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2 Equação com Uma Incógnita 2.2 Método da Falsa Posição 2.4 Método de Steffensen

2.3 Iteração de Ponto Fixo

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Um ponto fixo de uma função $g$ é um ponto $x$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}g(x)=x.

(2.47)

Geometricamente, pontos fixos são interseções do gráfico da $g$ com a reta $y=x$ , veja a Figura 2.4.

Refer to caption — Figura 2.4: Exemplos de pontos fixos.

Observamos que toda equação de uma incógnita pode ser reescrita de forma equivalente como um problema de ponto fixo.

Exemplo 2.3.1.

Consideremos o problema de resolver

		$\displaystyle\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=x^{3}-\frac{% \pi}{4}x^{2}$		(2.48)
		$\displaystyle\qquad-\frac{5\pi^{2}}{16}x-\frac{3\pi^{3}}{64}.$		(2.48)

Podemos reescrevê-la como o problema de se obter os zeros da seguinte função

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-x^{3}$		(2.49)
		$\displaystyle+\frac{\pi}{4}x^{2}+\frac{5\pi^{2}}{16}x+\frac{3\pi^{3}}{64}.$		(2.49)

Por sua vez, este problema é equivalente aos seguintes problemas de ponto fixo (entre outros):

a)

$\displaystyle g_{1}(x)$ $\displaystyle=\frac{16}{5\pi^{2}}\left[-\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{% \pi}{4}\right)+x^{3}\right.$ (2.50)

$\displaystyle\left.-\frac{\pi}{4}x^{2}-\frac{3\pi^{3}}{64}\right]=x.$
b)

$\displaystyle g_{2}(x)$ $\displaystyle=\left[\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{% \pi}{4}x^{2}\right.$ (2.51)

$\displaystyle\left.+\frac{5\pi^{2}}{16}x+\frac{3\pi^{3}}{64}\right]^{\frac{1}{% 3}}=x$

Na Figura 2.5 podemos observar que os zeros da $f$ (a saber, $x_{1}=3\pi/4\approx 2.3562$ e $x_{2}=x_{3}=-\pi/4\approx-0.78540$ ) coincidem com os pontos fixos das funções $g_{1}$ e $g_{2}$ .

Em muitos casos, é possível obter aproximações de um ponto fixo de uma dada função $g$ pela chamada iteração de ponto fixo:

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x^{(0)}}$	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}=\text{aprox.% inicial}},$		(2.52)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x^{(k+1)}}$	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}=g(x^{(k)})},$		(2.53)

com $k=0,1,2,\ldots$ .

Exemplo 2.3.2.

Vamos estudar as seguintes iterações de ponto fixo com as funções $g1$ e $g_{2}$ consideradas no Exemplo 2.3.1.

Função $g_{1}$ com $x^{(0)}=0.7$ .

$\displaystyle x^{(0)}$	$\displaystyle=-0.70000,$	(2.54)
$\displaystyle x^{(1)}$	$\displaystyle=g_{1}\left(x^{(0)}\right)$	(2.55)
	$\displaystyle=-0.70959,$	(2.56)
$\displaystyle x^{(2)}$	$\displaystyle=g_{1}\left(x^{(1)}\right)$	(2.57)
	$\displaystyle=-0.71716,$	(2.58)
	$\displaystyle\vdots$
$\displaystyle x^{(99)}$	$\displaystyle=g_{1}\left(x^{(98)}\right)$	(2.59)
	$\displaystyle=-0.77862,$	(2.60)
	$\displaystyle\vdots$
$\displaystyle x^{(999)}$	$\displaystyle=g_{1}\left(x^{(998)}\right)$	(2.61)
	$\displaystyle=-0.78466,$	(2.62)
	$\displaystyle\vdots$
$\displaystyle x^{(19999)}$	$\displaystyle=g_{1}\left(x^{(19998)}\right)$	(2.63)
	$\displaystyle=-0.78536.$	(2.64)

Neste caso as iterações de ponto fixo convergem (lentamente) para o ponto fixo $x=-\pi/4\approx-0.78540$ .

b)

Função $g1$ com $x^{(0)}=2.5$ .

