NPK - 2 Elementos da linguagem‣ Minicurso de C++ para Matemática

2.1 Tipos de dados básicos

Na linguagem C++, dados são alocados em variáveis com tipos declarados. Por exemplo, estudemos o seguinte código.

Código 2: dados.cpp

⬇

1#include <iostream>

2#include <string>

3

4int main()

5{

6 // var inteira

7 int i = 1;

8

9 // var pto flutuante

10 double x;

11 x = 2.5;

12

13 // var string

14 std::string s = "i + x";

15

16 double y = i + x;

17

18 std::cout << "i = " << i << std::endl

19 << "x = " << x << std::endl

20 << "s = " << s << std::endl;

21 std::cout << std::scientific

22 << "y = " << y << std::endl;

23

24 return 0;

25}

Na linha 7, é declarada uma variável do tipo int (número inteiro) com identificador i e inicializada com valor 1. Na linha 10, é declarada uma variável do tipo double (número decimal em ponto flutuante de 64 bits) com identificador x. Na linha 14, é declarada e inicializada uma string²²2string é um arranjo de caracteres..

2.1.1 Notação científica

Podemos usar notação científica em C++. Por exemplo $5.2\times 10^{-2}$ é digitado da seguinte forma 5.2e-2.

Código 3: notacaoCientifica.cpp

⬇

1#include <iostream>

2#include <iomanip>

3

4int main()

5{

6 int i = -51;

7 double x = 5.2e-2;

8

9 // imprime inteiro i

10 std::cout << "i = "

11 << i << std::endl;

12 // imprime x com notação decimal fixada

13 std::cout << "x = "

14 << std::fixed << x << std::endl;

15 // imprime x com notação científica

16 std::cout << "x = "

17 << std::scientific

18 << std::setprecision(2)

19 << x << std::endl;

20

21 return 0;

22}

Exercício 2.1.1.

Antes de implementar, diga qual o valor de x após as seguintes instruções.

⬇

1int x = 1;

2int y = x;

3y = 0;

Justifique e verifique sua resposta.

Resposta 0.

x == 1.

Exercício 2.1.2.

Implemente um código em que a/o usuária/o entra com valores para as variáveis x e y. Então, os valores das variáveis são permutados entre si. Dica: a entrada de dados por usuária/o pode ser feita com a instrução std::cin. Por exemplo, para a variável x, usamos std::cin >> x.

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2

3int main()

4{

5 double x, y;

6

7 // leitura

8 std::cout << "Digite um valor para x: ";

9 std::cin >> x;

10 std::cout << "Digite um valor para y: ";

11 std::cin >> y;

12

13 // permutação de valores

14 double tmp = x;

15 x = y;

16 y = tmp;

17

18 // imprime novos valores

19 std::cout << "x = " << x << std::endl

20 << "y = " << y << std::endl;

21

22 return 0;

23}

2.2 Operações aritméticas elementares

Os operadores aritméticos elementares são

*, /, % multiplicação, divisão, módulo
+, - adição, subtração

em ordem de precedência³³3Consulte mais informações sobre a precedência de operadores em C++ Operator Precedence.. O operador módulo % computa o resto da divisão inteira, por exemplo, 5\%2 é igual a 1.

Por exemplo, a computação

⬇

12+17%9/2*2-1

resulta no valor 9. De fato, nesta instrução as operações são computadas na seguinte ordem %, /, *, + e -.

As operações *, / e % têm precedência maior que as operações + e -. Operações de mesma precedência seguem a ordem da esquerda para direita, conforme escritas na linha de comando. Usa-se parênteses para alterar a precedência entre as operações, por exemplo

⬇

1(2+17)%9/2*2-1

computa o resultado -1. De fato, a divisão inteira está sendo usada. Para computar a divisão em ponto flutuante, um dos operandos deve ser double. Podemos fazer um casting

⬇

1double((2+17)%9)/2*2-1

ou, simplesmente, entrar com um número decimal

⬇

1(2+17)%9/2.0*2-1

Exercício 2.2.1.

