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Pré-Cálculo

3 Funções 3.3 Função potência 3.5 Função racional

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3.4 Função polinomial

Uma função polinomial tem sua regra de associação dada por um polinômio, i.e. uma função da forma

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},

(3.78)

onde $a_{i}$ são coeficientes reais, $a_{n}\neq 0$ e $n$ é inteiro não negativo, este chamado de grau do polinômio.

Polinômios são definidos em toda parte²⁵²⁵endnote: ²⁵Uma função é dita ser definida em toda parte quando seu domínio é $(\infty,\infty)$ . Polinômios de grau ímpar têm imagem $(-\infty,\infty)$ . Entretanto, a imagem de polinômios de grau par dependem de cada caso. Iremos estudar mais propriedades de polinômios ao longo do curso de cálculo. Consultemos a Figura 3.20.

Refer to caption — Figura 3.20: Funções polinomiais: $p(x)=x^{3}-2.5x^{2}-1.0x+2.5$ (acima); $q(x)=x^{4}-3.5x^{3}+1.5x^{2}+3.5x-2.5$ (abaixo).

Quando $n=0$ , temos um polinômio de grau 0 (função constante). Quando $n=1$ , temos um polinômio de grau 1 (função afim ou linear). Ainda, quando $n=2$ temos uma função quadrática e, quando $n=3$ , temos uma função cúbica e assim por diante.

3.4.1 Função quadrática

Funções quadráticas são definidas por pol polinômios de grau 2, i.e. têm a forma

f(x)=ax^{2}+bx+c,

(3.79)

onde $a$ é chamado de coeficiente do termo quadrático, $b$ o coeficiente do termo linear e $c$ o coeficiente do termo constante.

Os zeros de uma função quadrática podem ser calculados pela fórmula de Bhaskara²⁶²⁶endnote: ²⁶Bhaskara Akaria, 1114 - 1185, matemático e astrônomo indiano. Fonte: Wikipédia: Bhaskara II.

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0},x_{1}=% \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

(3.80)

O esboço do gráfico de uma função quadrática é uma parábola côncava para cima quando $a>0$ e, côncava para baixo quando $x<0$ . Veja a Figura 3.21.

O vértice da parábola que representa uma função quadrática $f(x)$ com coeficiente quadrático positivo (com coeficiente quadrático negativo) é o ponto no qual ela atinge seu valor mínimo (máximo) em todo o seu domínio natural. Quando $f$ têm zeros reais, o ponto de abscissa do vértice é o ponto médio entre os zeros $x_{0}$ e $x_{1}$ da função, i.e. o vértice $V=(x_{v},y_{v})$ é tal que

x_{v}=\frac{x_{0}+x_{1}}{2},\quad\text{e}\quad y_{v}=f(x_{v}).

(3.81)

O valor $x_{v}$ é a abscissa do ponto em que a função quadrática $f$ atinge o valor máximo (valor mínimo) $y_{v}$ . Em geral, o vértice é dado por

(x_{v},y_{v})=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\right)

(3.82)

3.4.2 Técnica de completar o quadrado

A técnica de completar o quadrado, consiste em reescrever uma função quadrática

f(x)=ax^{2}+bx+c

(3.83)

na forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f(x)=a(x-h)^{% 2}+k,

(3.84)

onde $h=-b/(2a)$ e $k$ é, portanto,

k=ax^{2}+bx+c-a(x-h)^{2}.

(3.85)

A forma (3.84) é útil para resolver equações quadráticas, traçar o gráfico de uma função quadrática, entre várias aplicações na disciplina de Cálculo.

Exemplo 3.4.1.

Vamos completar o quadrado da função quadrática

f(x)=2x^{2}-4x+1.

(3.86)

Temos que $a=2$ , $b=-4$ e $c=1$ e queremos reescrever $f$ na forma

f(x)=2(x-h)^{2}+k.