Este valor inicial está próximo do ponto fixo $x=3\pi/4\approx 2.3562$ , entretanto as iterações de ponto fixo divergem:

$\displaystyle x^{(0)}$ $\displaystyle=2.50000,$ (2.65)

$\displaystyle x^{(1)}$ $\displaystyle=g_{1}\left(x^{(0)}\right)$ (2.66)

$\displaystyle=2.9966,$ (2.67)

$\displaystyle x^{(2)}$ $\displaystyle=5.8509,$ (2.68)

$\displaystyle\vdots$

$\displaystyle x^{(7)}$ $\displaystyle=4.8921\times 10^{121}.$ (2.69)
c)

Função $g_{2}$ com $x^{(0)}=2.5$ . Neste caso, as iterações de ponto fixo convergem (rapidamente) para o ponto fixo próximo:

$\displaystyle x^{(0)}$ $\displaystyle=2.50000,$ (2.70)

$\displaystyle x^{(1)}$ $\displaystyle=g_{2}\left(x^{(0)}\right)$ (2.71)

$\displaystyle=2.4155,$ (2.72)

$\displaystyle x^{(2)}$ $\displaystyle=2.3805,$ (2.73)

$\displaystyle\vdots$ (2.74)

$\displaystyle x^{(9)}$ $\displaystyle=2.3562.$ (2.75)

Este último exemplo mostra que a iteração do ponto fixo nem sempre é convergente. Antes de vermos condições suficientes para a convergência, vejamos sua interpretação geométrica.

2.3.1 Interpretação Geométrica

A Figura 2.6 apresenta o caso de uma iteração de ponto fixo convergente. As iterações iniciam-se no ponto $x^{(0)}$ e seguem para $x^{(1)}=g(x^{(0)})$ e $x^{(2)}=g(x^{(1)})$ .

2.3.2 Análise Numérica

O seguinte teorema nos fornece condições suficientes para a convergência das iterações de ponto fixo.

Teorema 2.3.1.

(Teorema do Ponto Fixo.) Seja $g$ função continuamente diferenciável satisfazendo ambas as seguintes condições

a)

$g\left([a,b]\right)\subset[a,b]$ ,
b)

$|g^{\prime}(x)|<K<1$ para todo $x\in[a,b]$ .

Então, $g$ tem um único ponto fixo $x^{*}\in[a,b]$ e as iterações

x^{(k+1)}=g\left(x^{(k)}\right),k=0,1,2,\ldots,

(2.76)

convergem para $x^{*}$ , para qualquer escolha de $x^{(0)}\in[a,b]$ .

Demonstração.

Da hipótese b), temos que $g$ é uma contração com

\left|g(x)-g(y)\right|<K\cdot|x-y|,

(2.77)

para quaisquer $x,y\in[a,b]$ . Com isso, da hipótese a) e tomando $x^{(0)}\in[a,b]$ , temos

$\displaystyle\left\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right\|$	$\displaystyle=\left\|g(x^{(k)})-g(x^{(k-1)})\right\|$	(2.78)
	$\displaystyle\leq K\left\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\right\|$	(2.79)
	$\displaystyle\vdots$
	$\displaystyle\leq K^{k-1}\left\|x^{(2)}-x^{(1)}\right\|,$	(2.80)

para $k=1,2,\ldots$ . Como $K<1$ , temos $\left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right|\to 0$ quando $k\to\infty$ e, portanto, $x^{(k)}$ converge para algum $x^{*}\in[a,b]$ .

De fato, $x^{*}$ é ponto fixo de $g$ , pois da continuidade da $g$ , temos

	$\displaystyle x^{*}$	$\displaystyle=\lim_{k\to\infty}x^{(k+1)}$		(2.81)
		$\displaystyle=\lim_{k\to\infty}g(x^{(k)})=g(x^{*}).$		(2.82)

Por fim, $x^{*}$ é único, pois assumindo a existência de outro ponto fixo $x^{**}\neq x^{*}$ teríamos

$\displaystyle\|x^{}-x^{*}\|$	$\displaystyle=\|g(x^{})-g(x^{*})\|$	(2.83)
	$\displaystyle<K\|x^{}-x^{*}\|$	(2.84)
	$\displaystyle<\|x^{}-x^{*}\|.$	(2.85)

∎

Observação 2.3.1.

(Ordem de Convergência.) A iteração de ponto fixo tem ordem de convergência linear

|x^{(k+1)}-x^{(k)}|<K|x^{(k)}-x^{(k-1)}|^{\boldsymbol{1}},

(2.86)

onde $0<K<1$ é a constante dada na hipótese $b)$ do Teorema do Ponto Fixo. Além disso, isso mostra que quanto menor o valor da constante $K$ , mais rápida é a convergência das iterações de ponto fixo.

