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1 Aritmética de Máquina 1 Aritmética de Máquina 1.2 Representação de Números em Máquina

1.1 Sistema de Numeração Posicional

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Cotidianamente, usamos o sistema de numeração posicional na base decimal. Por exemplo, temos

123.5=1\times 10^{2}+2\times 10^{1}+3\times 10^{0}+5\times 10^{-1},

(1.1)

onde o algarismo/dígito 1 está na posição 2 (posição das centenas), o dígito 2 está na posição 1 (posição das dezenas) e o dígito 3 está na posição 0 (posição das unidades). Mais geralmente, temos a representação decimal

	$\displaystyle\pm d_{n}\ldots d_{2}d_{1}d_{0},d_{-1}d_{-2}d_{-3}\ldots$		(1.2)
	$\displaystyle:=\pm\left(d_{n}\times 10^{n}+\cdots+d_{2}\times 10^{2}+d_{1}% \times 10^{1}+d_{0}\times 10^{0}\right.$		(1.3)
	$\displaystyle\left.+d_{-1}\times 10^{-1}+d_{-2}\times 10^{-2}+d_{-3}\times 10^% {-3}+\cdots\right),$		(1.4)

cujos os dígitos $d_{i}\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , $i=n,\dotsc,2,1,0,-1,-2,-3,\ldots$ . Observamos que esta representação posicional pode ser generalizada para outras bases numéricas.

Definição 1.1.1.

(Representação posicional) Dada uma base ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}b}\in\mathbb{N% }\setminus\{0\}$ , definimos a representação

	$\displaystyle\pm(d_{n}\ldots d_{2}d_{1}d_{0},d_{-1}d_{-2}d_{-3}\ldots)_{\color% [rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}b}$		(1.5)
	$\displaystyle:=\pm\left(d_{n}\times b^{n}+\cdots+d_{2}\times b^{2}+d_{1}\times b% ^{1}+d_{0}\times b^{0}\right.$		(1.6)
	$\displaystyle\left.+d_{-1}\times b^{-1}+d_{-2}\times b^{-2}+d_{-3}\times b^{-3% }+\cdots\right),$		(1.7)

onde os dígitos $d_{i}\in\{0,1,\dotsc,{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}b}-1\}$ ¹¹endnote: ¹Para bases $b\geq 11$ , usamos a representação dos dígitos maiores ou iguais a 10 por letras maiúsculas do alfabeto latino, i.e. $A=10$ , $B=11$ , $C=12$ e assim por diante., $i=n,\dotsc,2,1,0,-1,-2,-3,\ldots$ .

Exemplo 1.1.1.

(Representação binária) O número $(11010.101)_{2}$ está escrito na representação binária (base $b=2$ ). Da Definição 1.1.1, temos

	$\displaystyle(\stackrel{{\scriptstyle 4}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{% \scriptstyle 3}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 2}}{{0}}% \leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ % \stackrel{{\scriptstyle 0}}{{0}}.\stackrel{{\scriptstyle-1}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-2}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,0}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-3}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}})_{2}$		(1.8)
	$\displaystyle=1\times 2^{4}+1\times 2^{3}+0\times 2^{2}+1\times 2^{1}+0\times 2% ^{0}$		(1.9)
	$\displaystyle+1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}$		(1.10)
	$\displaystyle=26.625.$		(1.11)

⬇

11*2**4 + 1*2**3 + 0*2**2 + 1*2**1 + 0*2**0 +

21*2**-1 + 0*2**-2 + 1*2**-3

  26.625

1.1.1 Mudança de Base

Um mesmo número pode ser representado em diferentes bases. A mudança de base da representação de um dado número pode ser feita de várias formas. De forma geral, se temos um número $x$ representado na base $b_{1}$ e queremos obter sua representação na base $b_{2}$ , fazemos

1.

Calculamos a representação do número $x$ na base decimal.
2.

Da calculada representação decimal, calculamos a representação de $x$ na base $b_{2}$ .

