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1 Números reais 1 Números reais 1.2 Conjunto dos números racionais

1.1 Conjuntos numéricos

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1.1.1 Definição de conjunto

Um conjunto $A$ é uma coleção de elementos ou objetos. Quando $x$ é um elemento do conjunto $A$ , denotamos

x\in A,

(1.1)

lê-se x pertence ao conjunto A. Já, a notação

x\not\in A

(1.2)

é usada para denotar que $x$ não pertence ao $A$ .

Usualmente, um conjunto é descrito usando a notação

A=\{x:\leavevmode\nobreak\ \text{condi\c{c}\~{a}o para }x\},

(1.3)

lê-se $A$ é o conjunto dos elementos $x$ tais que $x$ satisfaz a condição.

Exemplo 1.1.1.

O conjunto $A$ formado por números positivos pode ser denotado por

A=\{x:x>0\}.

(1.4)

Ainda, observamos que $2\in A$ , $\sqrt{2}\in A$ , mas $-1\not\in A$ . Você saberia escolher mais elementos que pertençam ou que não pertençam a $A$ ?

No Python, podemos definir este conjunto com

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 A = ConditionSet(x, x>0)

o que nos fornece

⬇

1 In : 2 in A

2 Out: True

3 In : sqrt(2) in A

4 Out: True

5 In : -1 in A

6 Out: False

Conjunto finito

Conjunto finito é todo aquele que contém um número finito de elementos. Tais conjuntos podem ser descritos de forma simplificada como segue

A=\{a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\},

(1.5)

neste caso, temos um conjunto com $n$ elementos. Analogamente, um conjunto que contenha infinitos elementos é chamado de conjunto infinito.

Observação 1.1.1.

A=\{-1,3,2\}

(1.6)

é o conjunto que contém apenas os números $-1$ , $3$ e $2$ .

No Python, podemos definir tal conjunto com o seguinte código

⬇

1 from sympy import *

2 A = FiniteSet(-1, 3, 2)

Com este, obtemos

⬇

1 In : -1 in A

2 Out: True

3 In : sqrt(2) in A

4 Out: False

Conjunto vazio

O conjunto que não contém elemento algum é chamado de conjunto vazio e é denotado por $\emptyset$ ou por $\{\}$ .

Exemplo 1.1.2.

O conjunto $A$ de todos os números negativos e positivos é vazio, i.e.

A=\{x:x>0\text{ e }x<0\}=\emptyset

(1.7)

No Python, podemos definir o conjunto vazio com

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> A = EmptySet

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos $A$ e $B$ são iguais, quando todos os elementos $A$ pertencem a $B$ e vice-versa. Em notação matemática, escrevemos $A=B$ quando

x\in A\Leftrightarrow x\in B,

(1.8)

lê-se $x\in A$ se, e somente se, $x\in B$ .

Exemplo 1.1.3.

a)

São iguais os conjuntos

$\displaystyle A=\{-1,3,2\}$ (1.9)

$\displaystyle B=\{3,2,-1\},$ (1.10)

i.e. $A=B$ .

No Python, temos

⬇

1      from sympy import *

2      A = FiniteSet(-1, 3, 2)

3      B = FiniteSet(3, 2, -1)

Com este, obtemos

⬇

1      In : A == B

2      Out: True
b)

São diferentes os conjuntos

$\displaystyle C=\{-3,-2,-1,0\}$ (1.11)

$\displaystyle D=\{-3,-1,0,2\},$ (1.12)

i.e. $C\neq D$ .

No Python, temos

⬇

1      from sympy import *

2      C = FiniteSet(-3, -2, -1, 0)

3      D = FiniteSet(-33, -1, 0, 2)

Com este, obtemos

⬇

1      In : C != D

2      Out: True

Subconjuntos

Dizemos que $A$ é subconjunto de $B$ , quando todos os elementos de $A$ pertencem a $B$ . Neste caso, denotamos

A\subset B

(1.13)

e lemos “A está contido em B”. Mais precisamente, $A\subset B$ quando

x\in A\Rightarrow x\in B,

(1.14)

lemos $x\in A$ implica $x\in B$ . O mesmo pode ser denotado por $B\supset A$ , i.e. B contém A.

Exemplo 1.1.4.

Sejam os seguintes conjuntos

	$\displaystyle A=\{-1,3,2\}$		(1.15)
	$\displaystyle B=\{2,3\}.$		(1.16)

Temos que $B$ é subconjunto de $A$ , i.e. $A\subset B$ ( $A$ está contido em $B$ ).