2.3.3 Zero de Funções

Dado um problema de encontrar um zero de uma função $f$ (i.e., resolver $f(x)=0$ ), podemos construir uma função $g$ com ponto fixo no zero de $f$ e aplicarmos a iteração de ponto fixo para computá-lo. Para tanto, observamos que

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}f(x)=0}$		(2.87)
	$\displaystyle\qquad\Leftrightarrow$		(2.88)
	$\displaystyle\underbrace{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x% -\alpha f(x)}}_{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}=:g(x)}=x,$		(2.89)

com $\alpha\in\mathbb{R}$ escolhido de forma a satisfazer as hipóteses do Teorema do Ponto Fixo (Teorema 2.3.1).

Exemplo 2.3.3.

Retornamos ao problema de encontrar o zero da função

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-x^{3}$		(2.90)
		$\displaystyle+\frac{\pi}{4}x^{2}+\frac{5\pi^{2}}{16}x+\frac{3\pi^{3}}{64}.$		(2.90)

no intervalo $[2,3]$ . Para construir uma função $g$ para a iteração de ponto fixo neste intervalo, podemos tomar

g(x)=x-\alpha f(x),

(2.91)

com $\alpha=-0.1$ . A Figura 2.7 mostra esboços dos gráficos de $g$ e $|g^{\prime}|$ no intervalos $[2,3]$ e podemos observar que esta escolha de $\alpha$ faz com que a $g$ satisfaça o Teorema do Ponto Fixo.

Então, fazendo as iterações de ponto fixo com aproximação inicial $x^{(0)}=2.6$ , obtemos os resultados apresentados na Tabela 2.3.

Tabela 2.3: Resultados referentes ao Exemplo 2.3.3.

$k$	$x^{(k)}$	$\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|$
0	$2.6000$	-x-
1	$2.3264$	$2.7\mathrm{e}\!-\!1$
2	$2.3553$	$2.9\mathrm{e}\!-\!2$
3	$2.3562$	$8.4\mathrm{e}\!-\!4$
4	$2.3562$	$1.1\mathrm{e}\!-\!5$

⬇

1import numpy as np

3# fun obj

4f = lambda x: np.sin(x+np.pi/4)**2 \

5 - x**3 + np.pi/4*x**2 + 5*np.pi**2/16*x \

6 + 3*np.pi**3/64

8# param

9alpha = -0.1

10# fun pto fixo

11g = lambda x: x - alpha*f(x)

13# aprox inicial

14x0 = 2.6

15print(f'\n{1}: {x0:.4f}')

16for k in range(4):

17 x = g(x0)

18 nd = np.fabs(x-x0)

19 print(f'{k+1}: {x:.4f}, {nd:.1e}')

20 x0 = x

2.3.4 Exercícios

E. 2.3.1.

Forneça o(s) ponto(s) fixo(s) de

g(x)=x^{2}e^{-x^{2}}.

(2.92)

Resposta.

$x=0$

E. 2.3.2.

Verifique se a iteração de ponto fixo é convergente para as seguintes funções e aproximações iniciais:

a)

$g_{1}(x)=\cos(x)$ , $x^{(1)}=0.5$
b)

$g_{2}(x)=x^{2}$ , $x^{(1)}=1.01$

Justifique sua resposta.

Resposta.

a) Convergente; b) Divergente.

E. 2.3.3.

Considere o problema de computar uma aproximação do zero de $f(x)=x-\cos(x)$ . Resolva-o aplicando a iteração de ponto fixo para a função auxiliar

g(x)=x-\alpha f(x),

(2.93)

restrita ao intervalo $[a,b]=[0.5,1]$ com aproximação inicial $x^{(0)}=(a+b)/2$ . Escolha o melhor valor de $\alpha$ entre os seguintes:

1.

$\alpha=1$
2.

$\alpha=0.5$
3.

$\alpha=-0.5$
4.

$\alpha=0.6$

Então, compute uma aproximação do zero de $f$ com $5$ dígitos significativos de precisão.

Resposta.

$\alpha=0.6$ ; $7.3909\times 10^{-1}$

E. 2.3.4.

Seja

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-x^{3}$		(2.94)
		$\displaystyle+\frac{\pi}{4}x^{2}+\frac{5\pi^{2}}{16}x+\frac{3\pi^{3}}{64}.$		(2.94)

a)

Aplique a iteração de ponto fixo na função auxiliar

$g(x)=x-\alpha f(x)$ (2.95)

para algum $\alpha$ adequado, de forma que aproximação inicial $x^{(0)}=-0.5$ leve a iterações de ponto fixo que convirjam para $x^{*}=-\pi/4$ , zero de multiplicidade par de $f$ .
b)

Mostre que $g^{\prime}(x^{*})=1$ para qualquer valor de $\alpha$ . Por que isso explica a lenta convergência observada no item a)?
c)

Alternativamente, verifique que a abordagem da iteração de ponto fixo converge muito mais rápido para $x^{*}$ se aplicada à derivada de $f$ , i.e. aplicando a iteração à função auxiliar

$h(x)=x-\alpha f^{\prime}(x),$ (2.96)

para um valor de $\alpha$ adequado.

