Minicurso de Python para Matemática

4 Elementos da computação matricial 4 Elementos da computação matricial 4.2 Elementos da álgebra linear

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4.1 NumPy array

Um numpy.array é uma tabela de valores (vetor, matriz ou multidimensional) e contém informação sobre os dados brutos, indexação e como interpretá-los. Os elementos são todos do mesmo tipo (diferente de uma lista Python), referenciados pela propriedade dtype. A indexação dos elementos pode ser feita por um tuple de inteiros não negativos, por booleanos, por outro numpy.array ou por números inteiros. O ndim de um numpy.array é seu número de dimensões (chamadas de axes¹¹1axes, do inglês, plural de axis, eixo.). O numpy.ndarray.shape é um tuple de inteiros que fornece seu tamanho (número de elementos) em cada dimensão. Sua inicialização pode ser feita usando-se listas simples ou encadeadas. Por exemplo,

⬇

1a = np.array([1, 3, -1, 2])

2print(a)

[ 1 3 -1 2]

⬇

1a.dtype

dtype('int64')

⬇

1a.shape

(4,)

⬇

1a[2]

-1

⬇

1a[1:3]

array([ 3, -1])

temos um numpy.array de números inteiros com quatro elementos dispostos em um único axis (eixo). Podemos interpretá-lo como uma representação de um vetor linha ou coluna, i.e.

a=(1,3,-1,2)

(4.1)

vetor coluna ou $a^{T}$ vetor linha.

Outro exemplo,

⬇

1a = np.array([[1.0,2,3],

2 [-3,-2,-1]])

3a.dtype

dtype('float64')

⬇

1a.shape

(2, 3)

⬇

1a[1,1]

-2.0

temos um numpy.array de números decimais (float) dispostos em um arranjo com dois axes (eixos). O primeiro axis tem tamanho $2$ e o segundo tem tamanho $3$ . Ou seja, podemos interpretá-lo como uma matriz de duas linhas e três colunas. Podemos fazer sua representação algébrica como

a=\begin{bmatrix}1&2&3\\ -3&-2&-1\end{bmatrix}

(4.2)

E. 4.1.1.

Use numpy.array para alocar:

a)

o vetor

$v=\left(-5,\pi,\operatorname{sen}(\pi/3)\right)$ (4.3)
b)

a matriz

$A=\begin{bmatrix}-1&\displaystyle\frac{1}{3}\\[10.00002pt] 2&\displaystyle\sqrt{2}\\[10.00002pt] \displaystyle e^{-1}&-3\\ \end{bmatrix}$ (4.4)

⬇

1import numpy as np

2# a)

3v = np.array([-5., np.pi, np.sin(np.pi/3)])

4print('v = ', v)

5# b)

6A = np.array([[-1., 1./3],

7 [2., np.sqrt(2)],

8 [np.exp(-1.), -3.]])

9print('A = \n', A)

4.1.1 Inicialização de um array

O NumPy conta com úteis funções de inicialização de numpy.array. Vejam algumas das mais frequentes:

•

numpy.zeros: inicializa um numpy.array com todos seus elementos iguais a zero.

⬇

1np.zeros(2)

⬇

array([0., 0.])
•

numpy.ones: inicializa um numpy.array com todos seus elementos iguais a $1$ .

⬇

1np.ones((3,2), dtype='int')

⬇

array([[1, 1],

[1, 1],

[1, 1]])
•

numpy.empty: inicializa um numpy.array sem alocar valores para seus elementos²²2Atenção! No momento da alocação, os valores dos elementos serão dinâmicos conforme “lixo” da memória..

⬇

1np.empty(3)

⬇

array([4.9e-324, 1.5e-323, 2.5e-323])
•

numpy.arange: inicializa um numpy.array com uma sequência de elementos³³3Similar à função Python range..

⬇

1np.arange(1,6,2)

⬇

array([1, 3, 5])
•

numpy.linspace(a, b[, num=n]): inicializa um numpy.array como uma sequência de elementos que começa em a, termina em b (incluídos) e contém n elementos igualmente espaçados.

⬇

1np.linspace(0, 1, num=5)

⬇

array([0. , 0.25, 0.5 , 0.75, 1. ])

E. 4.1.2.

Aloque a matriz escalar

A=\begin{bmatrix}-2&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&0&-2\end{bmatrix}

(4.5)

como um numpy.array.

⬇

1import numpy as np

2A = -2*np.ones((3,3))

3print('A = \n', A)

E. 4.1.3.

Construa um numpy.array para alocar uma partição uniforme com $11$ pontos do intervalo $[0,1]$ . Ou seja, um arranjo $\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n})$ , de elementos $x_{i}=(i-1)h$ , com passo $h=1/(n-1)$ .

