Redes neurais informadas pela física (PINNs, do inglês, physics-informed neural networks) são métodos de deep learning para a solução de equações diferenciais. A ideia é treinar uma rede neural para aproximar a solução de uma equação diferencial, incorporando a equação e suas condições inicial e de contorno na função de perda da rede. Por exemplo, considere uma equação diferencial da forma

onde $L$ é um operador diferencial (por exemplo, $L(u)=-\mathrm{\Delta }u$), $f$ é uma função fonte, $g$ é uma função de contorno e $D$ é o domínio do problema. Uma PINN é uma rede neural

com parâmetros $𝜽$ a serem treinados de forma a minimizar a função de perda

onde o resíduo é definido por

com ${\left({𝒙}^{(s)}\right)}_{s=1}^{n_{s,in}}\subset D$ e ${\left({𝒙}^{(s)}\right)}_{s=1}^{n_{s,cc}}\subset \partial D$ conjuntos de pontos de colocação para o treinamento.

Observemos que a função de perda $\epsilon$ não depende do conhecimento da solução $u$. A função de perda é construída a partir do resíduo da equação diferencial e das condições de contorno, que são as informações físicas do problema. O cálculo do resíduo da equação diferencial envolve a avaliação de derivadas da rede neural, que podem ser computadas de forma eficiente por diferenciação automática.

Nas seções deste capítulo, vamos apresentar exemplos de aplicação de PINNs para a solução de equações diferenciais parciais. Na Seção 3.1, começamos estudando aplicações para equações estacionárias, em particular para a equação de Poisson. Problemas transientes são tratados na Seção 3.2 com a equação do calor. Por fim, na Seção 3.3, apresentamos uma aplicação de PINNs para problemas inversos.