Pré-cálculo

3 Funções 3.9 Funções exponenciais Referências

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3.10 Funções logarítmicas

A função logarítmica

f(x)=\log_{a}x,

(3.188)

$a>0$ e $a\neq 1$ , é a função inversa da função exponencial $y=a^{x}$ . Consulte a Figura 3.48. O domínio da função logarítmica é $(0,\infty)$ e a imagem $(-\infty,\infty)$ .

Refer to caption — Figura 3.48: Esboços dos gráficos de funções logarítmicas: (acima) $y=\log_{a}x$ , $a>1$ ; (abaixo) $y=\log_{a}x$ , $0<a<1$ .

Observação 3.10.1.

Quando a base é o número de Euler $e\approx 2,718281828459045$ , chamamos $y=\log_{e}x$ de função logarítmica natural e denotamo-la por $y=\ln x$ .

Vamos estudar algumas propriedades dos logaritmos:

a)

$\displaystyle\bm{\log_{a}x=y\Leftrightarrow a^{y}=x}$ ;

Isto é por si a definição da função logarítmica, da qual temos que ela é a função inversa da função exponencial.
b)

$\displaystyle\bm{\log_{a}1=0}$ ;

Da propriedade a), temos $\log_{a}1=y$ para

$\displaystyle a^{y}=1$ (3.189)

$\displaystyle a^{y}=a^{0}$ (3.190)

$\displaystyle y=0$ (3.191)
c)

$\displaystyle\bm{\log_{a}a=1}$ ;

Da propriedade a), temos $\log_{a}a=y$ para

$\displaystyle a^{y}=a$ (3.192)

$\displaystyle a^{y}=a^{1}$ (3.193)

$\displaystyle y=1$ (3.194)
d)

$\displaystyle\bm{\log_{a}a^{x}=x}$ ;

Segue imediatamente do fato de que a função logarítmica $y=\log_{a}x$ é a função inversa da função exponencial $y=a^{x}$ .
e)

$\displaystyle\bm{a^{\log_{a}x}=x}$ ;

Segue imediatamente do fato de que a função exponencial $y=a^{x}$ é a função inversa da função logarítmica $y=\log_{a}x$ .
f)

$\displaystyle\bm{\log_{a}x\cdot y=\log_{a}x+\log_{a}y}$ ;

Sejam $z=\log_{a}x\cdot y$ , $z_{x}=\log_{a}x$ e $z_{y}=\log_{a}y$ . Logo, temos

$\displaystyle a^{z}=x\cdot y$ (3.195)

$\displaystyle a^{z}=a^{z_{x}}\cdot a^{z_{y}}$ (3.196)

$\displaystyle a^{z}=a^{z_{x}+z_{y}}$ (3.197)

$\displaystyle z=z_{x}+z_{y}$ (3.198)
g)

$\displaystyle\bm{\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y}$ ;

Sejam $z=\log_{a}\frac{x}{y}$ , $z_{x}=\log_{a}x$ e $z_{y}=\log_{a}y$ . Logo, temos

$\displaystyle a^{z}=x\cdot y$ (3.199)

$\displaystyle a^{z}=a^{z_{x}}\cdot a^{z_{y}}$ (3.200)

$\displaystyle a^{z}=a^{z_{x}+z_{y}}$ (3.201)

$\displaystyle z=z_{x}+z_{y}$ (3.202)
h)

$\displaystyle\bm{\log_{a}x^{r}=r\cdot\log_{a}x}$ .

Seja $z=\log_{a}x$ . Temos

$\displaystyle a^{z}=x$ (3.203)

$\displaystyle\left(a^{z}\right)^{r}=x^{r}$ (3.204)

$\displaystyle a^{r\cdot z}=x^{r}$ (3.205)

$\displaystyle r\cdot\log x=\log_{a}x^{r}$ (3.206)
i)

$\displaystyle\bm{\log_{a}x=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}a}}$

Sejam $z=\log_{a}x$ , $z_{x}=\log_{b}x$ e $z_{a}=\log_{b}a$ . Temos

$\displaystyle b^{z_{a}}=a$ (3.207)

$\displaystyle(b^{z_{a}})^{z}=a^{z}$ (3.208)

$\displaystyle b^{z_{a}\cdot z}=x$ (3.209)

$\displaystyle b^{z_{a}\cdot z}=b^{z_{x}}$ (3.210)

$\displaystyle z_{a}\cdot z=z_{x}$ (3.211)

$\displaystyle z=\frac{z_{x}}{z_{a}}$ (3.212)

Exemplo 3.10.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\log_{2}2=1$ (3.213)
b)

$\displaystyle\log_{2}8=\log_{2}2^{3}$ (3.214)

$\displaystyle\text{}\quad=3\cdot\log_{2}2$ (3.215)

$\displaystyle\text{}\quad=3$ (3.216)
c)

$\ln e^{-x}=-x$ (3.217)
d)

$e^{\ln x^{2}}=x^{2}$ (3.218)

3.10.1 Exercícios resolvidos

ER 3.10.1.

Faça o esboço do gráfico de $f(x)=\ln(x+2)+1$ e determine seu domínio.

Resolução.

Para fazermos o esboço do gráfico de $f(x)=\ln(x+2)+1$ , podemos começar com o gráfico de $f_{1}(x)=\ln x$ . Então, podemos transladá-lo 2 unidades à esquerda, de forma a obtermos $f_{2}(x)=\ln(x+2)=f_{1}(x+2)$ . Por fim, transladamos o gráfico de $f_{2}(x)$ uma unidade para cima, obtendo o esboço do gráfico de $f(x)=\ln(x+2)+1=f_{2}(x)+1$ . Veja a Figura 3.49.