⬇

1import numpy as np

2x = np.linspace(0., 1., 11)

3print('x = ', x)

4.1.2 Manipulação de arrays

Outras duas funções importantes no tratamento de arrays são:

•

numpy.reshape: permite a alteração da forma de um numpy.array.

⬇

1a = np.array([-2,-1])

2print(a)

⬇

[-2 -1]

⬇

1b = a.reshape(2,1)

2print(b)

⬇

[[-2]

[-1]]

O numpy.reshape também permite a utilização de um coringa -1 que será dinamicamente determinado de forma obter-se uma estrutura adequada. Por exemplo,

⬇

1a = np.array([[1,2],[3,4]])

2print(a)

⬇

[[1 2]

[3 4]]

⬇

1b = a.reshape((-1,1))

2print(b)

⬇

[[1]

[2]

[3]

[4]]
•

numpy.transpose: computa a transposta de uma matriz.

⬇

1a = np.array([[1,2],[3,4]])

2print(a)

⬇

[[1 2]

[3 4]]

⬇

1b = a.transpose()

2print(b)

⬇

[[1 3]

[2 4]]
•

numpy.concatenate: concatena arrays.

⬇

1a = np.array([1,2])

2b = np.array([2,3])

3c = np.concatenate((a,b))

4print(c)

⬇

[1 2 2 3]

⬇

1a = a.reshape((1,-1))

2b = b.reshape((1,-1))

3d = np.concatenate((a,b), axis=0)

4print(d)

⬇

[[1 2]

[2 3]]

E. 4.1.4.

Aloque o seguinte vetor como um numpy.array

\boldsymbol{a}=(2,3,-1,1,4,-5).

(4.6)

Então, use o método numpy.reshape para, a partir de b, alocar a matriz

A=\begin{bmatrix}-1&1\\ 4&5\end{bmatrix}

(4.7)

como um numpy.array.

⬇

1import numpy as np

2a = np.array([2, 3, -1, 1, 4, 5])

3A = a.reshape((3,-1))

E. 4.1.5.

Tendo em vista que

A=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}

(4.8)

é uma matriz ortogonal⁴⁴4 $A$ é dita matriz ortogonal, quando $A^{-1}=A^{T}$ ., compute $A^{-1}$ .

⬇

1import numpy as np

2A = np.array([[np.sqrt(3)/2, -1./2],

3 [1./2, np.sqrt(3)/2]])

4Ainv = A.transpose()

E. 4.1.6.

Considere o seguinte sistema de equações

	$\displaystyle 2x_{1}-x_{2}=3$		(4.9)
	$\displaystyle x_{1}+3x_{2}=-2$		(4.10)

Use numpy.array para alocar:

1.

a matriz de coeficientes deste sistema.
2.

o vetor dos termos constantes deste sistema.
3.

a matriz estendida deste sistema.

⬇

1import numpy as np

2# a)

3A = np.array([[2, -1],

4 [1, 3]])

5# b)

6b = np.array([3, -2])

7# c)

8E = np.concatenate((A, b.reshape(-1,1)), axis=1)

4.1.3 Operadores elemento-a-elemento

Os operadores aritméticos disponível no Python atuam elemento-a-elemento nos numpy.arrays. Por exemplo,

⬇

1a = np.array([1,2])

2b = np.array([2,3])

3a+b

array([3, 5])

⬇

1a-b

array([-1, -1])

⬇

1b*a

array([2, 6])

⬇

1a**b

array([1, 8])

⬇

12*b

array([4, 6])

O NumPy também conta com várias funções matemáticas elementares que operam elemento-a-elemento em arrays. Por exemplo,

⬇

1a = np.array([np.pi, np.sqrt(2)])

array([3.14159265, 1.41421356])

⬇

1np.sin(a)

array([1.22464680e-16, 9.87765946e-01])

⬇

1np.exp(a)

array([23.14069263, 4.11325038])

E. 4.1.7.

Compute os valores da função cosseno para os elementos do vetor

\boldsymbol{\theta}=\left(0.,30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ},90^{\circ}\right).

(4.11)

⬇

1import numpy as np

2thta = np.array([0., np.pi/6, np.pi/4,

3 np.pi/3, np.pi/2])

4y = np.cos(thta)

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4.1 NumPy array

E. 4.1.1.

4.1.1 Inicialização de um array

E. 4.1.2.

E. 4.1.3.

4.1.2 Manipulação de arrays

E. 4.1.4.

E. 4.1.5.

E. 4.1.6.

4.1.3 Operadores elemento-a-elemento

E. 4.1.7.

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