Resposta.

a) $\alpha=0.25$ ; b) Pois, não há $\alpha$ que satisfaz o Teorema do Ponto Fixo.; c) $\alpha=0.1$

E. 2.3.5.

Use o Método da Iteração de Ponto Fixo para aproximar um zero de

f(x)=x^{3}\operatorname{sen}(x)-\cos(x)

(2.97)

no intervalo inicial $[0.5,1]$ .

E. 2.3.6.

Use o Método da Iteração de Ponto Fixo para computar a(s) solução(ões) das seguintes equações com precisão de 8 dígitos significativos.

a)

$x=2^{-x}$ para $0\leq x\leq 2$ .
b)

$e^{-x^{2}}=3x-x^{2}$ para $-1\leq x\leq 4$ .

Resposta.

a) $6.4118574\times 10^{-1}$ ; b) $3.3536470\times 10^{-1}$ ; $2.9999589$

E. 2.3.7.

Use o Método de Iteração de Ponto Fixo para encontrar uma aproximação com precisão de $4$ dígitos significativos do zero de

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=(-x^{2}+1.154x-0.332929)\cos(x)+x^{2}$		(2.98)
		$\displaystyle-1.154x+0.332929$		(2.98)

no intervalo $[-1,0]$ .

Resposta.

$-7.861\times 10^{-1}$

E. 2.3.8.

Use o Método de Iteração de Ponto Fixo para encontrar uma aproximação com precisão de $10^{-4}$ do zero de

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=(-x^{2}+1.154x-0.332929)\cos(x)+x^{2}$		(2.99)
		$\displaystyle-1.154x+0.332929$		(2.99)

no intervalo $(0.55,0.65)$ . Forneça a aproximação computada com $7$ dígitos significativos por arredondamento.

Resposta.

$5.770508\times 10^{-1}$

E. 2.3.9.

Use o Método da Iteração de Ponto Fixo para encontrar o ponto crítico¹⁷¹⁷endnote: ¹⁷Definimos que $x$ é ponto crítico de uma dada $f$ , quando $f^{\prime}(x)=0$ ou $\nexists f^{\prime}(x)$ . de

f(x)=(1-x^{2})e^{-x^{2}}

(2.100)

no intervalo $(0,2)$ . Obtenha o resultado com precisão de $5$ dígitos significativos por arredondamento.

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$\displaystyle\|x^{}-x^{*}\|$	$\displaystyle=\|g(x^{})-g(x^{*})\|$	(2.83)
	$\displaystyle<K\|x^{}-x^{*}\|$	(2.84)
	$\displaystyle<\|x^{}-x^{*}\|.$	(2.85)

	$\displaystyle g_{1}(x)$	$\displaystyle=\frac{16}{5\pi^{2}}\left[-\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{% \pi}{4}\right)+x^{3}\right.$		(2.50)
		$\displaystyle\left.-\frac{\pi}{4}x^{2}-\frac{3\pi^{3}}{64}\right]=x.$		(2.50)

	$\displaystyle g_{2}(x)$	$\displaystyle=\left[\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{% \pi}{4}x^{2}\right.$		(2.51)
		$\displaystyle\left.+\frac{5\pi^{2}}{16}x+\frac{3\pi^{3}}{64}\right]^{\frac{1}{% 3}}=x$		(2.51)

$\displaystyle x^{(0)}$	$\displaystyle=2.50000,$	(2.65)
$\displaystyle x^{(1)}$	$\displaystyle=g_{1}\left(x^{(0)}\right)$	(2.66)
	$\displaystyle=2.9966,$	(2.67)
$\displaystyle x^{(2)}$	$\displaystyle=5.8509,$	(2.68)
	$\displaystyle\vdots$
$\displaystyle x^{(7)}$	$\displaystyle=4.8921\times 10^{121}.$	(2.69)

$\displaystyle x^{(0)}$	$\displaystyle=2.50000,$	(2.70)
$\displaystyle x^{(1)}$	$\displaystyle=g_{2}\left(x^{(0)}\right)$	(2.71)
	$\displaystyle=2.4155,$	(2.72)
$\displaystyle x^{(2)}$	$\displaystyle=2.3805,$	(2.73)
	$\displaystyle\vdots$	(2.74)
$\displaystyle x^{(9)}$	$\displaystyle=2.3562.$	(2.75)