Escreva um programa para computar o vértice da parábola

p(x)=ax^{2}+bx+c,

(1)

para $a=2$ , $b=-2$ e $c=4$ .

Resposta 0.

$\displaystyle\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$

Exercício 2.2.2.

Use C++ para computar os inteiros não negativos $q$ e $r$ tais que

25=q\cdot 3+r,

(2)

sendo $r$ o menor possível.

Resposta 0.

⬇

1int q = 25/3;

2int r = 25%3;

2.3 Funções e constantes elementares

A biblioteca C++ cmath.h disponibiliza várias funções e constantes elementares. Por exemplo, o seguinte código imprime os valores de $\pi$ , $\sqrt{2}$ e $\ln e$ .

Código 4: math.cpp

⬇

1#include <iostream>

2#include <cmath>

3

4int main()

5{

6 std::cout << "pi = "

7 << M_PI << std::endl;

8 std::cout << "2^(1/2) = "

9 << sqrt(2) << std::endl;

10 std::cout << "log(e) = "

11 << log(M_E) << std::endl;

12

13 return 0;

14}

Para compilar e lincar a biblioteca <cmath>, usamos o seguinte comando

⬇

1 $ g++ math.cpp -lm

Observação 2.3.1.(Logaritmo Natural)

Notemos que log é a função logaritmo natural, i.e. $\ln(x)=\log_{e}(x)$ . A implementação C++ para o logaritmo de base 10 é log10.

Exercício 2.3.1.

Compute

a)

$\displaystyle\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)$
b)

$\displaystyle\log_{3}(\pi)$
c)

$\displaystyle e^{\log_{2}(\pi)}$
d)

$\displaystyle\sqrt[3]{-27}$

Exercício 2.3.2.

Faça um código para computar as raízes reais de um polinômio quadrático

p(x)=ax^{2}+bx+c

(3)

usando a fórmula de Bhaskara⁴⁴4Bhaskara Akaria, 1114 - 1185, matemático e astrônomo indiano. Fonte: Wikipédia: Bhaskara II.. Teste-o para diferentes conjuntos de coeficientes.

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <cmath>

3

4int main()

5{

6 // coeficientes

7 double a = 2.0;

8 double b = -2.0;

9 double c = -4.0;

10

11 // discriminante

12 double d = b*b - 4*a*c;

13

14 // raízes

15 double x1 = (-b + sqrt(d)) / (2*a);

16 double x2 = (-b - sqrt(d)) / (2*a);

17

18 // imprime

19 std::cout << "Raízes: " << std::endl

20 << " x1 = " << x1 << std::endl

21 << " x2 = " << x2 << std::endl;

22 return 0;

23}

2.4 Operadores de comparação elementares

Os operadores de comparação elementares são

== igual a
!= diferente de
> maior que
< menor que
>= maior ou igual que
<= menor ou igual que

Estes operadores retornam os valores lógicos true (verdadeiro, 1) ou false (falso, 0). Variáveis do tipo bool (variáveis booleanas⁵⁵5George Boole, 1815 - 1864, matemático britânico. Fonte: Wikipédia: George Boole.) são usadas para armazenar valores lógicos.

Por exemplo, estudemos o seguinte código.

Código 5: opComp.cpp

⬇

1#include <iostream>

2#include <iomanip>

3

4int main()

5{

6 int x = 2;

7

8 bool res = x + x == 5;

9

10 std::cout << "2 + 2 == 5? "

11 << std::boolalpha

12 << res << std::endl;

13

14 return 0;

15}

Exercício 2.4.1.

Considere a circunferência de equação

c:\leavevmode\nobreak\ (x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1.

(4)

Escreva um código em que a(o) usuária(o) entra com as coordenadas de um ponto $P=(x,y)$ e seja verificado se:

a)

$P$ pertence ao interior de $c$ .
b)

$P$ pertence à fronteira de $c$ .
c)

$P$ não pertence à circunferência $c$ .

