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1.3 Operações Elementares com Vetores

Vamos introduzir operações vetoriais de adição e multiplicação por escalar.

1.3.1 Adição de Vetores

Sejam dados dois vetores u→ e v→. Sejam, ainda, suas representações u→=A⁢B→ e v→=B⁢C→. Então, definimos o vetor soma u→+v→ como o vetor que admite a representação u→+v→=A⁢C→. Consulte a Figura 1.17.

Refer to caption
Figura 1.17: Vetor soma resultante da adição entre dois vetores.

Propriedades

A operação de adição tem as seguintes propriedades notáveis.

  • •

    Elemento neutro da adição

    u→+0→=u→. (1.8)

    De fato, seja a representação do vetor u→=A⁢B→. Observamos que podemos representar 0→=B⁢B→. Por definição da adição de vetores, temos

    u→+0→ =A⁢B→+B⁢B→ (1.9)
    =A⁢B→=u→. (1.10)
  • •

    Associatividade da adição

    (u→+v→)+w→=u→+(v→+w→). (1.11)

    De fato, sejam as representações u→=A⁢B→, v→=B⁢C→ e w→=C⁢D→. Então, segue

    (u→+v→)+w→ =(A⁢B→+B⁢C→)+C⁢D→ (1.12)
    =A⁢C→+C⁢D→ (1.13)
    =A⁢D→, (1.14)

    bem como,

    u→+(v→+w→) =A⁢B→+(B⁢C→+C⁢D→) (1.15)
    =A⁢B→+B⁢D→ (1.16)
    =A⁢D→. (1.17)
  • •

    Comutatividade da adição

    u→+v→=v→+u→. (1.18)

    Para vetores u→ e v→ de mesma direção, a comutatividade de adição é direta. Noutro caso, podemos usar a regra do paralelogramo, que introduziremos logo mais. Consulte, também, o exercício resolvido ER.1.3.2.

1.3.2 Vetor oposto

Definimos o vetor oposto a u→, pelo vetor −u→ que tem o mesmo comprimento e a mesma direção de u→, mas tem sentido oposto a u→. Consulte a Figura 1.18.

Refer to caption
Figura 1.18: Vetor oposto −u→=B⁢A→ do vetor u→=A⁢B→.
Observação 1.3.1.

(Oposto do Vetor Nulo.) Por completude, definimos −0→=0→.

Propriedade

  • •

    Elemento oposto da adição

    u→+(−u→)=0→. (1.19)

    Dado um vetor e sua representação u→=A⁢B→. Por definição, −u→=B⁢A→ e, então,

    u→+(−u→) =A⁢B→+B⁢A→ (1.20)
    =A⁢A→ (1.21)
    =0→. (1.22)

    Consulte a Figura 1.18.

1.3.3 Subtração de vetores

A subtração do vetor u→ pelo vetor v→ é denotada por u→−v→ e definida por

u→−v→:=u→+(−v→). (1.23)

Consultamos a Figura 1.19.

Refer to caption
Figura 1.19: Representação geométrica de u→−v→.

Regra do Paralelogramo

Sejam u→=O⁢A→ e v→=O⁢C→ vetores não nulos e de diferentes direções. Seja, então o paralelogramo O⁢A⁢B⁢C determinado por eles (consulte o exercício resolvido ER.1.2.2). Por observação direta, temos que u→+v→=O⁢B→ e u→−v→=C⁢A→. Consulte a Figura 1.20.

Refer to caption
Figura 1.20: Regra do paralelogramo. u→+v→=O⁢B→. u→−v→=C⁢A→.

1.3.4 Multiplicação de Vetor por Escalar

A multiplicação de um número real α>0 (escalar) por um vetor u→ é denotado por α⁢u→ e é definido pelo vetor de mesma direção e mesmo sentido de u→ e com norma α⁢‖u→‖. Quando α=0, definimos α⁢u→=0→. Consulte a Figura 1.21.

Observação 1.3.2.

(α<0.) No caso de α<0, definimos

α⁢u→=−(−α⁢u→). (1.24)
Refer to caption
Figura 1.21: Multiplicação vetor-escalar.
Proposição 1.3.1.

