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5 Aplicações da integral 5 Aplicações da integral 5.2 Volumes por fatiamento e rotação

5.1 Cálculo de áreas

A integral definida $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ está associada a área entre o gráfico da função $f$ e o eixo das abscissas no intervalo $[a,b]$ (consulte Figura 5.1). Ocorre que se $f$ for não negativa, então $\int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$ . Se $f$ for negativa, então $\int_{a}^{b}f(x)\,dx<0$ . Por isso, dizemos que $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ é a área líquida (ou com sinal) entre o gráfico de $f$ e o eixo das abscissas.

Refer to caption — Figura 5.1: Integral definida e a área com sinal.

Exemplo 5.1.1.

Vamos calcular a área total entre o gráfico de $f(x)=(x-1)^{3}$ e o eixo das abscissas, restrito ao intervalo $[0,2]$ .

Começamos fazendo o estudo de sinal de $f$ no intervalo. Como $x-1\leq 0$ para $x\leq 1$ e, $x-1\geq 0$ para $x\geq 1$ , temos que $f(x)<0$ em $[0,1]$ e $f(x)>0$ em $[1,2]$ . Logo, a área total é dada por

A=-\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}f(x)\,dx.

(5.1)

Agora, usando a substituição $u=x-1$ , temos $du=dx$ e segue que

$\displaystyle\int f(x)\,dx$	$\displaystyle=\int(x-1)^{3}\,dx$	(5.2)
	$\displaystyle=\int u^{3}\,du$	(5.3)
	$\displaystyle=\frac{u^{4}}{4}+C$	(5.4)
	$\displaystyle=\frac{(x-1)^{4}}{4}+C.$	(5.5)

Então, do Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos

$\displaystyle A$	$\displaystyle=-\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}f(x)\,dx$	(5.6)
	$\displaystyle=-\left[\frac{(x-1)^{4}}{4}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{(x-1)^{4}}% {4}\right]_{1}^{2}$	(5.7)
	$\displaystyle=-\left[\frac{(1-1)^{4}}{4}-\frac{(0-1)^{4}}{4}\right]+\left[% \frac{(2-1)^{4}}{4}-\frac{(1-1)^{4}}{4}\right]$	(5.8)
	$\displaystyle=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$	(5.9)

Com Python+SymPy, podemos computar a área com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: x = symbols('x')

3 ...: f = (x-1)**3

4 ...: A = integrate(f, (x,0,1))

5 ...: B = integrate(f, (x,1,2))

6 ...: -A+B

7 Out: 1/2

5.1.1 Áreas entre curvas

Observamos que se $f(x)\geq g(x)$ no intervalo $[a,b]$ , então

\int_{a}^{b}f(x)-g(x)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{a}^{b}g(x)\,dx

(5.10)

corresponde à área entre as curvas $y=f(x)$ e $y=g(x)$ restritas ao intervalo $[a,b]$ . Ou seja, fazendo $h(x)=f(x)-g(x)$ , temos que

\int_{a}^{b}h(x)\,dx

(5.11)

é a área entre essas curvas restritas ao intervalo $[a,b]$ . Ainda, se $f(x)\leq g(x)$ , entre a área entre elas é dada por

-\int_{a}^{b}h(x)\,dx=\int_{a}^{b}g(x)\,dx-\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(5.12)

Exemplo 5.1.2.

Vamos calcular a área entre as curvas $y=(x-1)^{3}$ , $y=x-1$ , $x=0$ e $x=2$ .

Começamos definindo $h(x)=(x-1)^{3}-(x-1)$ . A fim de fazermos o estudo de sinal de $h$ , identificamos seus zeros.

$\displaystyle h(x)$	$\displaystyle=(x-1)^{3}-(x-1)$	(5.13)
	$\displaystyle=(x-1)\left[(x-1)^{2}-1\right]$	(5.14)
	$\displaystyle=(x-1)(x^{2}-2x)$	(5.15)
	$\displaystyle=(x-1)\cdot x\cdot(x-2).$	(5.16)

Ou seja, $x_{1}=0$ , $x_{2}=1$ e $x_{3}=2$ são as raízes de $h$ . Daí, segue seu estudo de sinal:

	$0<x<1$	$1<x<2$
$(x-1)$	-	+
$x$	+	+
$(x-2)$	-	-
$h(x)$	+	-

Assim, temos que a área desejada pode ser calculada como

A=\int_{0}^{1}h(x)\,dx-\int_{1}^{2}h(x)\,dx.

