frac{c}{a}{\color% [rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}+\left(\frac{b}{2a}% \right)^{2}}$		(2.36)
	$\displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$		(2.37)
	$\displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$		(2.38)

Agora, extraímos a raiz quadrada de ambos os lados da equação³³3 $\sqrt{x^{2}}=|x|$ .

	$\displaystyle\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^% {2}}}$		(2.39)
	$\displaystyle\left\|x+\frac{b}{2a}\right\|=\left\|\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right\|$		(2.40)

Daí, seguem as seguintes equações lineares

	$\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$		(2.41)
	ou
	$\displaystyle x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$		(2.42)

Equivalentemente, escrevemos

x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

(2.44)

Por fim, isolamos $x$ co

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

(2.45)

donde temos a chamada Fórumla de Bhaskara⁴⁴4Bhaskara Akaria, 1114 - 1185, matemático e astrônomo indiano. Fonte: Wikipédia: Bhaskara II.

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

(2.46)

Exemplo 2.1.5.

Vamos resolver

x^{2}=x+2.

(2.47)

Esta é uma equação quadrática, pois

	$\displaystyle x^{2}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}-x-2}=x+2{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}-x-2}$		(2.48)
	$\displaystyle x^{2}-x-2=0.$		(2.49)

Logo, da Fórmula da Bhaskara (2.46), obtemos

	$\displaystyle x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2\cdot 1}$		(2.50)
	$\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}$		(2.51)
	$\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$		(2.52)
	$\displaystyle x=\frac{1\pm 3}{2}$		(2.53)

Donde,

	$\displaystyle x=\frac{1-3}{2}$		(2.54)
	$\displaystyle x=\frac{-2}{2}$		(2.55)
	$\displaystyle x=-1$		(2.56)

	$\displaystyle x=\frac{1+3}{2}$		(2.57)
	$\displaystyle x=\frac{4}{2}$		(2.58)
	$\displaystyle x=2$		(2.59)

Concluímos que a equação tem soluções $x=-1$ ou $x=2$ .

No Python, podemos resolver esta equação com

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol('x', real=True)

3 >>> solve(Eq(x**2, x + 2), domain=S.Reals)

4 [-1, 2]

2.1.4 Equações exponenciais

Um equação exponencial é aquela em que a incógnita aparece como expoente em um ou mais termos. Tais equações não tem formato único, nem procedimento geral de resolução. Quando possível, a ideia é reescrever todos os termos da equação em uma base comum.

Observação 2.1.2.

Lembramos que⁵⁵5Quando bem definido.:

•

$\displaystyle b^{x}=b^{y}\Leftrightarrow x=y$
•

$\displaystyle b^{x+y}=b^{x}\cdot b^{y}$
•

$\displaystyle b^{xy}=\left(b^{x}\right)^{y}$
•

$\displaystyle b^{-x}=\frac{1}{b^{x}}$
•

$\displaystyle b^{\frac{x}{y}}=\sqrt[y]{b^{x}}$

Exemplo 2.1.6.

Vamos resolver

5^{x+3}=25.

(2.60)

Para resolver esta equação, vamos escrever $25$ como potência de $5$ , i.e.

25=5^{2}.

(2.61)

Logo, a equação é equivalente a

5^{x+3}=5^{2}

(2.62)

donde

	$\displaystyle x+3=2$		(2.63)
	$\displaystyle x=-1.$		(2.64)

Ou seja, a solução é $x=-1$ .

No Python:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol('x', real=True)

3 >>> solve(Eq(5**(x+3), 25), domain=S.Reals)

4 [-1]

Exemplo 2.1.7.

Vamos resolver

5^{x+3}=5^{-x}+20.

(2.65)

Notamos que esta equação é equivalente a

5^{x}\cdot 5^{3}=\left(5^{x}\right)^{-1}+20.

(2.66)

Fazemos, então, a seguinte mudança de variável

y=5^{x}.

(2.67)

Com isso, a equação se resume a

y\cdot 5^{3}=y^{-1}+20

(2.68)

Resolvemos esta equação como segue

	$\displaystyle 125y=\frac{1}{y}+20$		(2.69)
	$\displaystyle 125y^{2}=1+20y$		(2.70)
	$\displaystyle 125y^{2}-20y-1=0$		(2.71)

Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos

	$\displaystyle y=\frac{20\pm\sqrt{20^{2}-4\cdot 125\cdot(-1)}}{2\cdot 125}$		(2.72)
	$\displaystyle y=\frac{20\pm\sqrt{900}}{250}$		(2.73)
	$\displaystyle y=\frac{20-\pm 30}{250}$		(2.74)

Ou seja, $y=-1/25$ ou $y=1/5$ . Observando que $y=5^{x}$ e, portanto positivo, temos

5^{x}=\frac{1}{5}=5^{-1}.

(2.75)

Concluímos que $x=-1$ .

No Python:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol('x', real=True)

3 >>> solveset(Eq(5**(x+3), 5**(-x) + 20), domain=S.Reals)

4 [-1]

2.1.5 Exercícios

E. 2.1.1.

Calcule a solução das seguintes equações:

a)

$x-2=0$
b)

$3-x=1$
c)

$0=-1+x$
d)

$\sqrt{2}\cdot x=0$

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $1$ ; d) $0$

E. 2.1.2.

Calcule a solução das seguintes equações:

a)

$2x-3=2$
b)

$2x-3=2-x$
c)

$x-3=2+2x$

a) $\frac{5}{2}$ ; b) $\frac{5}{3}$ ; c) $-5$

E. 2.1.3.

Calcule a solução das seguintes equações:

c)

$x^{2}=0$
c)

$x^{2}+4=0$
c)

$x^{2}+4x+4=0$
c)

$x^{2}-16=0$
c)

$x^{2}+x-2=0$
c)

$2x-6+x^{2}=-x^{2}-2$

a) $0$ ; b) $\nexists$ ; c) $-2$ ; d) $\{-4,4\}$ ; e) $\{-2,1\}$ ; f) $\{-2,1\}$

E. 2.1.4.

Calcule a solução das seguintes equações:

1.

$3^{x}=27$
2.

$2^{x}=2\cdot 2^{x}-1$
3.

$4^{x}=2-2^{x}$

a) $3$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 2.1.5.

Calcule a solução da seguinte equação

x^{4}-2x^{2}+1=0

(2.76)

$\{-1,1\}$

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Pré-Cálculo

2.1 Equações

Exemplo 2.1.1.

2.1.1 Solução de uma equação

Observação 2.1.1.

Exemplo 2.1.2.

Exemplo 2.1.3.

2.1.2 Equações lineares

Exemplo 2.1.4.

2.1.3 Equação quadrática

Exemplo 2.1.5.

2.1.4 Equações exponenciais

Observação 2.1.2.

Exemplo 2.1.6.

Exemplo 2.1.7.

2.1.5 Exercícios

E. 2.1.1.

E. 2.1.2.

E. 2.1.3.

E. 2.1.4.

E. 2.1.5.

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	$\displaystyle x-2=1$		(2.9)
	$\displaystyle x-2{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}+2}=1{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}+2}$		(2.10)
	$\displaystyle x=3$		(2.11)

	$\displaystyle 2x=4$		(2.12)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\frac{1}{2}\cdot}2x={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0,0,1}\frac{1}{2}\cdot}4$		(2.13)
	$\displaystyle 1\cdot x=2$		(2.14)
	$\displaystyle x=2$		(2.15)

	$\displaystyle-1=x$		(2.7)
	$\displaystyle x=-1$		(2.8)