Pré-cálculo

3 Funções 3.8 Propriedades de funções 3.10 Funções logarítmicas

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3.9 Funções exponenciais

Uma função exponencial tem a forma

f(x)=a^{x},

(3.173)

onde $a\neq 1$ é uma constante positiva e é chamada de base da função exponencial.

Funções exponenciais estão definidas em toda parte e têm imagem $(0,\infty)$ . O gráfico de uma função exponencial sempre contém os pontos $(-1,1/a)$ , $(0,1)$ e $(1,a)$ . Veja a Figura 3.41.

Refer to caption — Figura 3.41: Esboços dos gráficos de funções exponenciais: (acima) $f(x)=a^{x}$ , $a>1$ ; (abaixo) $g(x)=a^{x}$ , $0<a<1$ .

Observação 3.9.1.

Quando a base é o Número de Euler¹²¹²12Leonhard Paul Euler, 1707-1783, matemático e físico suíço. Fonte: Wikipédia: Leonhard Euler.

e\approx 2,718281828459045

(3.174)

chamamos $f(x)=e^{x}$ de função exponencial (natural).

Exemplo 3.9.1.

Vamos estudar os gráficos cada uma das seguintes funções exponenciais:

a)

$\displaystyle f(x)=2^{x}$

Figura 3.42: Esboço do gráfico da função $f(x)=2^{x}$ .
b)

$\displaystyle f(x)=e^{x}$

Figura 3.43: Esboço do gráfico da função $f(x)=e^{x}$ .
c)

$\displaystyle f(x)=e^{-x}$

Figura 3.44: Esboço do gráfico da função $f(x)=e^{-x}$ .

3.9.1 Exercícios resolvidos

ER 3.9.1.

Faça um esboço do gráfico de $f(x)=e^{-2x+1}-1$ .

Resolução.

Primeiramente, observamos que

	$\displaystyle f(x)=e^{-2x+1}-1$		(3.175)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{-2\left(x-\frac{1}{2}\right)}-1$		(3.176)

Então, partindo do gráfico de $e^{-x}$ , fazemos uma translação de $\frac{1}{2}$ unidades à direita, seguida de uma contração horizontal de $\frac{1}{2}$ vezes e, por fim, uma translação para baixo de uma unidade. Consultemos as Figura 3.45, Figura 3.46 e Figura 3.47.

ER 3.9.2.

Calcule o(s) zero(s) da seguinte função

f(x)=e^{-2x-1}+1

(3.177)

Resolução.

Um zero da função é um ponto $x$ onde

	$\displaystyle f(x)=0$		(3.178)
	$\displaystyle e^{-2x-1}-1=0$		(3.179)
	$\displaystyle e^{-2x-1}=1$		(3.180)

Para resolver esta equação exponencial, lembramos que $e^{0}=1$ . Logo, temos

	$\displaystyle e^{-2x-1}=e^{0}$		(3.181)
	$\displaystyle-2x-1=0$		(3.182)
	$\displaystyle x=\frac{1}{2}$		(3.183)

Concluímos que $x=\frac{1}{2}$ é o único zero da função.

3.9.2 Exercícios

E. 3.9.1.

Faça um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções:

a)

$f(x)=3^{x}$
b)

$g(x)=2^{-x}$
c)

$h(x)=e^{x}+1$
d)

$i(x)=e^{-x+1}$

Dica: use um pacote de matemática simbólica para verificar suas respostas.

E. 3.9.2.

Justificando, determine a veracidade das seguintes afirmações:

a)

$y=e^{x}$ é uma função crescente;
b)

$y=e^{-x}$ é uma função decrescente;
c)

$y=e^{-x^{2}}$ é uma função decrescente;
d)

$e^{-x}>0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ .

a) V; b) V; c) F; d) V

E. 3.9.3.

Calcule o zero da função

f(x)=2^{x-1}-1

(3.184)

$x=1$

E. 3.9.4.

Faça um esboço do gráfico de $f(x)=2e^{x-1}+2$ .

Dica: use um pacote de matemática simbólica para verificar sua resposta.

E. 3.9.5.

(Aplicação.) Na física química, a Equação de Arrhenius¹³¹³13Svante August Arrhenius, 1859 - 1927, químico sueco. Fonte: Wikipédia: Svante Arrhenius. fornece a taxa de reação $k$ (entre espécies químicas) em função da temperatura $T$ [K]

k=Ae^{-\frac{E_{a}}{RT}},

(3.185)

onde $A>0$ é o fator constante pré-exponencial, $E_{a}>0$ é a energia de ativação e $R>0$ é a constante universal dos gases. Para temperatura constante, a equação acima define a função $k=k(E_{a})$ . Em relação a esta função, responda cada um dos seguintes itens:

a)

A função $k=k(E_{a})$ é crescente ou decrescente? E, o que isso significa?
b)

Determine o domínio da função $k=k(E_{a})$ . O que ele significa na aplicação.
c)

Determine a imagem da função $k=k(E_{a})$ . O que ela significa na aplicação.
d)

Faça um esboço do gráfico da função $k=k(E_{a})$ .

a) Decrescente. Significa que quanto maior a energia de ativação, menor é a taxa de reação. b) $D(k)=(0,\infty)$ , são os possíveis valores para a energia de ativação. c) $Im(k)=(0,A)$ , significa que a taxa de reação é sempre um valor entre 0 e A, exclusivamente.

E. 3.9.6.

(Aplicação.) Uma das técnicas de inteligência artificial consiste em utilizar de neurônios artificiais¹⁴¹⁴14Modelos matemáticos baseados em neurônios biológicos.. A saída fornecida por um neurônio depende da escolha da chamada função de ativação $\varphi=\varphi(x)$ . Em muitas aplicações, a função logística é escolhida, i.e.

\varphi(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}

(3.186)

Responda cada um dos seguintes itens:

a)

Escreva essa função de ativação $\varphi$ como uma composição de duas funções $f$ e $g$ .
b)

Determine o domínio dessa função de ativação $\varphi$ .
c)

Determine a imagem dessa função de ativação $\varphi$ .

a) $\varphi=f\circ g$ , $f(x)=1/(1+x)$ , $g(x)=e^{-x}$ ; b) $D(\varphi)=\mathbb{R}$ ; c) $Im(\varphi)=(0,1)$ .

E. 3.9.7.

(Aplicação.) O fenômeno de desintegração espontânea do núcleo de um átomo com a emissão de algumas radiações é chamado de radioatividade¹⁵¹⁵15Fonte: Wikipédia.. A lei fundamental do decaimento radiativo estabelece que a taxa de decaimento é proporcional ao número de átomos que ainda não decaíram. Isto nos fornece a equação da lei básica da radioatividade

N=N_{0}e^{-\lambda t}

(3.187)

onde, $N=N(t)$ é o número de átomos no tempo $t$ , $N_{0}\geq 0$ é o número de átomos presentes no tempo inicial $t=0$ e $\lambda>0$ é a constante de decaimento. Faça o esboço do gráfico da função $N=N(t)$ .

Dica: Coloque números para os parâmetros e verifique seu gráfico usando Python+SymPy.

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3.9 Funções exponenciais

Observação 3.9.1.

Exemplo 3.9.1.

3.9.1 Exercícios resolvidos

ER 3.9.1.

Resolução.

ER 3.9.2.

Resolução.

3.9.2 Exercícios

E. 3.9.1.

E. 3.9.2.

E. 3.9.3.

E. 3.9.4.

E. 3.9.5.

E. 3.9.6.

E. 3.9.7.

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