(5.17)

Agora, calculamos a integral de $h$ , i.e.

$\displaystyle\int h(x)\,dx$	$\displaystyle=\int(x-1)^{3}-(x-1)\,dx$	(5.18)
	$\displaystyle=\int(x-1)^{3}\,dx-\int x\,dx+\int\,dx$	(5.19)
	$\displaystyle=\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x+C.$	(5.20)

Por fim, do Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos

$\displaystyle A$	$\displaystyle=\int_{0}^{1}h(x)\,dx-\int_{1}^{2}h(x)\,dx$	(5.21)
	$\displaystyle=\left[\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{0}^{1}-\left% [\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{1}^{2}$	(5.22)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{4}-2+2+\frac{1}{2}-1\right)$	(5.23)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}.$	(5.24)

Com o Python+SymPy, podemos computar a área com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: x = symbols('x')

3 ...: f = (x-1)**3 - (x-1)

4 ...: integrate(abs(f), (x,0,2))

5 Out: 1/2

Calculando áreas em função de $y$

Exemplo 5.1.3.

Calcule a área determinada pelas curvas $x=y^{2}$ e $y=2-x$ .

Uma das formas mais práticas de calcular esta área é integrando em relação a $y$ . Para isso, precisamos que as curvas sejam descritas por funções de $x$ em $y$ . A parábola $x=y^{2}$ já está escrita como tal, e a reta $y=2-x$ é equivalente a $x=2-y$ . Com isso, temos que a área determinada por estas curvas tem medida

$\displaystyle\int_{-2}^{1}\left[(2-y)-(y^{2})\right]\,dy$	$\displaystyle=\int_{-2}^{1}2-y-y^{2}\,dy$	(5.25)
	$\displaystyle=\left.2y-\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}\right\|_{-2}^{1}$	(5.26)
	$\displaystyle=\frac{7}{6}+\frac{10}{3}$	(5.27)
	$\displaystyle=\frac{9}{2}$	(5.28)

Com o Python+SymPy, podemos computar a área com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: y = symbols('y')

3 ...: f = 2 - y - y**2

4 ...: integrate(f, (y, -2, 1))

5 Out: 9/2

5.1.2 Exercícios resolvidos

ER 5.1.1.

Cálculo a área entre a reta $y=1$ e o gráfico de $f(x)=x^{2}$ restritas ao intervalo $[0,1]$ .

Solução.

Observamos que a medida desta área corresponde à área do quadrado $\{0\leq x\leq 1\}\times\{0\leq y\leq 1\}$ descontada a área sob o gráfico de $f(x)=x^{2}$ restrita ao intervalo $[0,1]$ . Isto é,

$\displaystyle A$	$\displaystyle=1-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$	(5.29)
	$\displaystyle=1-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$	(5.30)
	$\displaystyle=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$	(5.31)

ER 5.1.2.

Calcule a área entre as curvas $y=x^{2}$ , $y=x$ , $x=0$ e $x=1$ .

Solução.

O problema é equivalente a calcular a área entre os gráficos das funções $f(x)=x$ e $g(x)=x^{2}$ restritas ao intervalo $[0,1]$ . Como $f(x)\geq g(x)$ neste intervalo, temos

$\displaystyle A$	$\displaystyle=\int_{0}^{1}f(x)-g(x)\,dx$	(5.32)
	$\displaystyle=\int_{0}^{1}x-x^{2}\,dx$	(5.33)
	$\displaystyle=\left.\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right\|_{0}^{1}$	(5.34)
	$\displaystyle=\frac{1}{6}.$	(5.35)

ER 5.1.3.

Calcule a área entre o gráfico de $f(x)=x^{3}-x$ e o eixo das abscissas no intervalo $[-1,1]$ .

Solução.

Para calcularmos a área entre o gráfico de $f(x)$ e o eixo das abscissas no intervalo $[-1,1]$ , fazemos:

1.
O estudo de sinal de $f$ no intervalo $[-1,1]$ .
1. (a)
  
  Cálculo das raízes de $f$ no intervalo $[-1,1]$ .
  
