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Minicurso de C++ para Matemática

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3 Elementos da programação estruturada

C++ contém instruções de programação estruturada, em que as computações são organizadas em sequências de blocos computacionais e, um bloco inicia sua computação somente após o bloco anterior tiver terminado (sequência). Conta com estruturas de ramificação (seleção de blocos), repetição de blocos e definição de funções/métodos (subprogramas).

3.1 Métodos e funções

Um método (ou função) é um subprograma (ou sub-bloco computacional) que pode ser chamado/executado em qualquer parte do programa principal. Todo código C++ inicia-se na função main(). A sintaxe de definição de uma função é

⬇
1typeOut foo(typeIn0 x0, typeIn1 x1, ..., typeInN xN)
2{
3  typeOut out;
4  statement0;
5  statement1;
6  ...;
7  statementN;
8  return out;
9}

Aqui, typeOut denota o tipo da saída, foo denota o identificador/nome do método, typeIn0 x1, typeIn1 x2, …, typeInN xN são os tipos e identificadores dos parâmetros de entrada666Parâmetros de entrada são opcionais. O escopo do método é delimitado entre chaves e pode conter qualquer instrução (statement) C++. O método é encerrado777No encerramento do método o código retorna ao programa principal. quando terminado seu escopo ou ao encontrar a instrução return. Esta instrução,também, permite o retorno de um dado do mesmo tipo da saída do método.

Por exemplo, o seguinte código define a função

f⁢(x)=2⁢x-3, (5)

computa e imprime os valores de f(1.0) e f(2.5).

Código 7: exFun.cpp
⬇
1#include <iostream>
2
3// define f
4double f(double x);
5
6int main()
7{
8    std::cout << "f(1.0) = "
9        << f(1.0) << std::endl;
10
11    double y = 2.5;
12    std::cout << "f(2.5) = "
13        << f(y) << std::endl;
14
15    return 0;
16}
17
18// implementa f
19double f(double x)
20{
21    double y = 2.0*x - 3.0;
22    return y;
23}
Observação 3.1.1.(void)

Um função pode ser um método (subprograma) que não retorna valor. Neste caso, o tipo de saída é +void+.

Exercício 3.1.1.

Implemente uma função para computar as raízes de um polinômio de grau 1 p⁢(x)=a⁢x+b. Assuma que a≠0.

Resposta 0.
⬇
1#include <iostream>
2
3double raizP1(double a, double b);
4
5int main()
6{
7    double a = 2.0;
8    double b = -1.0;
9
10    std::cout << a << "x"
11        << " + (" << b << ") = 0" << std::endl
12        << "x = " << raizP1(a, b) << std::endl;
13
14    return 0;
15}
16
17double raizP1(double a, double b)
18{
19    return -b / a;
20}
Exercício 3.1.2.

Implemente uma função para computar as raízes reais de um polinômio de grau 2 p⁢(x)=a⁢x2+b⁢x+c. Assuma que p tenha raízes reais.

Resposta 0.
⬇
1#include <iostream>
2#include <cmath>
3
4void raizP2(double a, double b, double c,
5            double &x1, double &x2)
6{
7    // discriminante
8    double d = b * b - 4 * a * c;
9    x1 = (-b + sqrt(d)) / (2 * a);
10    x2 = (-b - sqrt(d)) / (2 * a);
11
12}
13
14int main()
15{
16    double a = 2.0;
17    double b = -6.0;
18    double c = 4.0;
19
20    double x1, x2;
21    raizP2(a, b, c, x1, x2);
22
23    std::cout << "x1 = " << x1 << std::endl
24        << "x2 = " << x2 << std::endl;
25
26    return 0;
27}
Exercício 3.1.3.

(Recursividade) Implemente uma função recursiva para computar o fatorial de um número natural n, i.e. n!.

