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Pré-Cálculo

3 Funções 3.4 Função polinomial 3.6 Funções trigonométricas

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3.5 Função racional

Uma função racional tem a forma

f(x)=\frac{p(x)}{q(x)},

(3.109)

onde $p(x)$ e $q(x)\not\equiv 0$ são polinômios.

Funções racionais não estão definidas nos zeros de $q(x)$ . Além disso, suas imagens dependem de cada caso. Estudaremos o comportamento de funções racionais ao longo do curso de cálculo. Como exemplo, veja a Figura 3.22 para um esboço do gráfico da função racional

f(x)=\frac{x^{2}-x-2}{x^{3}-x^{2}+x-1}.

(3.110)

Refer to caption — Figura 3.22: Esboço do gráfico da função racional $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x-2}{x^{3}-x^{2}+x-1}$ .

Com o estudo do cálculo de limites, veremos que a reta $y=0$ (eixo das abscissas) é uma assíntota horizontal e a reta $x=1$ (reta tracejada) é uma assíntota vertical ao gráfico desta função. Esta singularidade no ponto $x=1$ está relacionada ao fato de que o denominador se anula em $x=1$ . Ainda, para $x\neq 1$ temos

\frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x-1}=x^{2}+1,

(3.111)

Com isso, podemos concluir que o domínio da função $f(x)$ é $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

3.5.1 Exercícios Resolvidos

ER 3.5.1.

Determine o domínio da função racional

f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{2}-1}.

(3.112)

Solução 0.

Como $f(x)$ é uma função racional, ela não está definida nos zeros do polinômio que constitui seu denominador. I.e., nos pontos

x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1.

(3.113)

Logo, o domínio de $f(x)$ é o conjunto $\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ .

ER 3.5.2.

Determine o domínio e faça o esboço do gráfico da função racional

g(x)=\frac{x-1}{x-1}.

(3.114)

Solução 0.

Tendo em vista que o denominador se anula em $x=1$ , o domínio de $g$ é $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ . Agora, para fazermos um esboço de seu gráfico, observamos que $g(x)=1$ para $x\neq 1$ . I.e., $g$ é uma função constante para valores de $x\neq 1$ e não está definida em $x=1$ . Veja a Figura 3.23 para o esboço do gráfico da função $g$ .

Usando o SymPy, os comandos

⬇

1 from sympy import *

2 plot((x-1)/(x-1),(x,-2,2))

plota uma linha constante, sem identificar a singularidade em $x=1$ . Isto ocorre, pois os gráficos com o SymPy são obtidos a partir de uma amostra discreta de pontos. Ocorre que esta amostra pode não conter as singularidades. No caso de conter, a execução pode não plotar o gráfico e retornar um erro.

Devemos ficar atentos a esboços de gráficos obtidos no computador, muitas vezes os gráficos podem estar errados. Cabe ao usuário identificar e analisar pontos e região de interesse.

3.5.2 Exercícios

E. 3.5.1.

Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função racional

y=\frac{1}{x-1}

(3.115)

$D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$

E. 3.5.2.

Determine o domínio da função racional

f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}

(3.116)

$D=\mathbb{R}\setminus\{2,3\}$

E. 3.5.3.

Determine o domínio e faça o esboço do gráfico da função racional

f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}-x}.

(3.117)

$\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}$

E. 3.5.4.

Encontre o(s) ponto(s) de interseção entre os gráficos das funções

f(x)=\frac{1}{x-1}

(3.118)

g(x)=\frac{x^{2}-1}{x-x^{3}}

(3.119)

$x=\frac{1}{2}$

E. 3.5.5.

Determine os zeros da função racional

f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-5x+6}

(3.120)

$\{-1,1\}$

E. 3.5.6.

(Aplicação.) A Lei de Boyle-Mariotte enuncia que são inversamente proporcionais a pressão $P$ e o volume $V$ de um gás ideal confinado e mantido a uma temperatura constante. Responda cada um dos seguintes itens:

a)

Escreva $P$ como função de $V$ .
b)

Classifique a função $P=P(V)$ .
c)

Determine o domínio da função $P=P(V)$ .
d)

Determine a imagem da função $P=P(V)$ .
e)

Faça um esboço do gráfico da função $P=P(V)$ .

a) $\displaystyle P=\alpha\cdot V$ , para algum parâmetro $\alpha>0$ . b) Função racional. c) $D(P)=\{v\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ v>0\}$ . d) $Im(P)=\{p\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ p>0\}$ .

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Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

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f(x)=\frac{p(x)}{q(x)},

(3.109)

onde $p(x)$ e $q(x)\not\equiv 0$ são polinômios.

f(x)=\frac{x^{2}-x-2}{x^{3}-x^{2}+x-1}.

(3.110)

\frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x-1}=x^{2}+1,

(3.111)

Com isso, podemos concluir que o domínio da função $f(x)$ é $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

3.5.1 Exercícios Resolvidos

ER 3.5.1.

Determine o domínio da função racional

f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{2}-1}.

(3.112)

Solução 0.

Como $f(x)$ é uma função racional, ela não está definida nos zeros do polinômio que constitui seu denominador. I.e., nos pontos

x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1.

(3.113)

Logo, o domínio de $f(x)$ é o conjunto $\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ .

ER 3.5.2.

Determine o domínio e faça o esboço do gráfico da função racional

g(x)=\frac{x-1}{x-1}.

(3.114)

Solução 0.

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⬇

1 from sympy import *

2 plot((x-1)/(x-1),(x,-2,2))

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3.5.2 Exercícios

E. 3.5.1.

Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função racional

y=\frac{1}{x-1}

(3.115)

$D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$

E. 3.5.2.

Determine o domínio da função racional

f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}

(3.116)

$D=\mathbb{R}\setminus\{2,3\}$

E. 3.5.3.

Determine o domínio e faça o esboço do gráfico da função racional

f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}-x}.

(3.117)

$\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}$

E. 3.5.4.

Encontre o(s) ponto(s) de interseção entre os gráficos das funções

f(x)=\frac{1}{x-1}

(3.118)

g(x)=\frac{x^{2}-1}{x-x^{3}}

(3.119)

$x=\frac{1}{2}$

E. 3.5.5.

Determine os zeros da função racional

f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-5x+6}

(3.120)

$\{-1,1\}$

E. 3.5.6.

a)

Escreva $P$ como função de $V$ .
b)

Classifique a função $P=P(V)$ .
c)

Determine o domínio da função $P=P(V)$ .
d)

Determine a imagem da função $P=P(V)$ .
e)

Faça um esboço do gráfico da função $P=P(V)$ .

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Pedro H A Konzen

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