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3 Equações de ordem 2 ou mais alta 3 Equações de ordem 2 ou mais alta Referências

3.1 Equações lineares de ordem 2

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Aqui, vamos considerar equações lineares de ordem 2 com coeficientes constantes e homogêneas, i.e. equações da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(n+2)+p_{1}y(% n+1)+p_{2}y(n)=0},

(3.1)

onde $p_{1},p_{2}\in\mathbb{R}$ .

A ideia para resolver uma tal equação é de buscar por soluções da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(n)=\lambda^{% n}},

(3.2)

onde $\lambda$ é um escalar não nulo (número real ou complexo). Substituindo em (3.1), obtemos

	$\displaystyle\lambda^{n+2}+p_{1}\lambda^{n+1}+p_{2}\lambda^{n}=0$		(3.3)
	$\displaystyle\lambda^{n}\left(\lambda^{2}+p_{1}\lambda+p_{2}\right)=0.$		(3.4)

Ou seja, $\lambda$ deve satisfazer a equação característica

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\lambda^{2}+p_% {1}\lambda+p_{2}=0}.

(3.5)

3.1.1 Caso de raízes reais distintas

Aqui, vamos encontrar a solução geral para (3.1) quando a equação característica associada (3.5) tem raízes reais distintas. As raízes podem ser obtidas da fórmula de Bhaskara, i.e.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\lambda_{1},% \lambda_{2}=\frac{-p_{1}\pm\sqrt{p_{1}^{2}-4p_{2}}}{2}},

(3.6)

onde $p_{1}^{2}-4p_{2}>0$ . Com isso, temos as soluções

	$\displaystyle y_{1}(n)=\lambda_{1}^{n},$		(3.7)
	$\displaystyle y_{2}(n)=\lambda_{2}^{n}.$		(3.8)

Estas são chamadas de soluções fundamentais, pois pode-se mostrar que qualquer solução da equação a diferenças (3.1) pode ser escrita como combinação linear de $y_{1}(n)$ e $y_{2}(n)$ . Ou seja, a solução geral de (3.1) é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(n)=c_{1}% \underbrace{\,\lambda_{1}^{n}\,}_{y_{1}(n)}+c_{2}\underbrace{\,\lambda_{2}^{n}% \,}_{y_{2}(n)}},

(3.9)

onde $c_{1}$ e $c_{2}$ são constantes indeterminadas.

Exemplo 3.1.1.

Vamos encontrar a solução geral de

y(n+2)-4y(n)=0.

(3.10)

Para tanto, resolvemos a equação característica associada

	$\displaystyle\lambda^{2}-4=0$		(3.11)
	$\displaystyle\lambda^{2}=4$		(3.12)
	$\displaystyle\lambda=\pm 2$		(3.13)

Com isso, temos as soluções fundamentais $y_{1}(n)=(-2)^{n}$ e $y_{2}(n)=2^{n}$ . A solução geral é

y(n)=c_{1}\cdot(-2)^{n}+c_{2}\cdot 2^{n}.

(3.14)

3.1.2 Caso de raízes reais duplas

Agora, vamos encontrar a solução geral para (3.1) quando a equação característica associada (3.5) tem raízes reais duplas, i.e.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\lambda_{1,2}=% -\frac{p_{1}}{2}}.

(3.15)

Neste caso, múltiplos de

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y_{1}(n)=% \lambda^{n}_{1,2}}

(3.16)

não nos fornecem todas as soluções possíveis da equação a diferenças. Entretanto, temos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y_{2}(n)=n% \lambda_{1,2}^{n-1}},