Resposta 0.
⬇
1#include <iostream>
2#include <eigen3/Eigen/Eigen>
3
4double fatorial(int n);
5
6int main()
7{
8    std::cout << "Fatorial de 5: "
9        << fatorial(5) << std::endl;
10
11    return 0;
12}
13
14double fatorial(int n)
15{
16    // Fatorial de n
17    if (n == 0 || n == 1) return 1;
18    return n * fatorial(n - 1);
19}

3.2 Ramificação

Uma estrutura de ramificação é uma instrução para a tomada de decisões durante a execução de um programa. Na linguagem C++, usa-se a sintaxe

⬇
1if (condition0) {
2  block0;
3} else if (condition1) {
4  block1;
5} else {
6  block2;
7}

A instrução if permite a execução do bloco computacional block0 somente no caso de a condition0 seja true (verdadeira). A instrução else if somente é verificada quando condition0 == false. Neste caso, o block1 é executado somente se condition1 == true. Senão, block2 é executado.

Por exemplo, o seguinte código computa os zeros da função

f⁢(x)=a⁢x+b, (6)

para parâmetros informados por usuária(o). Verifique!

Código 8: ZeroP1.cpp
⬇
1#include <iostream>
2
3int main() {
4
5    double a,b;
6    std::cout << "Valor de a: ";
7    std::cin >> a;
8    std::cout << "Valor de b: ";
9    std::cin >> b;
10
11    if (a != 0.0) {
12        double raiz = -b/a;
13        std::cout << "Raíz: "
14                << raiz << std::endl;
15    } else if (b == 0.0) {
16        std::cout << "Todo x real é raíz."
17            << std::endl;
18    } else {
19        std::cout << "Não há raíz."
20            << std::endl;
21    }
22
23    return 0;
24}
Exercício 3.2.1.

Implemente um código que contenha uma função que recebe dois números n e m e imprime o maior deles.

Resposta 0.
⬇
1double max(double m, double n) {
2    double maior = m;
3    if (maior < n)
4        maior = n;
5    return maior;
6}
Exercício 3.2.2.

Implemente um código que contenha um método que recebe os coeficientes de um polinômio

p⁢(x)=a⁢x2+b⁢x+c (7)

e imprime se p têm ou não raízes reais.

Resposta 0.
⬇
1bool TemRaizesReais(double a, double b, double c) {
2    bool resp;
3
4    if (b*b - 4*a*c >= 0) {
5        std::cout << "Raízes reais."
6            << std::endl;
7        resp = true;
8    } else {
9        std::cout << "Não tem raízes reais."
10            << std::endl;
11        resp = false;
12    }
13
14    return resp;
15}
Exercício 3.2.3.

Implemente um código que contenha um método para a computação das raízes de um polinômio de segundo grau.

Resposta 0.
⬇
1int RaizesP2(double a, double b, double c,
2                double &x1, double &x2) {
3    // raízes reais flag == 0
4    // raízes complexas flag == 1
5    int flag = 0;
6
7    double disc = b*b - 4*a*c;
8
9    if (disc == 0.) {
10        x1 = (-b - sqrt(disc)) / (2*a);
11        x2 = (-b + sqrt(disc)) / (2*a);
12    } else if (disc == 0.0)
13        x1 = x2 = -b / (2*a);
14    else {
15        x1 = -b / (2*a);
16        x2 = sqrt(-disc) / (2*a);
17        flag = 1;
18    }
19
20    return flag;
21}

3.3 Repetição

Estruturas de repetição são instruções que permitem a execução repetida de um bloco computacional. São três instruções disponíveis while, do ... while e for.

3.3.1 while

A sintaxe da instrução while é

⬇
1while (condition) {
2   block
3}

Isto é, enquanto (while) a expressão condition == true, o bloco computacional block é repetidamente executado. Ao final de cada execução, a condição é novamente verificada. Quando condition == false, block não é executado e o código segue para a primeira instrução após o escopo do while.