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <iomanip>

3

4int main()

5{

6 double x;

7 std::cout << "x: ";

8 std::cin >> x;

9 double y;

10 std::cout << "y: ";

11 std::cin >> y;

12

13 double rhs = (x-1.0)*(x-1.0) + (y+1.0)*(y+1.0);

14 bool interior = rhs < 1.0;

15 bool borda = rhs == 1.0;

16 bool exterior = rhs > 1.0;

17

18 std::cout << "Interior: " << interior << std::endl

19 << "Borda: " << borda << std::endl

20 << "Exterior: " << exterior << std::endl;

21

22 return 0;

23}

Exercício 2.4.2.

Antes de implementar, diga qual é o valor lógico da instrução pow(sqrt(3), 2.0) == 3.0. Justifique sua resposta e verifique!

Resposta 0.

false

2.5 Operadores lógicos elementares

Os operadores lógicos elementares são:

and e lógico
or ou lógico
not não lógico

Por exemplo, a tabela booleana do and é

A	B	A and B
true	true	true
true	false	false
false	true	false
false	false	false

O seguinte código, monta essa tabela booleana, verifique!

Código 6: and.cpp

⬇

1#include <iostream>

2#include <iomanip>

3

4int main()

5{

6 bool T = true;

7 bool F = false;

8

9 std::cout << "A | B | A and B"

10 << std::endl;

11 std::cout << std::boolalpha

12 << T << " | " << T << " | "

13 << (T and T) << std::endl

14 << T << " | " << F << "| "

15 << (T and F) << std::endl

16 << F << "| " << T << " | "

17 << (F and T) << std::endl

18 << F << "| " << F << "| "

19 << (F and F) << std::endl;

20

21 return 0;

22}

Exercício 2.5.1.

Construa as tabelas booleanas do operador or e do not.

Resposta 0.

A	B	A or B
true	true	true
true	false	true
false	true	true
false	false	false

A	not(A)
true	false
false	true

Exercício 2.5.2.

Escreva um código para verificar as seguintes comparações

a)

$1.4<=\sqrt{2}<1.5$ .
b)

$|x|<1$ , $x=\operatorname{sen}(\pi/3)$ .
c)

$|x|>\frac{1}{2}$ , $x=\cos(\pi**2)$ .

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <iomanip>

3#include <cmath>

4

5int main()

6{

7 std::cout << std::boolalpha;

8

9 // a)

10 std::cout << "a) "

11 << (1.4 <= sqrt(2)) and \

12 (sqrt(2) < 1.5) << std::endl;

13

14 // b)

15 double x = sin(M_PI/3.0);

16 std::cout << "b) "

17 << (fabs(x) < 1.0) << std::endl;

18

19 // c)

20 x = cos(M_PI*M_PI);

21 std::cout << "c) "

22 << (fabs(x) > 0.5) << std::endl;

23

24 return 0;

25}

Exercício 2.5.3.

Considere um retângulo $r:\leavevmode\nobreak\ ABDC$ de vértices $A=(1,1)$ e $D=(2,3)$ . Crie um código em que a/o usuária/o informa as coordenadas de um ponto $P=(x,y)$ e o código verifica cada um dos seguintes itens:

1.

$P\in r$ .
2.

$P\in\partial r$ .
3.

$P\not\in\overline{r}$ .

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <iomanip>

3

4int main()

5{

6 // vértices

7 double Ax = 1.0;

8 double Ay = 1.0;

9

10 double Dx = 2.0;

11 double Dy = 3.0;

12

13 // ponto

14 double x, y;

15 std::cout << "x: ";

16 std::cin >> x;

17 std::cout << "y: ";

18 std::cin >> y;

19

20 // localização

21 bool interior = (Ax < x and x < Dx) and \

22 (Ay < y and y < Dy);

23 bool borda = (Ax == x or Dx == x) and \

24 (Ay <= y and y <= Dy) or \

25 (Ay == y or Dy == y) and \

26 (Ax <= x and x <= Dx);

27 bool exterior = not interior and not borda;

28

29 std::cout << std::boolalpha

30 << "P in r: "

31 << interior << std::endl

32 << "P on \\partial r: "

33 << borda << std::endl

34 << "P not in \\hat r: "

35 << exterior << std::endl;

36

37 return 0;

38}

Exercício 2.5.4.