(3.17)

também é solução. De fato, substituindo em (3.1), obtemos

	$\displaystyle y_{2}(n+2)+p_{1}y_{2}(n+1)+p_{2}y_{2}(n)=0$		(3.18)
	$\displaystyle(n+2)\lambda_{1,2}^{n+1}+p_{1}\cdot(n+1)\lambda_{1,2}^{n}+p_{2}% \cdot n\lambda_{1,2}^{n-1}=0$		(3.19)
	$\displaystyle n\lambda_{1,2}^{-1}\left(\underbrace{\lambda_{1,2}^{n+2}+p_{1}% \cdot\lambda_{1,2}^{n+1}+p_{2}\lambda_{1,2}^{n}}_{=0}\right)+2\lambda_{1,2}^{n% +1}+p_{1}\lambda_{1,2}^{n}=0$		(3.20)
	$\displaystyle 2\left(-\frac{p_{1}}{2}\right)^{n+1}+p_{1}\left(-\frac{p_{1}}{2}% \right)^{n}=0$		(3.21)
	$\displaystyle(-1)^{n+1}\frac{p_{1}^{n+1}}{2^{n}}+(-1)^{n}\frac{p_{1}^{n+1}}{2^% {n}}=0$		(3.22)
	$\displaystyle 0=0.$		(3.23)

Com isso, temos que a solução geral da equação a diferenças é dada por

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(n)=c_{1}% \lambda_{1,2}^{n}+c_{2}n\lambda_{1,2}^{n-1}}.

(3.24)

Exemplo 3.1.2.

Vamos encontrar a solução geral de

y(n+2)+4y(n+1)+4y(n)=0.

(3.25)

Começamos encontrando as soluções da equação característica associada

	$\displaystyle\lambda^{2}+4\lambda+4=0$		(3.26)
	$\displaystyle(\lambda+2)^{2}=0$		(3.27)
	$\displaystyle\lambda_{1,2}=-2.$		(3.28)

Desta forma, temos as soluções fundamentais

	$\displaystyle y_{1}(n)=(-2)^{n}$		(3.29)
	$\displaystyle y_{2}(n)=n\cdot(-2)^{n-1}$		(3.30)

e a solução geral

	$\displaystyle y(n)=c_{1}\cdot(-2)^{n}+c_{2}\cdot n\cdot(-2)^{n-1}$		(3.31)
	$\displaystyle y(n)=c_{1}\cdot(-2)^{n}+c_{2}\cdot n\cdot\frac{(-2)^{n}}{-2}$		(3.32)
	$\displaystyle y(n)=c_{1}\cdot(-2)^{n}+c_{2}\cdot n\cdot(-2)^{n}$		(3.33)
	$\displaystyle y(n)=(-2)^{n}\cdot\left(c_{1}+c_{2}\cdot n\right)$		(3.34)

3.1.3 Caso de raízes complexas

Agora, vamos encontrar a solução geral para (3.1) quando a equação característica associada (3.5) tem raízes complexas, i.e.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\lambda_{1,2}=% \alpha\pm i\beta}.

(3.35)

Neste caso, temos a solução geral

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(n)=c_{1}(% \alpha-i\beta)^{n}+c_{2}(\alpha+i\beta)^{n}}.

(3.36)

Exemplo 3.1.3.

Vamos encontrar a solução geral de

y(n+2)+4y(n)=0.

(3.37)

Resolvemos a equação característica associada.

	$\displaystyle\lambda^{2}+4=0$		(3.38)
	$\displaystyle\lambda^{2}=-4$		(3.39)
	$\displaystyle\lambda_{1,2}=\pm 2i$		(3.40)

Com isso, temos a solução geral

y(n)=c_{1}\cdot(-2i)^{n}+c_{2}\cdot(2i)^{n}.

(3.41)

Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

A sequência de Fibonacci⁷⁷endnote: ⁷Leonardo Fibonacci, c.1170 - c1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia.

1,1,2,3,5,8,13,\ldots

(3.42)

tem valores iniciais $y(1)=1$ , $y(2)=1$ e os demais valores $y(n+2)=y(n+1)+y(n)$ . Logo, a sequência é solução da equação a diferenças

	$\displaystyle y(n+2)-y(n+1)-y(n)=0,\quad n\geq 1,$		(3.43)
	$\displaystyle y(1)=1,\quad y(2)=1.$		(3.44)

Resolva esta equação a diferença de forma a obter uma forma fechada para $y(n)$ , i.e. o $n$ -ésimo valor na sequência de Fibonacci.

Solução.