Ainda, o domínio de $\ln x$ é $(0,\infty)$ . Como, $f(x)=\ln(x+2)+1$ é uma translação de duas unidades à esquerda e uma para cima de $\ln x$ , temos que o domínio de $f(x)$ é $(-2,\infty)$ .

ER 3.10.2.

Resolva a seguinte equação para $x$

\ln(x+2)-1=1.

(3.219)

Resolução.

Podemos calcular a solução pelos seguintes passos:

	$\displaystyle\ln(x+2)+1=1$		(3.220)
	$\displaystyle\ln(x+2)=0$		(3.221)
	$\displaystyle e^{\ln(x+2)}=e^{0}$		(3.222)
	$\displaystyle x+2=e^{0}$		(3.223)
	$\displaystyle x=1-2=-1.$		(3.224)

3.10.2 Exercícios

E. 3.10.1.

Calcule o valor de:

a)

$2\ln 2-\ln 3+\ln\frac{3}{4}$
b)

$\log_{10}50-\log_{10}5$

a) $0$ ; b) $1$

E. 3.10.2.

Faça o esboço do gráfico de $f(x)=\log(x-2)-1$ e determine seu domínio.

Dica: use um pacote computacional de matemática simbólica para verificar o esboço de seu gráfico. Domínio: $(2,\infty)$ .

E. 3.10.3.

Resolva para $x$ :

a)

$\ln x^{2}=4$
b)

$\log_{\sqrt{2}}(x+1)=0$

a) $x=e^{2}$ ; b) $x=0$

E. 3.10.4.

Mostre que

\ln|y|-\ln\left|1-\frac{y}{K}\right|=rt+c

(3.226)

tem como solução a função logística

y=\frac{K}{1+\frac{K}{c}e^{-rt}}

(3.227)

E. 3.10.5.

(Aplicação.) O fenômeno de desintegração espontânea do núcleo de um átomo com a emissão de algumas radiações é chamado de radioatividade¹⁶¹⁶16Fonte: Wikipédia.. A lei fundamental do decaimento radiativo estabelece que a taxa de decaimento é proporcional ao número de átomos que ainda não decaíram. Isto nos fornece a equação da lei básica da radioatividade

N=N_{0}e^{-\lambda t}

(3.228)

onde, $N=N(t)$ é o número de átomos no tempo $t$ , $N_{0}\geq 0$ é o número de átomos presentes no tempo inicial $t=0$ e $\lambda>0$ é a constante de decaimento.

A meia-vida do plutônio ( ${}^{236}\text{Pu}$ ) é de aproximadamente $2,86$ anos. Determine a sua constante de decaimento $\lambda$ .

$\displaystyle\lambda=\frac{1}{2,86}\ln 2$

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3.10 Funções logarítmicas

Observação 3.10.1.

Exemplo 3.10.1.

3.10.1 Exercícios resolvidos

ER 3.10.1.

Resolução.

ER 3.10.2.

Resolução.

3.10.2 Exercícios

E. 3.10.1.

E. 3.10.2.

E. 3.10.3.

E. 3.10.4.

E. 3.10.5.

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	$\displaystyle a^{y}=1$		(3.189)
	$\displaystyle a^{y}=a^{0}$		(3.190)
	$\displaystyle y=0$		(3.191)

	$\displaystyle a^{y}=a$		(3.192)
	$\displaystyle a^{y}=a^{1}$		(3.193)
	$\displaystyle y=1$		(3.194)

	$\displaystyle a^{z}=x\cdot y$		(3.195)
	$\displaystyle a^{z}=a^{z_{x}}\cdot a^{z_{y}}$		(3.196)
	$\displaystyle a^{z}=a^{z_{x}+z_{y}}$		(3.197)
	$\displaystyle z=z_{x}+z_{y}$		(3.198)

	$\displaystyle a^{z}=x\cdot y$		(3.199)
	$\displaystyle a^{z}=a^{z_{x}}\cdot a^{z_{y}}$		(3.200)
	$\displaystyle a^{z}=a^{z_{x}+z_{y}}$		(3.201)
	$\displaystyle z=z_{x}+z_{y}$		(3.202)

	$\displaystyle a^{z}=x$		(3.203)
	$\displaystyle\left(a^{z}\right)^{r}=x^{r}$		(3.204)
	$\displaystyle a^{r\cdot z}=x^{r}$		(3.205)
	$\displaystyle r\cdot\log x=\log_{a}x^{r}$		(3.206)

	$\displaystyle b^{z_{a}}=a$		(3.207)
	$\displaystyle(b^{z_{a}})^{z}=a^{z}$		(3.208)
	$\displaystyle b^{z_{a}\cdot z}=x$		(3.209)
	$\displaystyle b^{z_{a}\cdot z}=b^{z_{x}}$		(3.210)
	$\displaystyle z_{a}\cdot z=z_{x}$		(3.211)
	$\displaystyle z=\frac{z_{x}}{z_{a}}$		(3.212)

	$\displaystyle\log_{2}8=\log_{2}2^{3}$		(3.214)
	$\displaystyle\text{}\quad=3\cdot\log_{2}2$		(3.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=3$		(3.216)