Como aplicação, o seguinte código computa o fatorial de um número n.

Código 9: While.cpp
⬇
1int fatorial(int n) {
2    int i = 0;
3    int fat = 1;
4
5    while (i+1 <= n) {
6        fat *= i+1;
7        i += 1;
8    }
9
10    return fat;
11}
Observação 3.3.1.

As instruções de controle break, continue são bastante úteis em várias situações. A primeira, encerra as repetições e, a segunda, pula para uma nova repetição.

Exercício 3.3.1.

Use while para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Resposta 0.
⬇
1int n = 1;
2int i = 1;
3while (i <= 10) {
4    std::cout << n
5        << std::endl;
6    n += 2;
7    i += 1;
8}
Exercício 3.3.2.

Use a instrução while para criar um método que retorne o n-ésimo termo da função de Fibonacci888Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci., n≥1.

Resposta 0.
⬇
1int fibonacci(int n) {
2    if ((n == 1) or (n == 2))
3        return 1;
4    else {
5        int i = 2;
6        int f0 = 1;
7        int f1 = 1;
8        int fa;
9        while (i+1 <= n) {
10            fa = f0 + f1;
11            f0 = f1;
12            f1 = fa;
13            i += 1;
14        }
15        return fa;
16    }
17}

3.3.2 do ... while

Diferentemente da instrução while, a do ... while verifica a condição de repetição ao final do escopo do seu bloco computacional.

Como aplicação, o seguinte método usa desta instrução para computar o fatorial de um número natual n. Compare com o Código 9.

Código 10: DoWhile.cpp
⬇
1int fatorial(int n) {
2    int i = 0;
3    int fat = 1;
4
5    do {
6        fat *= i+1;
7        i += 1;
8    } while (i < n);
9
10    return fat;
11}
Exercício 3.3.3.

Use do..while para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Resposta 0.
⬇
1int n = 1;
2int i = 1;
3do {
4    std::cout << n
5        << std::endl;
6    n += 2;
7    i += 1;
8} while (i-1 < 10);
Exercício 3.3.4.

Use a instrução while para criar um método que retorne o n-ésimo termo da função de Fibonacci999Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci., n≥1.

Resposta 0.
⬇
1int fibonacci(int n) {
2    if ((n == 1) or (n == 2))
3        return 1;
4    else {
5        int i = 2;
6        int f0 = 1;
7        int f1 = 1;
8        int fa;
9        do {
10            fa = f0 + f1;
11            f0 = f1;
12            f1 = fa;
13            i += 1;
14        } while (i < n);
15        return fa;
16    }
17}

3.3.3 for

A estrutura for tem a sintaxe

⬇
1for (init; condition; iter) {
2  block;
3}

onde, init é a instrução de inicialização, condition é o critério de parada, iter é a instrução do iterador.

Como aplicação, o seguinte método usa desta instrução para computar o fatorial de um número natual n. Compare com as versões anteriores Código 9 e Código 10.

Código 11: For.cpp
⬇
1int fatorial(int n) {
2    int fat = 1;
3
4    for (int i=1; i<=n; i++)
5        fat *= i;
6
7    return fat;
8}
Exercício 3.3.5.

Use for para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Resposta 0.
⬇
1int n = 1;
2for (int i=0; i<10; i++) {
3    std::cout << n << std::endl;
4    n += 2;
5}
Exercício 3.3.6.

Use a instrução for para criar um método que retorne o n-ésimo termo da função de Fibonacci101010Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci., n≥1.

Resposta 0.
⬇
1int fibonacci(int n) {
2
3    if ((n == 1) or (n == 2))
4        return 1;
5    else {
6        int f0 = 1;
7        int f1 = 1;
8        int fa;
9        for (int i=2; i<n; ++i) {
10            fa = f0 + f1;
11            f0 = f1;
12            f1 = fa;
13        }
14        return fa;
15    }
16}

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Pedro H A Konzen
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