Observamos que o passo 1. ( $b\to 10$ ) segue imediatamente da Definição 1.1.1. Agora, o passo 2. ( $10\to b$ ), podemos usar o seguinte procedimento. Suponhamos que $x$ tenha a seguinte representação decimal

d_{n}d_{n-1}d_{n-2}\ldots d_{0},d_{-1}d_{-2}d_{-3}\ldots

(1.12)

Então, separamos sua parte inteira $I=d_{n}d_{n-1}d_{n-2}\ldots d_{0}$ e sua parte fracionária $F=0,d_{-1}d_{-2}d_{-3}\ldots$ ( $x=I+F$ ). Então, usando de sucessivas divisões de $I$ pela base $b$ desejada, obtemos sua representação nesta mesma base. Analogamente, usando de sucessivas multiplicações de $F$ pela base $b$ , obtemos sua representação nesta base. Por fim, basta somar as representações calculadas.

Exemplo 1.1.2.

Obtenha a representação em base quartenária ( $b=4$ ) do número $(11010.101)_{2}$ .

1.

$b=2\to 10$ . A representação de $(11010.101)_{2}$ segue direto da Definição 1.1.1 (veja, o Exemplo 1.1.1). Ou seja, temos

$\displaystyle(\stackrel{{\scriptstyle 4}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{% \scriptstyle 3}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 2}}{{0}}% \leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ % \stackrel{{\scriptstyle 0}}{{0}}.\stackrel{{\scriptstyle-1}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-2}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,0}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-3}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}})_{2}$ (1.13)

$\displaystyle=2^{4}+2^{3}+2^{1}+2^{-1}+2^{-3}$ (1.14)

$\displaystyle=26.625.$ (1.15)

⬇

12**4 + 2**3 + 2 + 2**-1 + 2**-3
```
26.625
```
2.

$b=10\to 4$ . Primeiramente, decompomos $26.625$ em sua parte inteira $I=26$ e em sua parte fracionária $0.625$ . Então, ao fazermos sucessivas divisões de $I$ por $b=4$ , obtemos:

$\displaystyle I$ $\displaystyle=26$ (1.16)

$\displaystyle=6\times 4+2\times 4^{0}$ (1.17)

$\displaystyle=(1\times 4+2)\times 4+2\times 4^{0}$ (1.18)

$\displaystyle=1\times 4^{2}+2\times 4+2\times 4^{0}$ (1.19)

$\displaystyle=(122)_{4}.$ (1.20)

⬇

1I = int(26.625)

2d_int = []

3while (I != 0):

4  d_int.insert(0, I % 4)

5  I //= 4

6print('(',*d_int,')_4',sep="")

Agora, para a parte fracionária, usamos sucessivas multiplicações de $F$ por $b=4$ , obtendo:

$\displaystyle F$ $\displaystyle=0.625$ (1.21)

$\displaystyle=2.5\times 4^{-1}=2\times 4^{-1}+0.5\times 4^{-1}$ (1.22)

$\displaystyle=2\times 4^{-1}+2\times 4^{-1}\times 4^{-1}$ (1.23)

$\displaystyle=2\times 4^{-1}+2\times 4^{-2}$ (1.24)

$\displaystyle=(0.22)_{4}.$ (1.25)

⬇

1F = 26.625 % 1

2d_fra = []

3while (F != 0):

4  F *= 4

5  d_fra.append(int(F))

6  F %= 1

7print('(0,',*d_fra,')_4',sep="")

Por fim, dos passos 1. e 2., temos $(11010.101)_{2}=(122.22)_{4}$ .

⬇

1print('(',*d_int,',',*d_fra,')_4', sep='')

(122.22)_4

1.1.2 Exercícios Resolvidos

ER 1.1.1.