A equação a diferenças

y(n+2)-y(n+1)-y(n)=0

(3.45)

é linear e com coeficientes constantes. Desta forma, temos a equação característica associada

\lambda^{2}-\lambda-1=0

(3.46)

a qual tem raízes reais distintas

	$\displaystyle\lambda_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2},$
	$\displaystyle\lambda_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

Logo, a solução geral desta equação é

y(n)=c_{1}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+c_{2}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2% }\right)^{n},\quad n\geq 1.

(3.47)

Agora, aplicando os valores iniciais $y(1)=1$ e $y(2)=2$ , obtemos

	$\displaystyle y(1)$	$\displaystyle=1\Rightarrow c_{1}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)+c_{2}\left(% \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=1$
	$\displaystyle y(2)$	$\displaystyle=1\Rightarrow c_{1}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}+c_{2}% \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=1$

Resolvendo, obtemos

	$\displaystyle c_{1}=-\frac{1}{\sqrt{5}},$		(3.48)
	$\displaystyle c_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$		(3.49)

Concluímos que a solução é

y(n)=-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\frac{1}{\sqrt{5% }}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n},\quad n\geq 1.

(3.50)

ER 3.1.2.

Entre a solução da seguinte equações a diferenças

	$\displaystyle y(n+2)-2y(n+1)+y(n)=0,\quad n\geq 0,$		(3.51)
	$\displaystyle y(0)=1,\quad y(1)=1.$		(3.52)

Solução.

Trata-se de uma equação a diferenças de ordem 2 com coeficientes constantes e homogênea. A equação característica associada é

\lambda^{2}-2\lambda+1=0

(3.53)

com raízes reais duplas $\lambda_{1,2}=1$ . Assim sendo, a solução geral é

	$\displaystyle y(n)$	$\displaystyle=c_{1}\cdot 1^{n}+c_{2}\cdot n\cdot 1^{n}$		(3.54)
		$\displaystyle=c_{1}+c_{2}\cdot n.$		(3.55)

Aplicando os valores iniciais, obtemos

	$\displaystyle y(0)=1\Rightarrow c_{1}=1$		(3.56)
	$\displaystyle y(1)=1\Rightarrow 1+c_{2}=1$		(3.57)

Logo, temos $c_{1}=1$ e $c_{2}=0$ . Concluímos que a solução é a sequência constante

y(n)=1.

(3.58)

ER 3.1.3.

Resolva a seguinte equação a diferenças

y(n+2)-2y(n+1)+2=0.

(3.59)

Solução.

Sendo a equação a diferenças linear homogênea com coeficientes constantes, resolvemos a equação característica

	$\displaystyle\lambda^{2}-2\lambda+2=0$		(3.60)
	$\displaystyle\lambda_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 2}}{2}$		(3.61)
	$\displaystyle\lambda_{1,2}=1\pm i$		(3.62)

Sendo estas as raízes, temos a solução geral

y(n)=c_{1}(1-i)^{n}+c_{2}(1+i)^{n}.

(3.63)

Exercícios

E. 3.1.1.

Calcule a solução geral de

y(n+2)-5y(n+1)+6y(n)=0

(3.64)

Resposta.

$y(n)=c_{1}\cdot 2^{n}+c_{2}\cdot 3^{n}$

E. 3.1.2.

Calcule a solução geral de

y(n+2)-4y(n+1)+4y(n)=0

(3.65)

Resposta.

$y(n)=2^{n}(c_{1}+c_{2}\cdot n)$

E. 3.1.3.

Calcule a solução geral de

y(n+2)+4y(n+1)+13y(n)=0

(3.66)

Resposta.

$y(n)=c_{1}(-2-3i)^{n}+c_{2}(-2+3i)^{n}$

E. 3.1.4.

Resolva

	$\displaystyle y(n+2)-2y(n+1)-8y(n)=0,\quad n\geq 0,$		(3.67)
	$\displaystyle y(0)=2,\quad y(1)=-1.$		(3.68)

Resposta.

$y(n)=\frac{3}{2}(-2)^{n}+\frac{1}{2}4^{n}$

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