(3.87)

Para tanto, colocamos o coeficiente $a$ em evidência

f(x)=2\left(x^{2}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}-2}x\right)+1

(3.88)

Lembrando do produto notável

(x-h)^{2}=x^{2}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}-2h}x+h^{2},

(3.89)

escolhemos $h=1$ . Logo,

	$\displaystyle f(x)=2\left((x-1)^{2}-1\right)+1$		(3.90)
	$\displaystyle\text{}\quad=2(x-1)^{2}-2+1$		(3.91)
	$\displaystyle\text{}\quad=2(x-1)^{2}-1.$		(3.92)

Observação 3.4.1.(Fórmula de Bhaskara)

A fórmula de Bhaskara (3.80) é uma aplicação direta da técnica de completar o quadrado. Para ver isso, basta reescrever a função quadrática $f(x)=ax^{2}+bx+c$ na forma (3.84) e igualar a zero. Consultemos o E.3.4.7.

3.4.3 Exercícios Resolvidos

ER 3.4.1.

Determine os zeros do polinômio $f(x)=x^{3}-x^{2}-2x$ .

Solução 0.

Determinar os zeros da função $f$ significa encontrar todos os valores de $x$ tais que $f(x)=0$ (estes são as abscissas dos pontos nos quais o gráfico de $f$ intercepta o eixo das abscissas). Temos

	$\displaystyle f(x)=0$		(3.93)
	$\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x=0$		(3.94)
	$\displaystyle x(x^{2}-x-2)=0$		(3.95)
	$\displaystyle x=0\quad\text{ou}\quad x^{2}-x-2=0.$		(3.96)

Então, usando a fórmula de Bhaskara (3.80) na equação $x^{2}-x-2=0$ , obtemos

	$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$		(3.97)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2}$		(3.98)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$		(3.99)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1\pm 3}{2}$		(3.100)
	$\displaystyle=-1\leavevmode\nobreak\ \text{ou}\leavevmode\nobreak\ 2$		(3.101)

Com isso, temos que os zeros da função $f$ ocorrem nos pontos $x_{0}=-1$ , $x_{1}=0$ e $x_{2}=2$ .

Com o SymPy, podemos calcular os zeros da função $f$ com o seguinte comando:

⬇

1 from sympy import *

2 solve(x**3-x**2-2*x)

ER 3.4.2.

Determine o valor mínimo da função $f(x)=x^{2}-x-2$ .

Solução 0.

Como $f$ é uma função quadrática com coeficiente quadrático positivo, temos que seu gráfico é uma parábola côncava para cima. Logo, $f$ atinge seu valor mínimo no seu vértice, que tem abscissa

	$\displaystyle x_{v}=-\frac{b}{2a}$		(3.102)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{-1}{2\cdot 1}$		(3.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$		(3.104)

Ou seja, a abscissa do ponto de mínimo de $f$ é $x_{v}=1/2$ e seu valor mínimo é

	$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{% 2}-2$		(3.105)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1-2-8}{4}$		(3.106)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{9}{4}.$		(3.107)

Usando SymPy, podemos resolver este exercício com o seguinte código:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 a = 1

4 b = -1

5 c = -2

6 f = Lambda(x, a*x**2 + b*x + c)

7 xv = -b/(2*a)

8 print(f"Valor mínimo = {f(xv)}")

3.4.4 Exercícios

E. 3.4.1.

Faça o esboço dos gráficos das seguintes funções polinomiais:

1.

$f(x)=1$
2.

$g(x)=-x+1$
3.

$h(x)=x^{2}-1$
4.

$f_{1}(x)=x^{3}$

E. 3.4.2.

Determine os zeros do polinômio $f(x)=-x^{3}+x^{2}+2x$ .

$-1$ , $0$ , $2$

E. 3.4.3.

Determine o valor máximo da função $f(x)=-x^{2}+x+2$ .

$9/4$

E. 3.4.4.

Faça um esboço da região determinada entre os gráficos de $y=0$ e $y=x^{2}-1$ , com $-1\leq x\leq 1$ .

E. 3.4.5.

Determine os pontos de interseção dos gráficos de $f(x)=-x+1$ e $f(x)=x^{2}-1$ .