Forneça a representação decimal dos seguintes números:

a)

$(10101)_{2}$
b)

$(0.4321)_{5}$
c)

$(23.5)_{8}$
d)

$(A2A)_{11}$
e)

$(BEBE)_{16}$

Solução.

a)

$(\stackrel{{\scriptstyle 4}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 3% }}{{0}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 2}}{{1}}\leavevmode% \nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1}}{{0}}\stackrel{{\scriptstyle 0}}{{1}})_{2}$

⬇

10b10101
```
21
```
b)

$(\stackrel{{\scriptstyle 0}}{{0}},\stackrel{{\scriptstyle-1}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,4}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-2}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,3}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-3}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,2}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-4}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}})_{5}$

⬇

14*5**-1+3*5**-2+2*5**-3+5**-4
```
0.9376000000000001
```
c)

$(\stackrel{{\scriptstyle 1}}{{2}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 0% }}{{3}},\stackrel{{\scriptstyle-1}}{{\leavevmode\nobreak\ \,5}})_{8}$

⬇

10o235 / 8**1
```
19.625
```
d)

$(\stackrel{{\scriptstyle 2}}{{A}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1% }}{{2}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 0}}{{A}})_{11}$

⬇

1int('A2A', 11)
```
1242
```
e)

$(\stackrel{{\scriptstyle 3}}{{B}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 2% }}{{E}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1}}{{B}}\leavevmode% \nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 0}}{{E}})_{16}$

⬇

10xBEBE
```
48830
```

ER 1.1.2.

Forneça a representação na base indicada dos seguintes números decimais:

a)

$203\to$ base 2
b)

$0.671875\to$ base 2
c)

$17.25\to$ base 8
d)

$3245.875\to$ base 16

Solução.

a)

$203\to$ base 2 Usando o método Python bin, obtemos

⬇

1bin(203)
```
’0b11001011’
```
ou seja, $203=(11001011)_{2}$ .
b)

$0.671875\to$ base 2.

Executando o código

⬇

1F = 0.671875

2digs = []

3while (F != 0):

4  F *= 2

5  digs.append(int(F))

6  F %= 1

7print('(0,',*digs,')_2',sep="")

obtemos que $0.671875=(0.101011)_{2}$ .
c)

$17.25\to$ base 8

Temos que

$\displaystyle 17.25$ $\displaystyle=17+0.25$ (1.26)

$\displaystyle=16+1+\frac{2}{8}$ (1.27)

$\displaystyle=2\cdot 8^{1}+1\cdot 8^{0}+2\cdot 8^{-1}$ (1.28)

$\displaystyle=(21.2)_{8}$ (1.29)
d)

$3245.875\to$ base 16

Executando o seguinte código

⬇

1# base

2b = 16

3# dígitos

4digs = "0123456789ABCDEF"

5

6# número

7x = 3245.875

8

9# parte inteira

10I = int(x)

11di = []

12while (I != 0):

13  di.insert(0, I % b)

14  I //= b

15

16# parte fracionária

17F = x % 1

18df = []

19while (F != 0):

20  F *= b

21  df.append(int(F))

22  F %= 1

23

24print('(',*[digs[d] for d in di],\

25      ',',*[digs[d] for d in df],f')_{b}',sep="")

obtemos $3245.875=(CAD,E)_{16}$ .

ER 1.1.3.

Na base indicada, forneça a representação dos seguintes números:

a)

$(1101)_{2}\to$ base 8
b)

$(1011.0101)_{2}\to$ base 8

Solução.

a)

$(1101)_{2}\to$ base 8

⬇

1oct(0b1101)
```
’0o15’
```
Ou seja, $(1101)_{2}=(15)_{8}$ .
b)

$(1011.0101)_{2}\to$ base 8

Primeiro, convertemos $(1011.0101)_{2}$ para decimal (base 10).