Para quaisquer número real α e vetor u→, temos

‖α⁢u→‖=|α|⁢|u→|. (1.25)
Demonstração.

De fato, se α≥0, temos |α|=α e o resultado segue imediatamente. Agora, se α<0, então55endnote: 5Por definição, |α|=α para α≥0, e |α|=−α para α<0.

‖α⁢u→‖ =‖−α⁢u→‖ (1.26)
=−α⁢‖u→‖ (1.27)
=|α|⁢‖u→‖. (1.28)

∎

Propriedades

  • •

    Elemento neutro da multiplicação por escalar

    1⁢u→=u→. (1.29)

    De fato, como 1>0, temos que 1⁢u→ e u→ têm a mesma direção e o mesmo sentido. Também, têm a mesma norma, pois

    ‖1⁢u→‖ =|1|⁢‖u→‖ (1.30)
    =‖u→‖. (1.31)
  • •

    Compatibilidade da multiplicação

    α⁢(β⁢u→)=(α⁢β)⁢u→ (1.32)

    De fato, dados α,β números reais e u→ vetor, é direto que α⁢(β⁢u→) e (α⁢β)⁢u→ têm a mesma direção e o mesmo sentido. Por fim, temos

    ‖α⁢(β⁢u→)‖ =|α|⁢‖β⁢u→‖ (1.33)
    =|α|⁢|β|⁢‖u→‖ (1.34)
    =|α⁢β|⁢‖u→‖ (1.35)
    =‖(α⁢β)⁢u→‖. (1.36)
  • •

    Distributividade

    (α+β)⁢u→=α⁢u→+β⁢u→ (1.37)
    α⁢(u→+v→)=α⁢u→+α⁢v→ (1.38)

    A primeira, segue diretamente da noção de comprimento de segmentos orientados. A segunda, segue da semelhança de triângulos. Consulte a Figura 1.22.

    Refer to caption
    Figura 1.22: Distributividade da multiplicação vetor por escalar.

1.3.5 Resumo das Propriedades

Para quaisquer vetores u→, v→ e w→ e quaisquer escalares α e β, valem as seguintes propriedades:

  • •

    Associatividade da adição

    u→+(v→+w→)=(u→+v→)+w→ (1.39)
  • •

    Comutatividade da adição

    u→+v→=v→+u→ (1.40)
  • •

    Elemento neutro da adução

    u→+v⁢e⁢c⁢0=u→ (1.41)
  • •

    Compatibilidade da multiplicação por escalar

    α⁢(β⁢u→)=(α⁢β)⁢u→ (1.42)
  • •

    Elemento neutro da multiplicação por escalar

    1⁢u→=u→ (1.43)
  • •

    Distributividade

    (α+β)⁢u→=α⁢u→+β⁢u→ (1.44)
    α⁢(u→+v→)=α⁢u→+α⁢v→ (1.45)

Exercícios resolvidos

ER 1.3.1.

Com base na Figura 1.23, forneça o vetor w→ como resultado de operações básicas envolvendo os vetores u→ e v→.

Refer to caption
Figura 1.23: Representação dos vetores para o exercício resolvido ER.1.3.1.
Solução.

Vamos construir dois vetores auxiliares H⁢B→ e H⁢I→ a partir de operações envolvendo os vetores u→ e v→. Notamos que H⁢C→=H⁢I→+H⁢B→.

Começamos buscando formar o vetor H⁢I→. Para tanto, observamos que u→=N⁢G→ e, portanto, v→+u→=J⁢G→. Com isso, obtemos que

H⁢I→ =−13⁢J⁢G→ (1.46)
=−13⁢(v→+u→). (1.47)

Agora, vamos formar o vetor H⁢B→. Isso pode ser feito da seguinte forma

H⁢B→ =W⁢Q→ (1.48)
=u→+P⁢Q→ (1.49)
=u→+H⁢I→ (1.50)
=u→−13⁢(v→+u→) (1.51)
=23⁢u→−13⁢v→. (1.52)

Por tudo isso, concluímos que

H⁢C→ =H⁢I→+H⁢B→ (1.53)
=−13⁢(v→+u→) (1.54)
+23⁢u→−13⁢v→ (1.55)
=13⁢u→−23⁢v→. (1.56)
ER 1.3.2.