$(-2,3)$ , $(1,0)$

E. 3.4.6.

(Aplicação.) Na mecânica clássica, a energia cinética $E_{c}$ de um objeto não rotativo de massa $m$ [kg] movimentando-se com uma velocidade $v$ [ $\text{m}/\text{s}$ ] é dada por

E_{c}=\frac{m}{2}v^{2}

(3.108)

Assumindo $m>0$ constante, temos que $E_{c}$ é função apenas de $v$ , i.e. $E_{c}=E_{c}(v)$ . Responda cada um dos seguintes itens:

a)

Qual a classe da função $E_{c}=E_{c}(v)$ ?
b)

Qual o domínio da função $E_{c}=E_{c}(v)$ .
c)

Qual a imagem da função $E_{c}=E_{c}(v)$ .
d)

A função $E_{c}=E_{c}(v)$ tem valor mínimo? Se sim, qual é esse valor e para o valor de $v$ em que isso ocorre?

a) função quadrática. b) $D(E_{v})=\{v\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ -c\leq v\leq c\}$ , onde $c$ denota a velocidade da luz. c) $Im(E_{v})=\{e\in\mathbb{R}:0\leq e\leq\frac{m\cdot c^{2}}{2}\}$ , onde $c$ denota a velocidade da luz. d) Sim. Valor mínimo $E_{c}=0$ . Ponto de mínimo $v=0$ .

E. 3.4.7.

Use a técnica de completar o quadrado para mostrar que os zeros de uma função quadrática $f(x)=ax^{2}+bx+c$ são dados pela fórmula de Bhaskara (3.80).

Dica: mostre que

ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}.

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Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

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3.4 Função polinomial

Uma função polinomial tem sua regra de associação dada por um polinômio, i.e. uma função da forma

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},

(3.78)

onde $a_{i}$ são coeficientes reais, $a_{n}\neq 0$ e $n$ é inteiro não negativo, este chamado de grau do polinômio.

3.4.1 Função quadrática

Funções quadráticas são definidas por pol polinômios de grau 2, i.e. têm a forma

f(x)=ax^{2}+bx+c,

(3.79)

onde $a$ é chamado de coeficiente do termo quadrático, $b$ o coeficiente do termo linear e $c$ o coeficiente do termo constante.

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0},x_{1}=% \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

(3.80)

O esboço do gráfico de uma função quadrática é uma parábola côncava para cima quando $a>0$ e, côncava para baixo quando $x<0$ . Veja a Figura 3.21.

x_{v}=\frac{x_{0}+x_{1}}{2},\quad\text{e}\quad y_{v}=f(x_{v}).

(3.81)

O valor $x_{v}$ é a abscissa do ponto em que a função quadrática $f$ atinge o valor máximo (valor mínimo) $y_{v}$ . Em geral, o vértice é dado por

(x_{v},y_{v})=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\right)

(3.82)

3.4.2 Técnica de completar o quadrado

A técnica de completar o quadrado, consiste em reescrever uma função quadrática

f(x)=ax^{2}+bx+c

(3.83)

na forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f(x)=a(x-h)^{% 2}+k,

(3.84)

onde $h=-b/(2a)$ e $k$ é, portanto,

k=ax^{2}+bx+c-a(x-h)^{2}.

(3.85)

A forma (3.84) é útil para resolver equações quadráticas, traçar o gráfico de uma função quadrática, entre várias aplicações na disciplina de Cálculo.

Exemplo 3.4.1.

Vamos completar o quadrado da função quadrática

f(x)=2x^{2}-4x+1.

(3.86)

Temos que $a=2$ , $b=-4$ e $c=1$ e queremos reescrever $f$ na forma

f(x)=2(x-h)^{2}+k.

(3.87)

Para tanto, colocamos o coeficiente $a$ em evidência

f(x)=2\left(x^{2}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}-2}x\right)+1

(3.88)

Lembrando do produto notável

(x-h)^{2}=x^{2}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}-2h}x+h^{2},

(3.89)

escolhemos $h=1$ . Logo,

	$\displaystyle f(x)=2\left((x-1)^{2}-1\right)+1$		(3.90)
	$\displaystyle\text{}\quad=2(x-1)^{2}-2+1$		(3.91)
	$\displaystyle\text{}\quad=2(x-1)^{2}-1.$		(3.92)

Observação 3.4.1.(Fórmula de Bhaskara)

3.4.3 Exercícios Resolvidos

ER 3.4.1.

