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3 Cônicas 3.2 Hipérbole 4 Superfícies Quádricas

3.3 Parábola

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Em um plano, consideramos uma reta $d$ e um ponto $F$ não pertencente a $d$ . Chamamos de parábola o conjunto de pontos $P$ do plano que são equidistantes de $F$ e de $d$ , i.e.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\operatorname{% dist}(P,F)=\operatorname{dist}(P,d)}.

(3.71)

Veja a Figura 3.7.

Refer to caption — Figura 3.7: Ilustração de uma parábola.

O ponto $F$ é chamado de foco da parábola. A reta $d$ é chamada de diretriz da parábola. A reta perpendicular a $d$ e que passa pelo ponto $F$ é chamada de eixo da parábola. O ponto $V$ de interseção entre a parábola e seu eixo é chamado de vértice da parábola.

3.3.1 Equação reduzida de uma parábola

Tomamos o sistema cartesiano de coordenadas com origem no vértice da parábola e eixo das abscissas paralelo à diretriz. Seja $p$ tal que

F=(0,p/2).

(3.72)

Logo, a diretriz tem equação $y=-p/2$ . Da definição de parábola, $P=(x,y)$ pertence a parábola quando

\operatorname{dist}(P,F)=\operatorname{dist}(P,d).

(3.73)

Segue que

\sqrt{x^{2}+\left(y-\frac{p}{2}\right)^{2}}=y+\frac{p}{2}.

(3.74)

Elevando ao quadrado e expandindo, obtemos

x^{2}+y^{2}-py+\frac{p^{2}}{4}=y^{2}+py+\frac{p^{2}}{4}.

(3.75)

Cancelando e rearranjando termos, obtemos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x^{2}=2py},

(3.76)

a chamada equação reduzida da parábola.

Exemplo 3.3.1.

A Figura 3.8 é um esboço do gráfica da parábola de equação reduzida

x^{2}=4y.

(3.77)

Observação 3.3.1.

Uma parábola com vértice na origem do sistema cartesiano e foco $F=(p/2,0)$ , tem equação reduzida

y^{2}=2px.

(3.78)

Exercícios resolvidos

ER 3.3.1.

Determine a equação reduzida da parábola de diretriz $y=2$ e vértice na origem do sistema cartesiano. Por fim, faça o esboço de seu gráfico.

Solução.

Uma parábola de equação reduzida

x^{2}=2py

(3.79)

tem diretriz $\displaystyle y=-\frac{p}{2}$ . Logo, sabendo que a diretriz é $y=2$ , temos $p=-4$ . Então, concluímos que a equação reduzida da parábola é

x^{2}=-8y

(3.80)

A Figura 3.9 é o esboço do gráfico desta parábola.

ER 3.3.2.

Determine a equação reduzida da parábola de diretriz $x=2$ e vértice na origem do sistema cartesiano. Por fim, faça o esboço de seu gráfico.

Solução.

Uma parábola de equação reduzida

y^{2}=2px

(3.81)

tem diretriz $\displaystyle x=-\frac{p}{2}$ . Logo, sabendo que a diretriz é $x=2$ , temos $p=-4$ . Então, concluímos que a equação reduzida da parábola é

y^{2}=-8x

(3.82)

A Figura 3.10 é o esboço do gráfico desta parábola.