Implemente uma instrução para computar o operador xor (ou exclusivo). Dadas duas afirmações A e B, A xor B é true no caso de uma, e somente uma, das afirmações ser true, caso contrário é false.

Resposta 0.

(A or B) and not(A and B)

2.6 Ponteiros

Um ponteiro é uma variável que armazena o endereço de outra variável. Podemos declarar um ponteiro para qualquer tipo de variável em C++. Por exemplo, vamos estudemos o seguinte código.

⬇

1#include <iostream>

2

3int main()

4{

5 // ponteiro

6 int *ptr;

7

8 // variáveis

9 int x = 10;

10 int y = 20;

11

12 // endereço de x

13 ptr = &x;

14 std::cout << "&x = " << ptr << std::endl;

15

16 // altera o valor de x

17 *ptr = 30;

18 std::cout << "x = " << x << std::endl;

19

20 // endereço de y

21 ptr = &y;

22 std::cout << "&y = " << ptr << std::endl;

23

24 //altera o valor de y

25 y = 40;

26 std::cout << "y = " << *ptr << std::endl;

27

28 return 0;

29}

Na linha 6, declaramos um ponteiro para um inteiro. Na linha 13, atribuímos o endereço da variável x ao ponteiro ptr. O operador & retorna o endereço de uma variável. Na linha 17, alteramos o valor da variável x através do ponteiro ptr. O operador * retorna o valor armazenado no endereço apontado pelo ponteiro. Na linha 21, atribuímos o endereço da variável y ao ponteiro ptr. Na linha 19, alteramos o valor da variável y. Por fim na linha 26, imprimimos o valor da variável y através do ponteiro ptr.

Exercício 2.6.1.

Após as seguintes instruções serem executadas, os endereços das variáveis x e y são iguais? Justifique e verifique sua resposta.

⬇

1double x = 2.5;

2double y = -1.41;

3x = y;

Resposta 0.

Não. Ao serem declaradas as variáveis x e y são alocadas em endereços diferentes. A instrução x = y copia o valor de y (alocado no endereço &y) para x (alocada em outro endereço &x).

Exercício 2.6.2.

Sem executar, diga qual é o valor da variável y ao final da execução das seguintes instruções. Justifique e verifique sua resposta.

⬇

1double x = 2.5;

2double y = -1.25;

3double *ptr = &x;

4y += x**ptr;

Resposta 0.

y == 5.0.

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Minicurso de C++ para Matemática

2 Elementos da linguagem

2.1 Tipos de dados básicos

2.1.1 Notação científica

Exercício 2.1.1.

Resposta 0.

Exercício 2.1.2.

Resposta 0.

2.2 Operações aritméticas elementares

Exercício 2.2.1.

Resposta 0.

Exercício 2.2.2.

Resposta 0.

2.3 Funções e constantes elementares

Observação 2.3.1.(Logaritmo Natural)

Exercício 2.3.1.

Exercício 2.3.2.

Resposta 0.

2.4 Operadores de comparação elementares

Exercício 2.4.1.

Resposta 0.

Exercício 2.4.2.

Resposta 0.

2.5 Operadores lógicos elementares

Exercício 2.5.1.

Resposta 0.

Exercício 2.5.2.

Resposta 0.

Exercício 2.5.3.

Resposta 0.

Exercício 2.5.4.

Resposta 0.

2.6 Ponteiros

Exercício 2.6.1.

Resposta 0.

Exercício 2.6.2.

Resposta 0.

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