1.1 Segmentos Orientados

O comprimento de um segmento $AB$ é denotado por $|AB|$ e definido como a distância entre seus pontos extremos $A$ e $B$. Em outras palavras, é o tamanho do segmento¹¹endnote: ¹Em aplicações, o comprimento é medido em unidades de comprimento, metro $(m)$, no sistema internacional de unidades (SI).. Consulte a Figura 1.2

A direção de um segmento $AB$ é a direção de sua reta suporte, i.e. a direção da reta que fica determinada pelos pontos $A$ e $B$. Logo, dois segmentos $AB$ e $CD$ têm a mesma direção, quando suas retas suportes são paralelas ou coincidentes (ou seja, elas têm a mesma direção).

Se $A$ e $B$ são pontos coincidentes, então chamamos $AB$ de segmento nulo e temos $|AB|=0$. Observamos que a representação geométrica de um segmento nulo é um ponto, tendo em vista que seus pontos extremos são coincidentes. Como existem infinitas retas de diferentes direções que passam por um único ponto, temos que segmentos nulos não têm direção definida.

As noções de comprimento e de direção para segmentos estendem-se diretamente a segmentos orientados. Dizemos que dois segmentos orientados não nulos $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ têm a mesma direção, quando as retas $AB$ e $CD$ são paralelas ou coincidentes. Em outras palavras, dois segmentos orientados não nulos têm a mesma direção quando suas retas suporte são paralelas ou coincidentes.

O comprimento de um segmento orientado $\overrightarrow{AB}$ é a norma do segmento $AB$, i.e. $\left|\overrightarrow{AB}\right|=|AB|$. O segmento orientado nulo $\overrightarrow{AA}$ tem comprimento $\left|\overrightarrow{AA}\right|=0$ e não tem direção definida.

O sentido de um segmento orientado é o do ponto de partida (origem) para o ponto de chegada (extremo). Por exemplo, o segmento orientado $\overrightarrow{AB}$ tem sentido do ponto $A$ ao $B$.

Segmentos orientados $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ de mesma direção podem ter o mesmo sentido ou sentidos opostos. No caso de suas retas suportes não serem coincidentes, os segmentos orientados $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ têm o mesmo sentido, quando os segmentos $AC$ e $BD$ não se interceptam. No contrário, caso estes se interceptam, os segmentos orientados $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ têm sentidos opostos.

Com base na Observação 1.1.1, analisamos o sentido de dois segmentos orientados e colineares escolhendo um deles e construindo um segmento orientado de mesmo sentido e não colinear. Então, analisamos o sentido dos segmentos orientados originais com respeito ao introduzido.

Um segmento orientado não nulo $\overrightarrow{AB}$ é equipolente a um segmento orientado $\overrightarrow{CD}$, quando $\overrightarrow{AB}$ tem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de $\overrightarrow{CD}$ (consulte a Figura 1.7). Segmentos nulos também são considerados equipolentes entre si.

Usamos a notação $\overrightarrow{AB}\sim \overrightarrow{CD}$ para indicar que $\overrightarrow{AB}$ é equipolente a $\overrightarrow{CD}$. Caso contrário, escrevemos $\overrightarrow{AB}\sim ̸\overrightarrow{CD}$.

A relação de equipolência é uma relação de equivalência. De fato, temos:

• •

  relação reflexiva: $\overrightarrow{AB}\sim \overrightarrow{AB}$;

• •

  relação simétrica: $\overrightarrow{AB}\sim \overrightarrow{CD}\Rightarrow \overrightarrow{CD}\sim \overrightarrow{AB}$;

• •

  relação transitiva: $\overrightarrow{AB}\sim \overrightarrow{CD}\text{e}\overrightarrow{CD}\sim \overrightarrow{EF}\Rightarrow \overrightarrow{AB}\sim \overrightarrow{EF}$.

Com isso, dado um segmento orientado $\overrightarrow{AB}$, definimos a classe de equipolência de $\overrightarrow{AB}$ como o conjunto de todos os seus segmentos equipolentes. O segmento $\overrightarrow{AB}$ é um representante desta classe, a qual é denotada por ${\left[\overrightarrow{AB}\right]}_{\sim }$.