⬇

10b10110101 / 2**4
```
11.3125
```
Logo, convertemos para a base octal (base 8) com o seguinte código:

⬇

1# base

2b = 8

3

4# número

5x = 11.3125

6

7# parte inteira

8I = int(x)

9di = []

10while (I != 0):

11  di.insert(0, I % b)

12  I //= b

13

14# parte fracionária

15F = x % 1

16df = []

17while (F != 0):

18  F *= b

19  df.append(int(F))

20  F %= 1

21

22print('(',*di,',',*df,f')_{b}',sep="")

Com este último, obtemos $(1011.0101)_{2}=11.3125=(13.24)_{8}$

1.1.3 Exercícios

E. 1.1.1.

Obtenha a representação decimal dos seguinte números:

a)

$(101101.00101)_{2}$
b)

$(23.1)_{4}$
c)

$(DAAD)_{16}$
d)

$(33.11)_{8}$
e)

$(51)_{6}$

Resposta.

a) $45.15625$ ; b) $11.25$ ; c) $55981$ ; d) $27.140625$ ; e) $31$

E. 1.1.2.

Obtenha a representação dos seguintes números decimais na base indicada:

a)

$10$ na base 2.
b)

$45.5$ na base 2.
c)

$41$ na base octal.
d)

$66.31640625$ na base hexadecimal.
e)

$0,\overline{3}$ na base 3.

Resposta.

a) $(1010)_{2}$ ; b) $(101101.1)_{2}$ ; c) $(51)_{8}$ ; d) $(42.51)_{16}$ ; e) $(0.1)_{3}$

E. 1.1.3.

Obtenha a representação dos seguintes números na base indicada:

a)

$(101101.00101)_{2}$ na base 4.
b)

$(23.1)_{4}$ na base 2.
c)

$(2001)_{16}$ na base 8.

Resposta.

a) $(231.022)_{4}$ ; b) $(1011.01)_{2}$ ; c) $(20001)_{8}$

E. 1.1.4.

Obtenha a representação dos seguintes números na base indicada:

a)

$(0.1)_{3}$ na base decimal.
b)

$(0,\overline{1})_{3}$ na base decimal.
c)

$0,\overline{3}$ na base octal.

Resposta.

a) $0,\overline{3}$ ; b) $1.5$ ; c) $(0,\overline{25})_{8}$ ;

E. 1.1.5.

Obtenha a representação dos seguintes números na base indicada:

a)

$0.3$ na base 4.
b)

$0.3$ na base 9.
c)

$(A8)_{16}$ na base 5.

Resposta.

a) $(0.1\overline{03})_{4}$ ; b) $(0,\overline{27})$ ; c) $(2.2)_{5}$

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	$\displaystyle(\stackrel{{\scriptstyle 4}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{% \scriptstyle 3}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 2}}{{0}}% \leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ % \stackrel{{\scriptstyle 0}}{{0}}.\stackrel{{\scriptstyle-1}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-2}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,0}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-3}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}})_{2}$		(1.13)
	$\displaystyle=2^{4}+2^{3}+2^{1}+2^{-1}+2^{-3}$		(1.14)
	$\displaystyle=26.625.$		(1.15)

$\displaystyle I$	$\displaystyle=26$	(1.16)
	$\displaystyle=6\times 4+2\times 4^{0}$	(1.17)
	$\displaystyle=(1\times 4+2)\times 4+2\times 4^{0}$	(1.18)
	$\displaystyle=1\times 4^{2}+2\times 4+2\times 4^{0}$	(1.19)
	$\displaystyle=(122)_{4}.$	(1.20)

$\displaystyle F$	$\displaystyle=0.625$	(1.21)
	$\displaystyle=2.5\times 4^{-1}=2\times 4^{-1}+0.5\times 4^{-1}$	(1.22)
	$\displaystyle=2\times 4^{-1}+2\times 4^{-1}\times 4^{-1}$	(1.23)
	$\displaystyle=2\times 4^{-1}+2\times 4^{-2}$	(1.24)
	$\displaystyle=(0.22)_{4}.$	(1.25)

$\displaystyle 17.25$	$\displaystyle=17+0.25$	(1.26)
	$\displaystyle=16+1+\frac{2}{8}$	(1.27)
	$\displaystyle=2\cdot 8^{1}+1\cdot 8^{0}+2\cdot 8^{-1}$	(1.28)
	$\displaystyle=(21.2)_{8}$	(1.29)