No Python, temos

⬇

1 from sympy import *

2 A = FiniteSet(-1, 3, 2)

3 B = FiniteSet(2, 3)

Com este, obtemos

⬇

1 In : B.is_subset(A)

2 Out: True

1.1.2 Operações entre conjuntos

União de conjuntos

Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos dados. A união do conjunto $A$ com o conjunto $B$ é o conjunto $A\cup B$ que contém todos os elementos de $A$ e todos os elementos de $B$ . Mais precisamente, temos

A\cup B=\{x:\leavevmode\nobreak\ x\in A\text{ ou }x\in B\},

(1.17)

lê-se o conjunto dos elementos $x$ tais que $x\in A$ ou $x\in B$ .

Exemplo 1.1.5.

	$\displaystyle A=\{-1,3,2\}$		(1.18)
	$\displaystyle B=\{-2,0\},$		(1.19)

então

A\cup B=\{-2,-1,0,2,3\}.

(1.20)

No Python, temos

⬇

1 from sympy import *

2 A = FiniteSet(-1, 3, 2)

3 B = FiniteSet(-2, 0)

⬇

1 In : Union(A, B)

2 Out: FiniteSet(-2, -1, 0, 2, 3)

Interseção de conjuntos

Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos dados. A interseção do conjunto $A$ com o conjunto $B$ é o conjunto $A\cap B$ que contém os elementos que pertencem simultaneamente a ambos os conjuntos $A$ e $B$ . Mais precisamente, temos

A\cap B=\{x:\leavevmode\nobreak\ x\in A\text{ e }x\in B\},

(1.21)

lê-se o conjunto dos elementos $x$ tais que $x\in A$ e $x\in B$ .

Exemplo 1.1.6.

A=\{-1,3,2\}\\ B=\{3,0\},

(1.22)

então

A\cap B=\{3\}.

(1.23)

No Python, temos

⬇

1 from sympy import *

2 A = FiniteSet(-1, 3, 2)

3 B = FiniteSet(3, 0)

⬇

1 In : Intersection(A, B)

2 Out: FiniteSet(3)

Diferença entre conjuntos

Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos dados. A diferença (ou complemento relativo) do conjunto $A$ com o conjunto $B$ é o conjunto $A\setminus B$ que contém os elementos que pertencem ao $A$ e não pertencem ao conjunto $B$ . Mais precisamente, temos

A\setminus B=\{x:\leavevmode\nobreak\ x\in A\text{ e }x\not\in B\},

(1.24)

lê-se o conjunto dos elementos $x$ tais que $x\in A$ e $x\not\in B$ .

Exemplo 1.1.7.

	$\displaystyle C=\{-3,-2,-1,0\}$		(1.25)
	$\displaystyle D=\{-3,-1,0,2,4\},$		(1.26)

então

C\setminus D=\{-2\}.

(1.27)

No Python, temos

⬇

1 from sympy import *

2 C = FiniteSet(-3,-2,-1,0)

3 D = FiniteSet(-3,-1,0,2,4)

⬇

1 In : C - D

2 Out: FiniteSet(-2)

Produto cartesiano

Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos. O produto cartesiano de $A$ com $B$ é o conjunto $A\times B$ , cujos elementos são os pares ordenados $(x,y)$ com $x\in A$ e $y\in B$ . Mais precisamente, temos

A\times B=\{(x,y):\leavevmode\nobreak\ x\in A\text{ e }y\in B\},

(1.28)

lê-se o conjunto dos pares ordenados $(x,y)$ tais que $x\in A$ e $x\in B$ .

Observação 1.1.2.

Um par ordenado $(x,y)$ é um conjunto formado por $x$ e $y$ , no qual a posição dos elementos importa. Por exemplo, temos

(3,-1)\neq(-1,3),

(1.29)

enquanto que

\{3,-1\}=\{-1,3\}.

(1.30)

No Python, escrevemos

⬇

1 from sympy import *

2 A = (3, -1)

3 B = (-1, 3)

então

⬇

1 In : A = (3, -1)

2 In : B = (-1, 3)

3 In : A == B

4 Out: False

Exemplo 1.1.8.