  $\displaystyle x^{3}-x=0$ $\displaystyle\Rightarrow x(x^{2}-1)=0$ (5.36)
  
  $\displaystyle\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$ (5.37)
  
  $\displaystyle\Rightarrow x=-1\text{ ou }x=0\text{ ou }x=1.$ (5.38)
2. (b)
  
  Os sinais de $f(x)$ .
  
  $\displaystyle-1\leq x\leq 0\Rightarrow f(x)\geq 0$ (5.39)
  
  $\displaystyle 0\leq x\leq 1\Rightarrow f(x)\leq 0.$ (5.40)
2.
Cálculo da área usando integrais definidas.
1. (a)
  
  Cálculo da integral indefinida.
  
  $\displaystyle\int f(x)\,dx$ $\displaystyle=\int x^{3}-x\,dx$ (5.41)
  
  $\displaystyle=\int x^{3}\,dx-\int x\,dx$ (5.42)
  
  $\displaystyle=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+C.$ (5.43)
2. (b)
  
  Cálculo da área.
  
  $\displaystyle A$ $\displaystyle=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}f(x)\,dx$ (5.44)
  
  $\displaystyle=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0}-\left[% \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$ (5.45)
  
  $\displaystyle=\frac{1}{2}.$ (5.46)

Com Python+SymPy, podemos fazer o estudo de sinal de $f$ com os seguintes comandos

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: x = symbols('x')

3 ...: f = lambda x: x**3 - x

4 ...: reduce_inequalities(f(x)>=0)

5 Out: ((-1 <= x) & (x <= 0)) | ((1 <= x) & (x < oo))

E, então, computamos a área com

⬇

1 In : A = integrate(f(x), (x, -1, 0))

2 ...: B = integrate(f(x), (x, 0, 1))

3 ...: A - B

4 Out: 1/2

5.1.3 Exercícios

E. 5.1.1.

Calcule a área entre o gráfico de $y=x^{2}-1$ e o eixo das abscissas, restrita ao intervalo $[-1,1]$ .

Resposta.

$4/3$

E. 5.1.2.

Calcule a área entre o gráfico de $y=x^{2}-1$ e o eixo das abscissas, restrita ao intervalo $[-1,2]$ .

Resposta.

$8/3$

E. 5.1.3.

Calcule a área entre o gráfico de $f(x)=x^{3}$ e a reta $y=1$ restritas ao intervalo $[-1,1]$ .

Resposta.

$2$

E. 5.1.4.

Calcule a área entre as curvas $y=x$ , $y=x^{2}$ , $x=0$ e $x=2$ .

Resposta.

$1$

E. 5.1.5.

Calcule a área determinada pelas curvas $x=y^{2}$ e $y=x-2$ .

Resposta.

$9/2$

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$\displaystyle x^{3}-x=0$	$\displaystyle\Rightarrow x(x^{2}-1)=0$	(5.36)
	$\displaystyle\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$	(5.37)
	$\displaystyle\Rightarrow x=-1\text{ ou }x=0\text{ ou }x=1.$	(5.38)

	$\displaystyle-1\leq x\leq 0\Rightarrow f(x)\geq 0$		(5.39)
	$\displaystyle 0\leq x\leq 1\Rightarrow f(x)\leq 0.$		(5.40)

$\displaystyle\int f(x)\,dx$	$\displaystyle=\int x^{3}-x\,dx$	(5.41)
	$\displaystyle=\int x^{3}\,dx-\int x\,dx$	(5.42)
	$\displaystyle=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+C.$	(5.43)

$\displaystyle A$	$\displaystyle=\int_{-1}^{0}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}f(x)\,dx$	(5.44)
	$\displaystyle=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0}-\left[% \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}$	(5.45)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}.$	(5.46)

5.1 Cálculo de áreas

Exemplo 5.1.1.

5.1.1 Áreas entre curvas

Exemplo 5.1.2.

Calculando áreas em função de y

Exemplo 5.1.3.

5.1.2 Exercícios resolvidos

ER 5.1.1.

Solução.

ER 5.1.2.

Solução.

ER 5.1.3.

Solução.

5.1.3 Exercícios

E. 5.1.1.

Resposta.

E. 5.1.2.

Resposta.

E. 5.1.3.

Resposta.

E. 5.1.4.

Resposta.

E. 5.1.5.

Resposta.

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Calculando áreas em função de $y$