Determine os zeros do polinômio $f(x)=x^{3}-x^{2}-2x$ .

Solução 0.

	$\displaystyle f(x)=0$		(3.93)
	$\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x=0$		(3.94)
	$\displaystyle x(x^{2}-x-2)=0$		(3.95)
	$\displaystyle x=0\quad\text{ou}\quad x^{2}-x-2=0.$		(3.96)

Então, usando a fórmula de Bhaskara (3.80) na equação $x^{2}-x-2=0$ , obtemos

	$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$		(3.97)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2}$		(3.98)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$		(3.99)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1\pm 3}{2}$		(3.100)
	$\displaystyle=-1\leavevmode\nobreak\ \text{ou}\leavevmode\nobreak\ 2$		(3.101)

Com isso, temos que os zeros da função $f$ ocorrem nos pontos $x_{0}=-1$ , $x_{1}=0$ e $x_{2}=2$ .

Com o SymPy, podemos calcular os zeros da função $f$ com o seguinte comando:

⬇

1 from sympy import *

2 solve(x**3-x**2-2*x)

ER 3.4.2.

Determine o valor mínimo da função $f(x)=x^{2}-x-2$ .

Solução 0.

	$\displaystyle x_{v}=-\frac{b}{2a}$		(3.102)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{-1}{2\cdot 1}$		(3.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$		(3.104)

Ou seja, a abscissa do ponto de mínimo de $f$ é $x_{v}=1/2$ e seu valor mínimo é

	$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{% 2}-2$		(3.105)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1-2-8}{4}$		(3.106)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{9}{4}.$		(3.107)

Usando SymPy, podemos resolver este exercício com o seguinte código:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 a = 1

4 b = -1

5 c = -2

6 f = Lambda(x, a*x**2 + b*x + c)

7 xv = -b/(2*a)

8 print(f"Valor mínimo = {f(xv)}")

3.4.4 Exercícios

E. 3.4.1.

Faça o esboço dos gráficos das seguintes funções polinomiais:

1.

$f(x)=1$
2.

$g(x)=-x+1$
3.

$h(x)=x^{2}-1$
4.

$f_{1}(x)=x^{3}$

E. 3.4.2.

Determine os zeros do polinômio $f(x)=-x^{3}+x^{2}+2x$ .

$-1$ , $0$ , $2$

E. 3.4.3.

Determine o valor máximo da função $f(x)=-x^{2}+x+2$ .

$9/4$

E. 3.4.4.

Faça um esboço da região determinada entre os gráficos de $y=0$ e $y=x^{2}-1$ , com $-1\leq x\leq 1$ .

E. 3.4.5.

Determine os pontos de interseção dos gráficos de $f(x)=-x+1$ e $f(x)=x^{2}-1$ .

$(-2,3)$ , $(1,0)$

E. 3.4.6.

(Aplicação.) Na mecânica clássica, a energia cinética $E_{c}$ de um objeto não rotativo de massa $m$ [kg] movimentando-se com uma velocidade $v$ [ $\text{m}/\text{s}$ ] é dada por

E_{c}=\frac{m}{2}v^{2}

(3.108)

Assumindo $m>0$ constante, temos que $E_{c}$ é função apenas de $v$ , i.e. $E_{c}=E_{c}(v)$ . Responda cada um dos seguintes itens:

a)

Qual a classe da função $E_{c}=E_{c}(v)$ ?
b)

Qual o domínio da função $E_{c}=E_{c}(v)$ .
c)

Qual a imagem da função $E_{c}=E_{c}(v)$ .
d)

A função $E_{c}=E_{c}(v)$ tem valor mínimo? Se sim, qual é esse valor e para o valor de $v$ em que isso ocorre?

E. 3.4.7.

Use a técnica de completar o quadrado para mostrar que os zeros de uma função quadrática $f(x)=ax^{2}+bx+c$ são dados pela fórmula de Bhaskara (3.80).

Dica: mostre que

ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}.

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Pedro H A Konzen

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