	$\displaystyle A=\{-3,-2,-1\}$		(1.31)
	$\displaystyle B=\{0,1\},$		(1.32)

então

	$\displaystyle A\times B=\{(-3,0),(-2,0),(-1,0),$
	$\displaystyle(-3,1),(-2,1),(-1,1)\}.$		(1.33)

No Python, temos

⬇

1 from sympy import *

2 A = FiniteSet(-3,-2,-1)

3 B = FiniteSet(0, 1)

4 C = ProductSet(A, B)

então

⬇

1 In : (-3, 1) in C

2 Out: True

Ainda, podemos imprimir todos os pares ordenados de $C$ com o seguinte código

⬇

1 for i,p in enumerate(C):

2 print(p)

Verifique!

Exercícios

E. 1.1.1.

Considere o seguinte conjunto

D=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}.

(1.34)

Em cada item, diga se é verdadeira ou falsa a afirmação. Justifique cada resposta.

a)

$-1\in D$
b)

$1\not\in D$
c)

$-5\not\in D$
d)

$\sqrt{100}\not\in D$
e)

$D$ é um conjunto finito

Resposta.

a) V; b) V; c) F; d) V; e) F

E. 1.1.2.

Dado $A=\{1,2,\{3,4\},5\}$ , determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

a)

$\{2,5\}\subset A$
b)

$\{2,3\}\not\subset A$
c)

$\{3,4\}\subset A$
d)

$\{3,4\}\in A$
e)

$\{2,\{3,4\}\}\subset A$

Resposta.

a) V; b) V; c) F; d) V; e) V

E. 1.1.3.

Determine todos os subconjuntos de

\{1,-1,2,-3\}

(1.35)

Resposta.

$\emptyset$ , $\{1\}$ , $\{-1\}$ , $\{2\}$ , $\{-3\}$ , $\{1,-1\}$ , $\{1,2\}$ , $\{1,-3\}$ , $\{-1,2\}$ , $\{-1,-3\}$ , $\{2,-3\}$ , $\{1,-1,2\}$ , $\{1,-1,-3\}$ , $\{1,2,-3\}$ , $\{-1,2,-3\}$ , $\{1,-1,2,-3\}$

E. 1.1.4.

Responda cada um dos seguintes itens:

a)

Quantos subconjuntos tem um conjunto de 5 elementos.
b)

Quantos elementos tem um conjunto que contém exatamente 16 subconjuntos.

Resposta.

a) $2^{5}=32$ ; b) $4$

E. 1.1.5.

Sejam os seguintes conjuntos

	$\displaystyle C=\{-4,2,-1,0,3\}$		(1.36)
	$\displaystyle D=\{5,-3,2,-4\}$		(1.37)

Determine os seguintes conjuntos:

a)

$C\cup D$
b)

$C\cap D$
c)

$C-D$
d)

$D-C$
e)

$C\cup\emptyset$
f)

$D\cap\emptyset$

Resposta.

a) $\{-4,-3,-1,0,2,3,5\}$ ; b) $\{-4,2\}$ ; c) $\{-1,0,3\}$ , d) $\{-3,5\}$ ; e) $C$ ; f) $\emptyset$

E. 1.1.6.

Seja $A$ um conjunto com 10 elementos e $B$ outro com 25. Sabendo que $A\cap B$ tem 5 elementos, determine o número de elementos do conjunto $A\cup B$ .

Resposta.

E. 1.1.7.

Sejam $A$ e $B$ conjuntos quaisquer. Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. Justifique sua resposta.

a)

$A\subset A\cup B$
b)

$A\cap B\supset A$
c)

$A\cup B\supset B$
d)

$A\cap B\subset A$
e)

$A\cup B\subset B$
f)

$(A\cup B)\cap A=\emptyset$

Resposta.

a) V; b) F; c) V; d) V; e) F; f) F

E. 1.1.8.

Sejam os seguintes conjuntos

	$\displaystyle C=\{-4,2\}$		(1.38)
	$\displaystyle D=\{5,-3,2,-4\}.$		(1.39)

Determine o conjunto $C\times D$ .

Resposta.

$C\times D=\{(-4,5),(-4,-3),(-4,2),(-4,-4),(2,5),(2,-3),(2,2),(2,-4)\}$

E. 1.1.9.

Justificando sua resposta, diga se é verdadeira a seguinte afirmação. Se $x\in A$ e $y\in B$ , então $(y,x)\in A\times B$ .

Resposta.

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	$\displaystyle A=\{-1,3,2\}$		(1.9)
	$\displaystyle B=\{3,2,-1\},$		(1.10)

	$\displaystyle C=\{-3,-2,-1,0\}$		(1.11)
	$\displaystyle D=\{-3,-1,0,2\},$		(1.12)