Mostre que u→+v→=v→+u→.

Solução.

Seja A⁢B⁢C⁢D o paralelogramo com u→=A⁢B→=D⁢C→ e v→=A⁢D→=B⁢C→. Logo, pela regra do paralelogramo temos

u→+v→ =A⁢B→+B⁢C→ (1.57)
=A⁢C→ (1.58)
=A⁢D→+D⁢C→ (1.59)
=v→+u→. (1.60)

Exercícios

E. 1.3.1.

Complete as lacunas.

  1. a)

    Se u→=F⁢E→ e v→=E⁢G→, então u→+v→=F⁢G→.

  2. b)

    2⁢0→+u→=u→→.

  3. c)

    Pela associatividade da adição de vetores, temos (w→+v→)+u→=w→+(v→+u→).

  4. d)

    Pela comutatividade da adição, temos w→+u→=u→+w→.

Resposta.

a) F⁢G→. b) u→. c) (w→+v→)+u→. d) comutatividade da adição.

E. 1.3.2.

Complete as lacunas.

  1. a)

    O vetor oposto de u→=H⁢A→ é −u→=A⁢H→.

  2. b)

    −w→+w→=0→.

  3. c)

    Pela definição de vetor oposto, ‖−v→‖=‖v→‖.

  4. d)

    Se u→=A⁢B→ e v→=A⁢C→, então u→−v→=C⁢B→.

Resposta.

a) A⁢H→. b) −w→. c) ‖v→‖. d) C⁢B→.

E. 1.3.3.

Complete as lacunas.

  1. a)

    O vetor 3⁢w→ tem o mesmo sentido oposto do vetor w→.

  2. b)

    O vetor −π⁢v→ tem o mesmo sentido oposto do vetor v→.

  3. c)

    ‖−2⁢w→‖=2⁢‖w→‖.

  4. d)

    Pela compatibilidade da multiplicação por escalar, temos β⁢(α⁢v→)=(β⁢α)⁢v→ para quaisquer escalares α,β e vetor v→.

  5. e)

    Pela distributividade, temos β⁢(v→+u→)=β⁢v→+β⁢u→ para quaisquer escalar β e vetores u→,v→.

  6. f)

    Outra forma de distributividade, fornece (β+α)⁢w→=β⁢w→+α⁢w→ para quaisquer escalares α,β e vetor w→.

Resposta.

a) mesmo; -x-. b) -x-; oposto. c) 2⁢‖w→‖. d) compatibilidade da multiplicação. e) β⁢(v→+u→). f) distributividade.

E. 1.3.4.

Com base na figura abaixo, forneça uma representação de cada um dos seguintes vetores:

  1. a)

    v→+u→.

  2. b)

    3⁢u→.

  3. c)

    −v→.

  4. d)

    u→−v→.

  5. e)

    v→−u→.

  6. f)

    v→+2⁢u→.

[Uncaptioned image]
Resposta.

a) J⁢G→. b) W⁢B→. c) J⁢F→. d) N⁢C→. e) C⁢N→. f) K⁢A→.

E. 1.3.5.

Com base na figura abaixo, forneça uma representação do vetor w→+v→+u→.

[Uncaptioned image]
Resposta.

M⁢J→.

E. 1.3.6.

Com base na figura abaixo, escreva os seguintes vetores como resultado de operações envolvendo u→ ou v→.

  1. a)

    Q⁢K→

  2. b)

    K⁢I→

  3. c)

    T⁢O→

  4. d)

    P⁢E→

  5. e)

    F⁢T→

[Uncaptioned image]
Resposta.

a) 12⁢v→; b) −23⁢u→; c) 12⁢v→+13⁢u→; d) v→+13⁢u→; e) −43⁢u→−32⁢v→

E. 1.3.7.

Seja dado um vetor u→≠0. Calcule a norma do vetor66endnote: 6u→/|u→| é chamado de vetor u→ normalizado, ou a normalização do vetor u→. v→=u→/|u→|.

Resposta.

|v→|=1.

E. 1.3.8.

Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. Justifique sua resposta.

  1. 1.

    u→+u→=2⁢u→

  2. 2.

    u→=−u→⇔u→=0→.

Resposta.

a) verdadeira; b) verdadeira.

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